引言
緊接前文學(xué)習(xí)完向量組秩的基本概念后，繼續(xù)往后學(xué)習(xí)向量的內(nèi)容。
三、向量組等價(jià)、向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與秩
3.2 向量組秩的性質(zhì)
性質(zhì) 1（三秩相等） —— 設(shè) A = ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) T \pmb{A=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)^T} A=(β1?,β2?,…,βn?)=(α1?,α2?,…,αn?)T ，其中 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 與 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1?,β2?,…,βn? 分別為矩陣 A A A 的行向量組和列向量組，則矩陣 A A A 的秩、 A A A 的行向量組的秩、 A A A 的列向量組的秩相等。
性質(zhì) 2 —— 設(shè) A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1?,α2?,…,αn? 與 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1?,β2?,…,βn? 為兩個(gè)維數(shù)相同的向量組，若向量組 A A A 可由向量組 B B B 線(xiàn)性表示，則向量組 A A A 的秩不超過(guò)向量組 B B B 的秩。
性質(zhì) 3 —— 等價(jià)的向量組秩相等，反之不對(duì)。
1，設(shè)向量組 A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1?,α2?,…,αn? 與 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1?,β2?,…,βn? 的秩相等，且向量組 A A A 可由向量組 B B B 線(xiàn)性表示，則向量組 A A A 與向量組 B B B 等價(jià)。
2，設(shè)向量組 A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1?,α2?,…,αn? 可由 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1?,β2?,…,βn? 線(xiàn)性表示，但向量組 A A A 不可由向量組 B B B 線(xiàn)性表示，則向量組 A A A 的秩小于向量組 B B B 。
3，兩個(gè)等價(jià)的向量組，各自構(gòu)成的矩陣也等價(jià)，但反之不一定。
四、 n n n 維向量空間
4.1 基本概念
n n n 維向量空間 —— 所有 n n n 維向量連同向量的加法及數(shù)與向量的乘法運(yùn)算稱(chēng)為 n n n 維向量空間，記為 R n . \pmb{R}^n. Rn.
基 —— 設(shè)
R
n
\pmb{R}^n
Rn 為
n
n
n 維向量空間，設(shè)
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}
α1?,α2?,…,αn? 為向量空間中的
n
n
n 個(gè)向量，若滿(mǎn)足：
（1）
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}
α1?,α2?,…,αn? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；
（2）對(duì)任意的
β
∈
R
n
,
β
\pmb{\beta \in R^n,\beta}
β∈Rn,β 都可由向量組
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}
α1?,α2?,…,αn? 線(xiàn)性表示，
稱(chēng)
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}
α1?,α2?,…,αn? 為
n
n
n 維向量空間
R
n
R^n
Rn 的基。
特別地，若
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}
α1?,α2?,…,αn? 兩兩正交，且都是單位向量，稱(chēng)其為正交規(guī)范基。
向量在基下的坐標(biāo) —— 設(shè) α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 為 R n R^n Rn 的基， β ∈ R n \beta \in R^n β∈Rn ，若 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ? + k n α n \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n β=k1?α1?+k2?α2?+?+kn?αn? ，稱(chēng) ( k 1 , k 2 , … , k n ) (k_1,k_2,\dots,k_n) (k1?,k2?,…,kn?) 為向量 β \beta β 在基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 下的坐標(biāo)。
過(guò)渡矩陣 —— 由一組基變換為另一組基，可乘上一個(gè)矩陣，該矩陣稱(chēng)為過(guò)渡矩陣。
需要一些直觀(guān)印象，才能更好理解向量空間。首先應(yīng)理解的是，一個(gè)矩陣就代表一種變換。
4.2 基本性質(zhì)
定理 1 設(shè) α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 為 n n n 維向量空間 R n R^n Rn 的基， β ∈ R n \beta \in R^n β∈Rn ，令 A = ( α 1 , α 2 , … , α n ) A=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}) A=(α1?,α2?,…,αn?) ，則向量 β \beta β 在基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 下的坐標(biāo)為 X = A ? 1 β . \pmb{X=A^{-1}\beta}. X=A?1β.
定理 2 —— 設(shè) α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 與 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1?,β2?,…,βn? 為向量空間 R n R^n Rn 的兩個(gè)基，令 A = ( α 1 , α 2 , … , α n ) , B = ( β 1 , β 2 , … , β n ) A=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}),B=(\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n}) A=(α1?,α2?,…,αn?),B=(β1?,β2?,…,βn?) ，則從基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 到基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1?,β2?,…,βn? 的過(guò)渡矩陣為 Q = A ? 1 B . \pmb{Q=A^{-1}B}. Q=A?1B.
定理 3 —— 從基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 到基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1?,β2?,…,βn? 的過(guò)渡矩陣與從基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1?,β2?,…,βn? 到基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1?,α2?,…,αn? 到的過(guò)渡矩陣互為逆矩陣。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-696098.html
寫(xiě)在最后
到此，向量的理論部分就結(jié)束了。矩陣、向量、方程組三者的聯(lián)系最近會(huì)總結(jié)發(fā)出來(lái)的。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-696098.html
到了這里，關(guān)于【考研數(shù)學(xué)】線(xiàn)形代數(shù)第三章——向量 | 3）向量組秩的性質(zhì)、向量空間、過(guò)渡矩陣的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
