2019年國賽高教杯數(shù)學(xué)建模

B題 同心協(xié)力策略研究

原題再現(xiàn)

??“同心協(xié)力”（又稱“同心鼓”）是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目。該項(xiàng)目的道具是一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團(tuán)隊(duì)成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項(xiàng)目開始時(shí)，球從鼓面中心上方豎直落下，隊(duì)員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動(dòng)。顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。

??項(xiàng)目所用排球的質(zhì)量為 270 g。鼓面直徑為 40 cm，鼓身高度為 22 cm，鼓的質(zhì)量為 3.6 kg。隊(duì)員人數(shù)不少于 8 人，隊(duì)員之間的最小距離不得小于 60 cm。項(xiàng)目開始時(shí)，球從鼓面中心上方 40 cm 處豎直落下，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40 cm 以上，如果低于 40cm，則項(xiàng)目停止。項(xiàng)目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。
??試建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：
??1. 在理想狀態(tài)下，每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度，試討論這種情形下團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，并給出該策略下的顛球高度。
??2. 在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜。試建立模型描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。設(shè)隊(duì)員人數(shù)為 8，繩長為 1.7m，鼓面初始時(shí)刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時(shí)下降 11 cm，表 1 中給出了隊(duì)員們的不同發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，求 0.1 s 時(shí)鼓面的傾斜角度。

??3. 在現(xiàn)實(shí)情形中，根據(jù)問題 2 的模型，你們?cè)趩栴} 1 中給出的策略是否需要調(diào)整？如果需要，如何調(diào)整？
??4. 當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，球跳動(dòng)方向不再豎直，于是需要隊(duì)員調(diào)整拉繩策略。假設(shè)人數(shù)為 10，繩長為 2m，球的反彈高度為 60cm，相對(duì)于豎直方向產(chǎn)生 1 度的傾斜角度，且傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊(duì)員之間，與這兩位隊(duì)員的夾角之比為 1:2。為了將球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，請(qǐng)給出在可精確控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度，并分析在現(xiàn)實(shí)情形中這種調(diào)整策略的實(shí)施效果。

整體求解過程概述(摘要)

??“同心協(xié)力”是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目，有較廣泛的普及面。本文對(duì)同心鼓的顛球策略進(jìn)行研究，分析同心鼓與排球的碰撞過程，綜合考慮隊(duì)員牽拉同心鼓的實(shí)際操作、邊界和初始條件，在隊(duì)員水平牽拉繩的假設(shè)下，建立球鼓碰撞模型和同心鼓運(yùn)動(dòng)模型，該模型可用于計(jì)算在特定情況下同心鼓的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，并在鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，給出相應(yīng)調(diào)整策略。
??對(duì)于問題一：通過假設(shè)隊(duì)員的手僅在水平方向上移動(dòng)，將同心鼓的三維運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化?？紤]隊(duì)員施加在繩子上的力大小恒定，建立基于牛頓第二定律的二階常系數(shù)微分方程，確定初邊值條件，得到描述同心鼓的高度及速度的方程?；趧?dòng)量守恒定理與能量守恒定理，考慮到同心鼓及排球碰撞時(shí)發(fā)生的能量損失，建立起隊(duì)員拉繩所消耗的功率的數(shù)學(xué)描述。由于不同參賽隊(duì)員的用力偏好差異性極大，在給定隊(duì)員所偏好的用力大小及頻率下，可求得相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案。在本文中，我們以參賽隊(duì)員的耗能應(yīng)盡可能地小為目標(biāo)給出團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略。
??對(duì)于問題二：基于歐拉旋轉(zhuǎn)定理，鼓的運(yùn)動(dòng)可描述為沿 Z 軸方向的平動(dòng)及繞 X軸、Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于同心鼓的轉(zhuǎn)角 α、β 都為小量，我們討論并分析了小角度轉(zhuǎn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)順序無關(guān)的條件，將模型三維轉(zhuǎn)動(dòng)求解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)自由度上的獨(dú)立求解問題?；谂ｎD第二定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到 0.1s 時(shí)，九種工況下鼓面的傾斜角度分別為：0.2124°0.3885°0.1649°0.2270°0.4123°0.1749°0.2175°0.1359°0.3401°從理論和結(jié)果進(jìn)行分析，得到轉(zhuǎn)動(dòng)順序?qū)Y(jié)果影響占次要因素，模型可分解為兩個(gè)自由度的獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)。
??對(duì)于問題三：由問題二建立的模型可知，在非理想狀態(tài)下，發(fā)力大小與時(shí)機(jī)的不精準(zhǔn)控制將導(dǎo)致同心鼓發(fā)生小角度傾斜，因此我們針對(duì)問題一所建立的模型存在一定的不完善性，需要進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整。我們分別從調(diào)整參賽隊(duì)員的拉繩拉力大小、調(diào)整鼓面傾斜狀態(tài)、調(diào)整隊(duì)員的水平位置三個(gè)方面整體地對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，分析并討論了各個(gè)方面的調(diào)整對(duì)最終結(jié)果的影響，以給出在現(xiàn)實(shí)情形中適應(yīng)性能更強(qiáng)的團(tuán)隊(duì)協(xié)作策略。
??對(duì)于問題四：本文針對(duì)給定排球偏斜豎直方向運(yùn)動(dòng)的特殊情況，分析調(diào)整鼓面傾角與傾向的解決方法，并以此建立多目標(biāo)規(guī)劃的最佳策略模型，基于模擬退火算法的相關(guān)思想，通過分析約束條件及目標(biāo)函數(shù)，針對(duì)團(tuán)隊(duì)協(xié)作策略的有效性與協(xié)調(diào)性進(jìn)行全局優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析處理，得到了在題設(shè)情況下隊(duì)員的拉繩策略。并以此分析在現(xiàn)實(shí)情形中這種調(diào)整策略的實(shí)施效果。
??綜上所述，本文綜合分析了同心鼓在不同情況下的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，得到了有效地調(diào)整碰撞過程中所產(chǎn)生的偏差的方法，并且該方法給出了一種適應(yīng)不同情況下團(tuán)隊(duì)的協(xié)作策略，具有較好的普適性。

模型假設(shè)：

??1. 在分析研究鼓體及排球運(yùn)動(dòng)過程中的受力時(shí)，忽略排球和鼓的運(yùn)動(dòng)以及牽引繩振動(dòng)中所產(chǎn)生的空氣阻力的影響。
??2. 假設(shè)牽引同心鼓運(yùn)動(dòng)的繩子是理想繩, 即繩子不可伸長，且繩子為輕質(zhì)繩，繩所提供的拉力始終沿著繩。
??3. 假設(shè)隊(duì)員每次拉繩的力恒定，且在其發(fā)力時(shí)機(jī)時(shí)瞬時(shí)將拉繩的力變化為新的受力大小，且力是瞬間施加在鼓上的。
??4. 假設(shè)參與拉繩的隊(duì)員均勻?qū)ΨQ地分布在以同心鼓鼓面中心為圓心的圓周上，鼓的中心始終在過圓心的豎直軸上運(yùn)動(dòng)，鼓的水平運(yùn)動(dòng)由隊(duì)員整體的水平運(yùn)動(dòng)提供，不考慮鼓相對(duì)于隊(duì)員的水平運(yùn)動(dòng)。
??5. 假設(shè)鼓與排球碰撞時(shí)，排球始終保持平動(dòng)狀態(tài)，且忽略排球與鼓面非對(duì)心碰撞時(shí)所產(chǎn)生的瞬時(shí)沖量矩。
??6. 忽略鼓與球碰撞之后，隊(duì)員恢復(fù)初始拉力時(shí)鼓的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，且假設(shè)每次鼓與球碰撞后鼓都能夠恢復(fù)到初始水平狀態(tài)。
??7. 為保證比賽的穩(wěn)定且有序的進(jìn)行，假設(shè)隊(duì)員在調(diào)整好顛球的狀態(tài)之后，更傾向于有規(guī)律的周期性顛球，即其每兩次發(fā)力之間的時(shí)間間隔與排球每次被顛起并落下的時(shí)間相同，并稱該時(shí)間為一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期。

問題分析：

??題目要求我們?cè)诰_控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度的理想狀態(tài)下，給出顛球的最優(yōu)協(xié)作策略及在該策略下的顛球高度。

??本題目的重點(diǎn)是要將球撞擊同心鼓并彈起這一過程進(jìn)行物理模型的簡(jiǎn)化，該碰撞過程為接近彈性碰撞的非彈性碰撞模型，每次都會(huì)將體系中小部分能量通過碰撞的形式耗散，而隊(duì)員拉鼓為整個(gè)體系補(bǔ)充消耗的能量。為了達(dá)到最佳的協(xié)作策略，隊(duì)員需在使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多的前提下，減少能量的消耗，獲得更佳的舒適度和游戲體驗(yàn)感。

??現(xiàn)實(shí)中人通過拉動(dòng)繩子而使同心鼓做上升運(yùn)動(dòng)的過程十分復(fù)雜，根據(jù)主次分析法，筆者將人手的運(yùn)動(dòng)軌跡理想化為水平方向的運(yùn)動(dòng)，且每位隊(duì)員手的高度位于同一水平面上。為了更好地利用能量，需假設(shè)在鼓速度最大時(shí)與排球發(fā)生碰撞，且碰撞后小球僅發(fā)生速度方向的改變，而速度大小不發(fā)生改變。此時(shí)，小球彈起的高度與隊(duì)員所施加的力以及力持續(xù)的時(shí)間可以建立起物理關(guān)系，從而得到最佳的協(xié)作策略。

??在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度都存在一定誤差，鼓面可能會(huì)出現(xiàn)傾斜而使球的位置發(fā)生偏移，題目要求我們不同隊(duì)員出現(xiàn)失誤的情況下，求出鼓面的傾斜角度。

??假設(shè)同心鼓為剛體，本題目的重點(diǎn)是計(jì)算得到不同大小與不同時(shí)機(jī)的力作用下，同心鼓在空間中的姿態(tài)。剛體在空間中的大角度轉(zhuǎn)動(dòng)不具有交換性，但是空間小角度轉(zhuǎn)動(dòng)與次序無關(guān)，因此本題可將同心鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)分解成多個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，再進(jìn)行疊加求和。每位隊(duì)員用力相等時(shí)，同心鼓上下運(yùn)動(dòng)而不會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)；當(dāng)隊(duì)員在同心鼓上作用較大的力時(shí)，則所有的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的矩不再能夠平衡，鼓面將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)隊(duì)員作用力提早 0.1s 施加，則前 0.1s 內(nèi)，隊(duì)員對(duì)同心鼓的作用可視作提早施力的隊(duì)員作用較大的力，而其他隊(duì)員仍保持用以平衡同心鼓重力的恒力 F0，使同心鼓在零時(shí)刻后以一個(gè)初始偏轉(zhuǎn)角進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。因此，在第一問所建立的模型基礎(chǔ)上，可通過同心鼓的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到不同工況下 0.1s 時(shí)同心鼓鼓面
的傾斜角度。

??根據(jù)問題一的分析及簡(jiǎn)化后的物理模型，由于實(shí)際過程中的諸多因素，參賽隊(duì)員的用力大小及時(shí)機(jī)無法精準(zhǔn)控制，會(huì)出現(xiàn)作用力數(shù)值及作用時(shí)機(jī)上的偏差。進(jìn)而導(dǎo)致簡(jiǎn)化模型中的物理過程發(fā)生變化，即同心鼓在做上升運(yùn)動(dòng)的過程中可能會(huì)出現(xiàn)傾斜，進(jìn)而導(dǎo)致排球被顛起后的軌跡發(fā)生變化，由原來的豎直上拋運(yùn)動(dòng)變?yōu)樾鄙蠏佭\(yùn)動(dòng)。與此同時(shí)，作用力的大小不同還將對(duì)同心鼓的質(zhì)心產(chǎn)生水平方向的加速度。綜合上述兩種不確定因素，要求參賽人員不但能夠提供豎直方向的位移和速度，以補(bǔ)償顛球過程中的能量損耗，而且需要使鼓面盡量保持水平，并適當(dāng)旋轉(zhuǎn)一定角度以調(diào)整傾斜排球的運(yùn)動(dòng)軌跡。參賽人員需要做出足夠迅速的水平移動(dòng)，使排球能夠達(dá)到指定顛球高度的游戲規(guī)則。

??由前三問的分析與求解，對(duì)于每一次顛球過程，我們已經(jīng)可以得到各隊(duì)員不同的發(fā)力時(shí)機(jī)與力度對(duì)碰撞時(shí)鼓面傾斜角度的影響關(guān)系，即對(duì)于給定的初始條件（）每個(gè)隊(duì)員的初始拉力 F0，加力拉繩時(shí)的發(fā)力時(shí)機(jī) t 與力度 F），我們即可計(jì)算出鼓面傾角的一組數(shù)值解 (α, β, γ) = angle(F0, t, F)。由此，鼓的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以通過隊(duì)員拉繩的初始條件來得到精確控制。
??在該問題的情形中，由于鼓面產(chǎn)生了微小角度的偏移，導(dǎo)致在上一次顛球完成之后球偏離豎直方向彈出。為了將球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)重新調(diào)整為豎直，我們則需要改變下一次顛球時(shí)鼓面的傾斜角度與方向以消除上一次顛球所造成的影響。根據(jù)前文所建立的模型，該問題即轉(zhuǎn)化為由已知的鼓面碰撞時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，反過來調(diào)整隊(duì)員初始拉繩的發(fā)力時(shí)機(jī)與力度等初始條件，由此，隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度需要調(diào)整到恰好使得在下一次顛球時(shí)鼓面的速度、位置、傾向與傾角滿足要求，我們不妨視這種要求為對(duì)初始條件的一種約束，并以此建立以搜尋多人協(xié)作最佳拉繩方式為目標(biāo)的多目標(biāo)非線性優(yōu)化問題。要解決這種在初始條件受到限制的最優(yōu)解的規(guī)劃問題。首先要確定目標(biāo)函數(shù)與約束條件。目標(biāo)函數(shù)方面我們首先需要精準(zhǔn)控制下一次顛球時(shí)鼓面的傾斜方向及大小，在滿足這個(gè)條件的前提下，我們還希望團(tuán)隊(duì)協(xié)作的方式是容易操作且穩(wěn)定的，那么就需要隊(duì)員們拉繩時(shí)需要滿足：(1) 每位隊(duì)員用力拉繩前后拉力的變化值應(yīng)盡可能地??；(2) 每位隊(duì)員拉繩的力應(yīng)盡可能地相同；(3) 每位隊(duì)員應(yīng)盡可能地同時(shí)拉繩，即每位隊(duì)員地用力時(shí)機(jī)應(yīng)盡可能地一致；分析可知這些目標(biāo)所蘊(yùn)含的關(guān)系比較復(fù)雜, 其中的關(guān)系不易用線性關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，因此無法用一般的線性規(guī)劃方法解決該問題。
??考慮約束條件：該問題的約束主要包括: (1) 速度約束，鼓與球碰撞時(shí)的速度應(yīng)保證碰撞之后球能夠回到初始下落的高度; (2) 時(shí)間約束，鼓在受拉上升至達(dá)到碰撞速度的時(shí)，球與鼓應(yīng)恰好接觸并發(fā)生碰撞;(3) 軟約束，某位隊(duì)員作用在繩上的拉力不應(yīng)太大或太小，某位隊(duì)員拉繩的用力時(shí)機(jī)不宜過早或過晚等。綜上所述, 我們希望生成一個(gè)合理且可行的團(tuán)隊(duì)協(xié)作方案，由于該優(yōu)化問題中目標(biāo)及約束條件均為復(fù)雜的非線性關(guān)系，我們決定采用現(xiàn)代優(yōu)化算法來進(jìn)行合理地解決。借助模擬退火算法的思想，我們希望產(chǎn)生一個(gè)可行的初始方案，并希望在其” 鄰域” 內(nèi)嘗試尋找其他更優(yōu)的解，其新方案由對(duì)原方案作一些合適的” 擾動(dòng)” 來獲取。我們通過一定的手段避免落入局部最優(yōu)以及加入收斂判定, 由此不斷地進(jìn)行迭代搜索，并最終找到全局最優(yōu)的解。

模型的建立與求解整體論文縮略圖

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程序代碼：(代碼和文檔not free)

The actual procedure is shown in the screenshot文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-690121.html

function [v10,v20,v1,v2]=speed2(h)
g = 9.8;
e = 0.90; %恢復(fù)系數(shù)
m1 = 0.27;
m2 = 3.6;
v10 = sqrt(2*g*h);
v1 = -v10;
v20 = v10-(2*v10*(m1+m2))/((1+e)*m2);
v2 = v10+(2*v10*(e*m1-m2))/(m2*(1+e));
disp([v10,v20,v1,v2]); 
%排球前后速度相同時(shí)的，排球和同心鼓的前后速度輸出

function [x_gu_end,alpha,beta,gamma]=x_alpha_beta(t_end,n_question)
tspan=[0 t_end];
[xx0 aa0 bb0 tt0]=tiqian(n_question);
x0=xx0(end);
dx0=(xx0(end)-xx0(end-1))/(tt0(end)-tt0(end-1));
a0=aa0(end);
da0=(aa0(end)-aa0(end-1))/(tt0(end)-tt0(end-1));
b0=bb0(end);
db0=(bb0(end)-bb0(end-1))/(tt0(end)-tt0(end-1));
x_gu0=[x0 dx0];
alpha0=[a0 da0];
beta0=[b0 db0];
[t,xrad]=ode45(@odefunxab,tspan,[x_gu0 alpha0 beta0],[],n_question);
x_gu=[xx0;xrad(:,1)];
x_gu_end=x_gu(end);
degree_alpha=[aa0;xrad(:,3)]*180/pi;
alpha=degree_alpha(end);
degree_beta=[bb0;xrad(:,5)]*180/pi;
beta=degree_beta(end);
gamma=asin(sqrt(sin(beta*pi/180)^2+sin(alpha*pi/180)^2))*180/pi;
fprintf(’同心鼓與水平面的夾角gamma為：%4.4f°’,gamma);
fprintf('\n');
tt=[tt0;t];
figure;
plot(tt,x_gu,'k-s','Linewidth',1.5);
title('鼓的豎直向位移值（做小角度處理）',18);
grid on;
figure;
plot(tt,degree_alpha,'r-o','Linewidth',1.5);
hold on;grid on;
plot(tt,degree_beta,'b-*','Linewidth',1.5);
legend('\alpha','\beta');
title('鼓的雙向轉(zhuǎn)動(dòng)角度值（做小角度處理）',18);

function [Mx,My]=M0(theta,alpha,beta,n_question)
r=0.2;
vec_r=zeros(8,3);
vec_r(1,:)=r*[cos(alpha) 0 sin(alpha)]; vec_r(2,:)=r*sqrt(2)/2*[cos(alpha) 
cos(beta) sin(alpha)+sin(beta)];
vec_r(3,:)=r*[0 cos(beta) sin(beta)]; vec_r(4,:)=r*sqrt(2)/2*[-cos(alpha) 
cos(beta) -sin(alpha)+sin(beta)];
vec_r(5:8,:)=-vec_r(1:4,:);
vec_F=zeros(8,3);
[FF,tt]=member(n_question);
FF(tt==0)=68.1545;
F=FF;
vec_F(1,:)=F(1)*[cos(theta) 0 sin(theta)]; vec_F(2,:)=F(2)*[cos(theta)/sqrt(2) 
cos(theta)/sqrt(2) sin(theta)];
vec_F(3,:)=F(3)*[0 cos(theta) sin(theta)]; vec_F(4,:)=F(4)*[-cos(theta)/sqrt(2) 
cos(theta)/sqrt(2) sin(theta)];
vec_F(5,:)=F(5)*[-cos(theta) 0 sin(theta)]; vec_F(6,:)=F(6)*[-cos(theta)/sqrt(2) 
-cos(theta)/sqrt(2) sin(theta)];
vec_F(7,:)=F(7)*[0 -cos(theta) sin(theta)]; vec_F(8,:)=F(8)*[cos(theta)/sqrt(2)
-cos(theta)/sqrt(2) sin(theta)];
M=zeros(1,3);
for i=1:8
 M=M+cross(vec_r(i,:),vec_F(i,:));
end
Mx=-M(2);
My=M(1);

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