不同路徑

一個機(jī)器人位于一個 m x n 網(wǎng)格的左上角 （起始點在下圖中標(biāo)記為 “Start” ）。

機(jī)器人每次只能向下或者向右移動一步。機(jī)器人試圖達(dá)到網(wǎng)格的右下角（在下圖中標(biāo)記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

示例 1：

輸入：m = 3, n = 7
輸出：28

示例 2：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達(dá)右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28

示例 4：

輸入：m = 3, n = 3
輸出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 題目數(shù)據(jù)保證答案小于等于 2 * 109

Discussion | Solution

題解(動態(tài)規(guī)劃)

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
        for(int i = 0; i < m; ++i) dp[i][0] = 1;
        for(int j = 0; j < n; ++j) dp[0][j] = 1;
        for(int i = 1; i < m; ++i) {
            for(int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

• 時間復(fù)雜度：O(m × n)
• 空間復(fù)雜度：O(m × n)

數(shù)論方法

可以轉(zhuǎn)化為，給你m + n - 2個不同的數(shù)，隨便取m - 1個數(shù)，有幾種取法。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};

• 時間復(fù)雜度：O(m)
• 空間復(fù)雜度：O(1)

不同路徑 II

數(shù)組?|?動態(tài)規(guī)劃?|?矩陣

一個機(jī)器人位于一個 m x n 網(wǎng)格的左上角 （起始點在下圖中標(biāo)記為 “Start” ）。

機(jī)器人每次只能向下或者向右移動一步。機(jī)器人試圖達(dá)到網(wǎng)格的右下角（在下圖中標(biāo)記為 “Finish”）。

現(xiàn)在考慮網(wǎng)格中有障礙物。那么從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？

網(wǎng)格中的障礙物和空位置分別用 1 和 0 來表示。

示例 1：

輸入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
輸出：2
解釋：3x3 網(wǎng)格的正中間有一個障礙物。
從左上角到右下角一共有 2 條不同的路徑：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

輸入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
輸出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 為 0 或 1

Discussion | Solution

題解

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
    if(obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) {
        return 0;
    }
    vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
    for(int i = 0; i < m &&obstacleGrid[i][0] == 0;++i) dp[i][0] = 1;
    for(int j = 0; j < n &&obstacleGrid[0][j] == 0;++j) dp[0][j] = 1;
    for(int i = 1; i < m; ++i) {
        for(int j = 1;j < n;++j) {
            if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
    }
};

• 時間復(fù)雜度：O(n × m)，n、m 分別為obstacleGrid 長度和寬度
• 空間復(fù)雜度：O(n × m)

同樣我們給出空間優(yōu)化版本：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-425039.html

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        if (obstacleGrid[0][0] == 1)
            return 0;
        vector<int> dp(obstacleGrid[0].size());
        for (int j = 0; j < dp.size(); ++j)
            if (obstacleGrid[0][j] == 1)
                dp[j] = 0;
            else if (j == 0)
                dp[j] = 1;
            else
                dp[j] = dp[j-1];

        for (int i = 1; i < obstacleGrid.size(); ++i)
            for (int j = 0; j < dp.size(); ++j){
                if (obstacleGrid[i][j] == 1)
                    dp[j] = 0;
                else if (j != 0)
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
            }
        return dp.back();
    }
};

• 時間復(fù)雜度：O(n × m)，n、m 分別為obstacleGrid 長度和寬度
  ][j] == 1)
  dp[j] = 0;
  else if (j != 0)
  dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
  }
  return dp.back();
  }
  };

- 時間復(fù)雜度：O(n × m)，n、m 分別為obstacleGrid 長度和寬度
- 空間復(fù)雜度：O(m)

到了這里，關(guān)于算法訓(xùn)練Day39:62.不同路徑 63. 不同路徑 II 動態(tài)規(guī)劃的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！