層次分析法

原文鏈接（我的主頁）：https://rick2pc.github.io/2022/07/30/AHP/
層次分析法，即：“The analytic hierarchy process”， 簡稱AHP

1.建模比賽中最基礎的模型之一；

2.主要解決評價類問題；

3.文章中所有圖片來自于清風數學建模課程的課件。

我們用一個例子來介紹這個建模方法：

“填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇 了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點?！?/p>

”請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案?！?/p>

對于解決這種評價類問題，我們需要考慮以下三個問題：

1. 我們的評價目標是什么？
2. 我們?yōu)榱诉_到這個目標有哪幾種可選的方案？
3. 評價的準則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）

對于我們的例子，我們的回答：

1. 為小明同學選擇最佳的旅游景點。
2. 三種，分別是去蘇杭、去北戴河和去桂林。
3. 題目沒給相關數據支撐，需要我們查閱相關的資料。

一般而言，前兩個問題的答案是顯而易見的，第三個問題的答案 需要我們根據題目中的背景材料、常識以及網上搜集到的參考資料進行結合，從中篩選出最合適的指標。

在這里，我們假設5個指標：景點；花費；居??；飲食；交通。

然后我們構建一張權重表：

要注意，$AHP$的最終目的其實就是把這張表通過數學的方式（而不是憑直覺）進行填充，而不是小明自己隨便填寫，“在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難 是這些比重常常不易定量化。此外，當影響某因素的因子較多時，直接 考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此 失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數據，甚至 有可能提出一組隱含矛盾的數據?！保ㄋ臼乜稊祵W建模算法與應用》）

我們首先來思考一下5個指標之間的權重：

一次性考慮五個之間的關系比較繁雜，我們可以兩兩進行比較，最終通過兩兩比較的結果來推算權重。

我們使用1~9表示兩兩指標之間的重要程度（這里的重要程度也可以理解為滿意度），具體數字的含義，見下表：

其中，重點要注意一下最后一行那個倒數的含義。

好，我們將根據這個標度，來進行權重的計算：

1. 構建判斷矩陣

1. 首先，對于指標權重，我們會構建一個判斷矩陣，再計算權重。如上圖，記為$A$，對應的元素為$a_{ij}$。該矩陣有如下特點：

   • $a_{ij}$ 表示的意思是：與指標$j$相比，$i$的重要程度。
   • 當$i=j$時，兩個指標相同，因此同等重要，這就解釋了主對角線元素為1。
   • $a_{ij}>0$且滿足$a_{ij}?a_{ji}=1$（我們稱滿足這一條件的矩陣為正互反矩陣）。

   但是，在實際建模的過程中，沒有“小明”幫助我們填表，層次分析的這張表是交給“專家”填寫的，但在比賽過程中往往很難找找到專家標準，一般只能自己填了，但是在論文中就別說出來了。

2. 其次，對于三個地點在五個把不同標度分別的得分也是重復上面的操作，例如：

   計算在景色方面蘇杭，北戴河，桂林所占的得分，我們也是先構建一個判斷矩陣，然后再計算權重：

   

但是，要注意一個問題：

? 蘇杭=A 北戴河=B 桂林=C

? 蘇杭的景色比北戴河好：A>B

? 蘇杭和桂林景色一樣好： A = C

? 北戴河比桂林景色好一點：B > C

這個時候，就會出現問題：如果A = C而A > B，那么C>B與第三條沖突，判斷矩陣出現問題

判斷矩陣出現了矛盾之處，我們稱之為不一致現象。

何為一致矩陣？簡單理解一下就是各行（列）之間成倍數關系，例：

若矩陣中每個元素$a_{ij}>0$且滿足$a_{ij}?a_{ji}=1$，則我們稱該矩陣為正互反矩陣。在層次分析法中，我們構造的判斷矩陣均是正互反矩陣。

在正互反矩陣滿足$a_{ij}?a_{jk}=a_{ik}$,則我們稱其為一致矩陣。

注意：在使用判斷矩陣求權重之前，必須對其進行一致性檢驗。

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2. 根據判斷矩陣計算權重

方法一：算數平均法求權重

1. 第一步： 將判斷矩陣按照列進行歸一化（每一個元素除以其所在列的和）；
2. 第二步： 將歸一化的各列相加（按行求和）；
3. 第三步： 將相加得到的向量中每個元素除以$n$即可得到權重向量。

例：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-ow2EPXo2-1659151834963)(https://raw.githubusercontent.com/Rick2pc/Typora/main/202207301109075.jpg)]

方法二：幾何平均法求權重

1. 第一步： 將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量；
2. 第二步： 將新的向量的每個分量開n次方；
3. 第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量。

方法三：特征值法求權重

假如我們的判斷矩陣一致性可以接受，那么我們可以仿照一致矩陣權重的求法。

1. 第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量；
2. 第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重。

三種方法說實話感覺沒什么區(qū)別，寫論文的時候選一種就好了，但是最好點明三種方法都算過了，然后在附錄里面展現出最后的結果。

3. 計算得分

根據上節(jié)的三種方法，我們可以選擇一種方法分別計算每個區(qū)塊的得分，然后填入表中

（每一種顏色就代表了一個判斷矩陣）

然后根據指標權重和每個地區(qū)在5個指標上的權重進行打分，例：

這樣，我們就可以得到三個地區(qū)，在五個指標上的得分，進而來選擇小明想要去的地方。

4. 總結

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文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-597755.html

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