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前言：
題目與求解
11.請(qǐng)將“田忌賽馬”的博弈過(guò)程用策略式（博弈矩陣）和擴(kuò)展式（博弈樹(shù)）分別進(jìn)行表示，并用文字分別詳細(xì)表述。
34.兩個(gè)朋友在一起劃拳喝酒，每個(gè)人有4個(gè)純策略：杠子、老虎、雞和蟲(chóng)子。 輸贏規(guī)則是：杠子降老虎，老虎降雞，雞降蟲(chóng)子，蟲(chóng)子降杠子。兩個(gè)人同時(shí)出令，如果一方打敗另一方，贏者的得益為1，輸者的得益為-1，否則得益為0. 請(qǐng)給出以上博弈的策略式描述并求出所有的納什均衡。
42.乙向甲索要1000元，并且威脅甲如果不給就與他同歸于盡。當(dāng)然，甲不一定會(huì)相信乙的威脅。 請(qǐng)用擴(kuò)展式表示該博弈，并找出其子博弈完美納什均衡。
前言：
本篇博客解決一些博弈論題目，題號(hào)已標(biāo)清。
題目來(lái)自河北大學(xué)王亮老師的網(wǎng)址：Software Security Lab, Hebei University (hbusoftsec.org.cn)
題目與求解
題號(hào)：11? 分值：20分
11.請(qǐng)將“田忌賽馬”的博弈過(guò)程用策略式（博弈矩陣）和擴(kuò)展式（博弈樹(shù)）分別進(jìn)行表示，并用文字分別詳細(xì)表述。
假設(shè)田忌和齊王賽馬，每人有上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹，上等馬優(yōu)于中等馬，中等馬優(yōu)于下等馬，同一等級(jí)的馬中齊王的馬優(yōu)于田忌的馬。比賽共進(jìn)行三局，每匹馬只能參加一局比賽，每局的勝者得1分，負(fù)者得-1分，比賽結(jié)果為三局得分之和。
玩家N=2： 田忌? 齊王
策略集: {上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上}
(1)策略式博弈矩陣為：
博弈矩陣中的每組數(shù)表示：左邊的是田忌的得益，右邊的是齊王的得益。
(2)擴(kuò)展式(博弈樹(shù))為：
動(dòng)態(tài)博弈的結(jié)果包括雙方采用的策略組合、實(shí)現(xiàn)的博弈路徑和各博弈方的得益。
這是一棵很大的樹(shù)，為了可以看清楚每個(gè)分支，我拆分為三個(gè)部分展示：齊王先手-上，齊王先手-中，齊王先手-下。
最后合并為一整棵樹(shù)：
題號(hào)：34?? 分值：15分
34.兩個(gè)朋友在一起劃拳喝酒，每個(gè)人有4個(gè)純策略：杠子、老虎、雞和蟲(chóng)子。 輸贏規(guī)則是：杠子降老虎，老虎降雞，雞降蟲(chóng)子，蟲(chóng)子降杠子。兩個(gè)人同時(shí)出令，如果一方打敗另一方，贏者的得益為1，輸者的得益為-1，否則得益為0. 請(qǐng)給出以上博弈的策略式描述并求出所有的納什均衡。
如同石頭剪刀布博弈一樣，此博弈不存在純策略納什均衡，因?yàn)檫@4個(gè)純策略都互相克制。存在混合策略納什均衡。
設(shè)A=杠子，B=老虎 C=雞 D=蟲(chóng)子
運(yùn)用“讓對(duì)手猜不透原則”
設(shè)玩家1選擇出A,B,C,D的概率分別為q1,q2,q3,1-q1-q2-q3 ?
設(shè)玩家2選擇出A,B,C,D的概率分別為p1,p2,p3,1-p1-p2-p3? ?
對(duì)于玩家1：
對(duì)于玩家2：
得到：
????????
? 即：?
設(shè)，又因，可得混合策略:
所以，只要，就都是符合要求的納什均衡。
如，當(dāng)時(shí)，混合策略納什均衡為。
題號(hào)：42? 分值：15分
42.乙向甲索要1000元，并且威脅甲如果不給就與他同歸于盡。當(dāng)然，甲不一定會(huì)相信乙的威脅。 請(qǐng)用擴(kuò)展式表示該博弈，并找出其子博弈完美納什均衡。
這是一個(gè)完全但不完美博弈，甲并不清楚乙會(huì)不會(huì)選擇威脅，故需要引入“自然”，使得乙威脅或不威脅的概率分別為50％.
設(shè)甲原本的得益為1000，乙原本的得益為0。前件為乙的得益，后件為甲的得益。
必要信息描述：
若甲不給乙，且乙的威脅是真的，甲、乙都將損失1000(因?yàn)橐也坏珱](méi)有得到錢(qián)，還使用了威脅的手段，損害了甲)。此時(shí)雙方得益為(-1000,-1000)。
若甲給乙，乙的威脅是真的。乙提前做好了威脅甲的準(zhǔn)備，付出了用于威脅甲的成本，成本為-200元。此時(shí)雙方得益為(800，0)。
擴(kuò)展式博弈(博弈樹(shù))如下：
由逆向歸納法可以得到子博弈完美納什均衡解：乙在威脅的情況下，甲選擇給錢(qián)，此時(shí)雙方的得益為(800,0);乙在不威脅的情況下，甲不給錢(qián)，此時(shí)雙方得益為(0,1000)。
最終圖解：
本博客所借鑒的優(yōu)秀內(nèi)容鏈接如下，在此鳴謝：
博弈論筆記(一)：策略式博弈及其納什均衡 - 知乎 (zhihu.com)文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-774600.html
博弈 習(xí)題-田忌賽馬問(wèn)題_田忌賽馬博弈矩陣-CSDN博客文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-774600.html
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