圖片由作者使用 DALL-E 3 提供。

????????Chuck-a-Luck 是一種賭博游戲，經(jīng)常在嘉年華會和賭場玩。玩家可以投注數(shù)字 1、2、3、4、5、6 中的任何一個。擲三個骰子。如果玩家的號碼出現(xiàn)在骰子的一、二、三上，他將分別獲得他原始賭注的一倍、兩倍或三倍加上他自己的錢;否則，他將失去股份。

????????問題：玩家每單位賭注的預(yù)期損失是多少？

（實際上，玩家可以在幾個數(shù)字上分配賭注，但每個這樣的賭注都可以被視為一個單獨的賭注。

二、問題分析：

????????合乎邏輯的方法是在六個數(shù)字中的每一個上放置一個單位賭注，導(dǎo)致玩家總共下注 6 個單位。有三種不同的可能情況：（1）三個骰子上的所有數(shù)字都不同，（2）骰子上的兩個數(shù)字完全相同，（3）三個骰子上的所有數(shù)字都相同。讓我們分別考慮每種情況。

????????情況（1）：三個骰子上的所有數(shù)字都不同。
????????在這種情況下，您從三個中獎號碼中贏了三個單位，但從三個輸號碼中損失了三個單位。因此，損失為 0 （3–3）。有多少種不同的方法可以得到三個不同的數(shù)字？它是?6 x 5 x 4 = 120?種方式。擲三個骰子的總可能結(jié)果是 6 x 6?x 6 = 216。

因此，在所有數(shù)字都不同的情況下，預(yù)期損失為 0 * （120/216） = 0。

????????情況（2）：骰子上的兩個數(shù)字完全相同。
????????在這種情況下，您贏得了三個單位，因為您從相同的數(shù)字中獲得兩個單位，從單個不同的數(shù)字中獲得一個單位。但是，您從四個 （6-2） 失敗數(shù)字中的四個單位中輸?shù)?。因此?strong>每單位賭注的損失為 1/6 （4/6–3/6）。有多少種不同的方法可以得到兩個相同的數(shù)字？它是?6 x 5 x 3 = 90?種方式。

因此，在兩個數(shù)字完全相同的情況下，預(yù)期損失為 1/6 * （90/216） = 15/216。

????????情況（3）：三個骰子上的所有數(shù)字都相同。
????????在這種情況下，您贏得了三個單位，因為您從相同的數(shù)字中獲得三個單位。但是，您從五個 （6-1） 個失敗數(shù)字中的五個單位中輸?shù)袅?。因此?strong>每單位賭注的損失為 2/6 （5/6–3/6）。有多少種不同的方法可以得到兩個相同的數(shù)字？它只是?6?種方式。

因此，在所有三個數(shù)字都相同的情況下，預(yù)期損失為 2/6 * （6/216） = 1/108。

????????要計算玩家每單位賭注的預(yù)期損失，只需將所有三種情況的預(yù)期損失相加即可。

結(jié)合所有三種情況，玩家每單位賭注的預(yù)期損失為 0 + 15/216 + 1/108 = 0.079。

三、替代解決方案：

????????另一種方法是假設(shè)玩家只在一個數(shù)字上放置一個單位賭注。有四種不同的可能情況：（1）玩家的號碼沒有出現(xiàn)在三個骰子中的任何一個上，（2）玩家的號碼出現(xiàn)在一個骰子上，（3）玩家的號碼出現(xiàn)在兩個骰子上，（4）玩家的號碼出現(xiàn)在所有三個骰子上。讓我們分別考慮每種情況。

情況（1）：玩家的號碼沒有出現(xiàn)在三個骰子中的任何一個上。
發(fā)生這種情況的概率是 （5/6）3 = 125/216。

情況（2）：玩家的號碼出現(xiàn)在一個骰子上。
發(fā)生這種情況的概率是 （1/6） * （5/6）2 * 3C1 = 25/72。

情況（3）：玩家的號碼出現(xiàn)在兩個骰子上。
發(fā)生這種情況的概率是 （1/6）2 * （5/6） * 3C2 = 5/72。

情況（4）：玩家的號碼出現(xiàn)在所有三個骰子上。
發(fā)生這種情況的概率為 （1/6）3 * 3C3 = 1/216。

通過將概率乘以每種情況的損失，我們得到與之前相同的結(jié)果（如下圖所示）。

每單位股份的預(yù)期損失。

Python 代碼：

import numpy as np

n_trials = 10000000
choice = np.random.randint(1,7, size = (n_trials,1))
rolls = np.random.randint(1,7, size = (n_trials, 3))
count = np.sum(choice==rolls, axis=1)
mean_loss = (np.sum(count==0) + (-1)*np.sum(count))/n_trials
print(f'Expected loss per unit stake: {mean_loss:.3f}')

# Output:
# Expected loss per unit stake: 0.079

這就是這個運氣??問題的全部內(nèi)容。歡迎任何反饋或問題！該代碼可在我的?Github?上找到。請繼續(xù)關(guān)注本系列的下一部分！:)文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-767241.html