121. 買賣股票的最佳時(shí)機(jī) 參考文章：代碼隨想錄

貪心

因?yàn)楣善本唾I賣一次，那么貪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利潤。

本次重點(diǎn)學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法

1. dp數(shù)組（dp table）以及下標(biāo)的含義

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多現(xiàn)金，一開始現(xiàn)金為負(fù)數(shù)，所以第一天就持有股票的話，就是為負(fù)

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多現(xiàn)金

如果按照買入，賣出來分別狀態(tài)，那什么都不干的狀態(tài)并不能涵蓋

所以應(yīng)該按照持有，和不持有來區(qū)分

持有包含今天買入和之前買入但是這幾天一直沒變動(dòng)

不持有包含今天賣出，和之前賣出之后沒變動(dòng)

這兩種狀態(tài)能夠涵蓋所有情況

2. 遞推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來

• 第i-1天就持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天買入股票，所得現(xiàn)金就是買入今天的股票后所得現(xiàn)金即：-prices[i]

那么dp[i][0]應(yīng)該選所得現(xiàn)金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天不持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天賣出股票，所得現(xiàn)金就是按照今天股票價(jià)格賣出后所得現(xiàn)金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同樣dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

3.初始化

由遞推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基礎(chǔ)都是要從dp[0][0]和dp[0][1]推導(dǎo)出來，而且在遞推過程中只參考前一位，所以有壓縮的可能性

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此時(shí)的持有股票就一定是買入股票了，因?yàn)椴豢赡苡星耙惶焱瞥鰜?，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么現(xiàn)金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.根據(jù)遞推公式，dp[i]都是由dp[i - 1]推導(dǎo)出來的，那么一定是從前向后遍歷

// 解法1
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int length = prices.length;
        // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
        int[][] dp = new int[length][2];
        int result = 0;
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[length - 1][1];
    }
}

優(yōu)化：由于遞推公式更新時(shí)，只需要參考前一位的數(shù)值，所以我們可以將空間壓縮為2，滾動(dòng)更新數(shù)組

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int dp[][] = new int[2][2];
        
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
}

122.買賣股票的最佳時(shí)機(jī)II

與上題區(qū)別：可以買賣多次股票，但是只能持有一個(gè)

只有遞歸公式有區(qū)別

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來

• 第i-1天就持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天買入股票，所得現(xiàn)金就是前一天不持有股票的現(xiàn)金，再減去買入今天的股票后花費(fèi)的現(xiàn)金即：的　dp[i-1][1]-prices[i]

其他均與上題相同

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意這里是和121. 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)唯一不同的地方。
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

由于只需要用到dp[i-1][0],dp[i-1][1]來推導(dǎo)dp[i][0],dp[i][1]

我們可以把dp數(shù)組壓縮到　2x2的數(shù)組，滾動(dòng)更新

// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意這里只開辟了一個(gè)2 * 2大小的二維數(shù)組
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

本題也可以用貪心方法文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-767850.html

 // 貪心思路
class Solution {
     public int maxProfit(int[] prices) {
         int result = 0;
         for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
             result += Math.max(prices[i] - prices[i - 1], 0);
         }
         return result;
     }
 }

到了這里，關(guān)于算法訓(xùn)練day49｜動(dòng)態(tài)規(guī)劃part10的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！