?相關(guān)系數(shù)

相關(guān)性分析的關(guān)鍵是計(jì)算相關(guān)系數(shù)，在本節(jié)課中將會(huì)介紹兩種常用的相關(guān)系數(shù)：皮爾遜相關(guān)系數(shù)（Pearson）和斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)（Spearman）。

它們可以用來衡量?jī)蓚€(gè)變量間相關(guān)性的大小，對(duì)于不同類型的數(shù)據(jù)，我們要用不同的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析。

統(tǒng)計(jì)學(xué)概念

在學(xué)習(xí)這兩個(gè)系數(shù)之前，我們需要了解一些必要的概率統(tǒng)計(jì)中的概念，以便于公式的理解和推導(dǎo)。

為了對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行分析，我們總是希望得到總體數(shù)據(jù)的一些特征，例如均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等；

但總體數(shù)據(jù)往往過多，以致于難以進(jìn)行計(jì)算，因此我們可以計(jì)算從從總體中抽取的樣本的統(tǒng)計(jì)量，以此來估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)量。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)

總體皮爾遜相關(guān)系數(shù)

X和Y的變化方向相同：當(dāng)X大于其均值時(shí)，Y也大于其均值，當(dāng)X小于其均值時(shí)，Y也小于其均值

協(xié)方差的本質(zhì)：若X和Y的變化方向相同，則協(xié)方差為正；若X和Y的變化方向相反，則協(xié)方差為負(fù)；若X和Y的變化方向無關(guān)聯(lián)，則協(xié)方差正負(fù)抵消為零。

注意：協(xié)方差的大小和兩個(gè)變量的量綱有關(guān)，因此不適合做比較。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)的本質(zhì)：可以看作剔除了兩個(gè)變量量綱影響、將X和Y標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差。

樣本皮爾遜相關(guān)系數(shù)

?相關(guān)系數(shù)可視化

在計(jì)算相關(guān)系數(shù)之前，需要通過繪制散點(diǎn)圖來判斷X和Y之間的相關(guān)性，如果散點(diǎn)圖顯示二者不相關(guān)，那么計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)也就沒有意義了。

只有先確定兩個(gè)變量是線性相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)才能告訴我們這兩個(gè)變量的相關(guān)程度如何。

? 事實(shí)上，比起相關(guān)系數(shù)的大小，我們往往更關(guān)注的是其顯著性，這就需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)

進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可以判斷我們所求得的皮爾遜相關(guān)系數(shù)是否準(zhǔn)確，若檢驗(yàn)結(jié)果越顯著，就表示我們求得的相關(guān)系數(shù)越不準(zhǔn)確。

第一步：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，兩者是截然相反的；如果我們已經(jīng)計(jì)算得到了一個(gè)皮爾遜相關(guān)系數(shù)，我們要檢驗(yàn)它是否顯著異于0，則可以設(shè)定原假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0：r=0? ? H1：r≠0

第二步：在原假設(shè)成立的條件下，利用我們要檢驗(yàn)的量構(gòu)造出一個(gè)符合某一分布的統(tǒng)計(jì)量

第三步：將我們要檢驗(yàn)的值帶入統(tǒng)計(jì)量中，可以得到一個(gè)特定的檢驗(yàn)值

第四步：我們可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布繪制一個(gè)概率密度函數(shù)圖像，并給定一個(gè)置信水平，一般為95%，根據(jù)這個(gè)置信水平查找到臨界值，并畫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的接受域和拒絕域

第五步：看我們計(jì)算出來的檢驗(yàn)值是落在了接受域還是拒絕域，并下結(jié)論。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的條件

第一，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通常是成對(duì)地來自于正態(tài)分布的總體；

第二，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差距不能太大，皮爾遜相關(guān)系數(shù)受異常值的影響比較大；

第三，每組樣本之間是獨(dú)立抽樣的。

從上面可以知道，我們需要正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，才可以進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，所以我們還需要進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。

正態(tài)分布檢驗(yàn)使用的方法是JB檢驗(yàn)，JB檢驗(yàn)也是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的過程。

若實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)足夠多，那我們就可以使用Q-Q圖來檢驗(yàn)，只要圖上的點(diǎn)近似地在一條直線附近，我們就可以說樣本數(shù)據(jù)近似于正態(tài)分布。

斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)

對(duì)斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)也要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

兩個(gè)相關(guān)系數(shù)的比較

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