引言
昨天學(xué)了矩陣的合同關(guān)系，老湯講義里也列舉了三大關(guān)系的定義和判別法，方便我們進(jìn)行區(qū)分。但是光看還是難以入腦，為此，我想自己梳理一遍，順帶也復(fù)習(xí)一下線代之前的所學(xué)。
一、定義
矩陣等價(jià) —— 設(shè) A , B \pmb{A,B} A,B 為同型矩陣，若存在可逆矩陣 P , Q \pmb{P,Q} P,Q ，使得 P A Q = B \pmb{PAQ=B} PAQ=B ，稱矩陣 A , B \pmb{A,B} A,B 等價(jià)，記為 A ? B \pmb{A\cong B} A?B 。
矩陣相似 —— 設(shè) A , B \pmb{A,B} A,B 為 n n n 階矩陣，若存在可逆矩陣 P \pmb{P} P ，使得 P ? 1 A P = B \pmb{P^{-1}AP=B} P?1AP=B ，稱矩陣 A , B \pmb{A,B} A,B 相似，記為 A ～ B \pmb{A\sim B} A～B 。
矩陣合同 —— 設(shè) A , B \pmb{A,B} A,B 為 n n n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣 P \pmb{P} P ，使得 P T A P = B \pmb{P^TAP=B} PTAP=B ，稱矩陣 A , B \pmb{A,B} A,B 合同，記為 A ? B \pmb{A\simeq B} A?B 。
從定義來(lái)看，在考研范圍內(nèi)，合同的要求最高，為 n n n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，相似要求為方陣，而等價(jià)則只要求同型。
三者關(guān)系的定義形式也很類似，都是存在可逆矩陣，使得一個(gè)矩陣左乘右乘，變?yōu)榱硪粋€(gè)矩陣。容易看出，相似和合同關(guān)系一定是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)橄嗨坪秃贤械木仃? P , P T , P ? 1 \pmb{P,P^T,P^{-1}} P,PT,P?1 都是可逆的。
我們也可以發(fā)現(xiàn)，如果矩陣 P \pmb{P} P 滿足 P T = P ? 1 \pmb{P^T=P^{-1}} PT=P?1 ，相似關(guān)系和合同關(guān)系似乎就等價(jià)了。恰巧，這樣的矩陣我們也學(xué)過(guò)，叫作正交矩陣。但是實(shí)際上是有些問(wèn)題的，我們需要借助對(duì)角化的內(nèi)容來(lái)進(jìn)行論證，請(qǐng)看我的。
假設(shè)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 相似，是否能推出一定合同呢？答案是肯定的。
證明： 由
A
～
B
\pmb{A\sim B}
A～B ，有存在可逆矩陣
P
\pmb{P}
P ，使得
P
?
1
A
P
=
B
\pmb{P^{-1}AP=B}
P?1AP=B 。又因?yàn)榫仃?
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 為實(shí)對(duì)稱矩陣，一定可以相似對(duì)角化，即存在正交矩陣
Q
1
,
Q
2
\pmb{Q_1,Q_2}
Q1?,Q2? ，使得
Q
1
?
1
A
Q
=
Λ
=
Q
2
?
1
B
Q
2
\pmb{Q_1^{-1}AQ=\Lambda=Q^{-1}_2BQ_2}
Q1?1?AQ=Λ=Q2?1?BQ2? 。由
Q
1
T
=
Q
1
?
1
,
Q
2
T
=
Q
2
?
1
\pmb{Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}}
Q1T?=Q1?1?,Q2T?=Q2?1? ，則
Q
1
T
A
Q
1
=
Q
2
T
B
Q
2
\pmb{Q_1^TAQ_1=Q_2^TBQ_2}
Q1T?AQ1?=Q2T?BQ2? ，兩邊同時(shí)左乘
(
Q
2
T
)
?
1
=
Q
2
\pmb{(Q_2^T)^{-1}=Q_2}
(Q2T?)?1=Q2? ，右乘
Q
2
?
1
=
Q
2
T
\pmb{Q_2^{-1}=Q_2^T}
Q2?1?=Q2T? ，即
Q
2
Q
1
T
A
Q
1
Q
2
T
=
B
\pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^T=B}
Q2?Q1T?AQ1?Q2T?=B ，整理可得
(
Q
1
Q
2
T
)
T
A
(
Q
1
Q
2
T
)
=
B
\pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)=B}
(Q1?Q2T?)TA(Q1?Q2T?)=B 證畢。
假設(shè)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 合同，是否能推出一定相似呢？答案是否定的。
證明： 由
A
?
B
\pmb{A\simeq B}
A?B ，存在可逆矩陣
P
\pmb{P}
P（非正交矩陣） ，使得
P
T
A
P
=
B
\pmb{P^TAP=B}
PTAP=B 。 矩陣
B
\pmb{B}
B 為實(shí)對(duì)稱矩陣，一定可以相似對(duì)角化，有
Q
T
B
Q
=
Λ
\pmb{Q^{T}BQ=\Lambda}
QTBQ=Λ ，則有
Q
T
P
T
A
P
Q
=
Λ
\pmb{Q^TP^TAPQ=\Lambda}
QTPTAPQ=Λ 。將
A
\pmb{A}
A 單獨(dú)放到一邊，有
A
=
P
Q
Λ
Q
?
1
P
?
1
=
(
P
T
)
?
1
(
(
Q
T
)
?
1
Λ
Q
?
1
)
P
?
1
=
(
P
T
)
?
1
B
P
?
1
\pmb{A=PQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}=(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T)^{-1}BP^{-1}}
A=PQΛQ?1P?1=(PT)?1((QT)?1ΛQ?1)P?1=(PT)?1BP?1 。當(dāng)且僅當(dāng)
(
P
T
)
?
1
=
P
\pmb{(P^T)^{-1}=P}
(PT)?1=P 時(shí)，即
P
\pmb{P}
P 為正交矩陣時(shí)，有如上結(jié)論。
證畢。
第一個(gè)命題沒(méi)有涉及到 P \pmb{P} P 這一可逆而不確定是否正交的矩陣，故可順利進(jìn)行。而第二個(gè)命題無(wú)法保證 P \pmb{P} P 正交，故無(wú)法進(jìn)行下去。
二、判別法
如何判斷兩個(gè)同型矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否等價(jià)呢？
給出判別法：若
r
(
A
)
=
r
(
B
)
r(\pmb{A})=r(\pmb{B})
r(A)=r(B) ，則矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 等價(jià)。
如何判斷兩個(gè)
n
n
n 階矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否相似呢？
給出判別法：若
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 的特征值相同且
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 均可以相似對(duì)角化，則矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 相似。
如何判斷兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 是否合同呢？
給出判別法：
A
,
B
\pmb{A,B}
A,B 的正、負(fù)、零特征值個(gè)數(shù)相同。
從判別法可以看出，等價(jià)只要求兩個(gè)矩陣的秩相同；而相似除秩相同外，還需要保證兩個(gè)矩陣的行列式、跡、特征值、特征多項(xiàng)式也相同；合同則除秩相等外，還需保證其正、負(fù)、零特征值個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相同。
寫在最后
在考研范圍內(nèi)，我們只能得出：
在實(shí)對(duì)稱矩陣范圍： 相似一定合同，合同不一定相似；相似一定等價(jià)，合同一定等價(jià)。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-713418.html
在一般 n n n 階矩陣范圍： 相似和合同無(wú)關(guān)；相似一定等價(jià)，合同一定等價(jià)。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-713418.html
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