2023.06.05 最近在研究OTFS考慮分?jǐn)?shù)多普勒時(shí)信道估計(jì)與信號(hào)檢測(cè)相關(guān)問(wèn)題，最近精讀了一篇論文，并針對(duì)論文中部分公式進(jìn)行推導(dǎo)，故記錄一下學(xué)習(xí)過(guò)程。

前言

論文題目： Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler
論文地址： https://ieeexplore.ieee.org/document/10118609/
論文來(lái)源：2023 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC)
論文主要研究了OTFS考慮分?jǐn)?shù)多普勒的信道估計(jì)問(wèn)題，分別考慮單徑和多徑兩種情況，引入線性系統(tǒng)去恢復(fù)不同可分解路徑的多普勒頻移以及信道增益。

一、摘要及背景

摘要

??論文提出了一個(gè)考慮分?jǐn)?shù)多普勒的有效的信道估計(jì)算法。該算法首先設(shè)置了一個(gè)基于現(xiàn)有閾值的估計(jì)器以獲得有效的（初步）信道響應(yīng)。由于有效的信道矩陣已知（可能翻譯的不準(zhǔn)確），然后使用線性系統(tǒng)去恢復(fù)不同可分解路徑的多普勒頻移以及信道增益。在這一過(guò)程中，考慮了不同路徑間的干擾。仿真表明，通過(guò)在有效信道矩陣中選擇最優(yōu)采樣值，可以在低信噪比條件下實(shí)現(xiàn)多普勒頻移和信道增益的魯棒估計(jì)。

分?jǐn)?shù)多普勒的引入

??準(zhǔn)確的信道估計(jì)對(duì)于獲取用于可靠檢測(cè)的信道狀態(tài)信息 (CSI) 至關(guān)重要。 在OTFS中，信道信息即時(shí)延偏移和多普勒偏移在 DD 網(wǎng)格上是離散的。 時(shí)延分辨率和多普勒分辨率分別取決于帶寬和持續(xù)時(shí)間。 實(shí)際通信場(chǎng)景中，帶寬足夠大以提供足夠的時(shí)延分辨率，而由于未來(lái)通信中的低時(shí)延要求，持續(xù)時(shí)間可能相對(duì)較小。（此時(shí)解釋了為什么不會(huì)特別考慮分?jǐn)?shù)時(shí)延的問(wèn)題） 因此，需要考慮分?jǐn)?shù)多普勒。 在整數(shù)多普勒的情況下，DD域的有效通道是稀疏的。 相反，對(duì)于分?jǐn)?shù)多普勒情況，有效DD主信道分布在所有多普勒指數(shù)上，這犧牲了有效信道的稀疏性，因此可能會(huì)降低信道估計(jì)性能 。 針對(duì)這一挑戰(zhàn)，為分?jǐn)?shù)多普勒情況開(kāi)發(fā)一種有效的信道估計(jì)算法至關(guān)重要。

（該圖來(lái)源：《Delay Communications Principles and Applications》p91 figure 4.16）
（此內(nèi)容為個(gè)人理解，若有不對(duì)的地方歡迎指正）仔細(xì)看這張圖，其實(shí)蘊(yùn)含了很多信息：
1）從圖1可以看出，主徑為2，若不存在分?jǐn)?shù)多普勒，在其他抽樣點(diǎn)處的幅值均為0，說(shuō)明主徑周圍符號(hào)是沒(méi)有干擾的，也就是不存在IDI。
2）從圖1移步到圖2，當(dāng)存在kappa=0.5（此時(shí)為最壞的情況）的多普勒頻移后，主徑2處的幅值開(kāi)始降低且無(wú)法達(dá)到最大幅值，而由于我們能取到的多普勒值都是整數(shù)，因此我們無(wú)法取到最大幅值的情況，也就是說(shuō)，在IDI的影響下，能量泄露是一定存在的。
3）依然停留在圖2，此時(shí)在2周圍其他整數(shù)抽樣點(diǎn)的幅值無(wú)法取到0，也就是說(shuō)主徑2會(huì)對(duì)周圍其他符號(hào)產(chǎn)生干擾，我們認(rèn)為這一干擾是由于IDI所致。

估計(jì)分?jǐn)?shù)多普勒的意義

i）使我們能夠通過(guò)使用估計(jì)的多普勒頻移，重建有效的DD域信道來(lái)改進(jìn)信道估計(jì)，這對(duì)于可靠檢測(cè)是必不可少。
ii）提高了定位的精度：當(dāng)OTFS輔助傳感時(shí)，因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)多普勒頻移的準(zhǔn)確估計(jì)來(lái)獲得移動(dòng)用戶速度的準(zhǔn)確估計(jì)。

研究現(xiàn)狀

??目前已有許多信道估計(jì)方面的論文（[5]-[10]）針對(duì)分?jǐn)?shù)多普勒?qǐng)鼍跋伦龀鲅芯?。論文[5]提出了一種嵌入式導(dǎo)頻設(shè)計(jì)，并引入一個(gè)簡(jiǎn)單的基于門限的估計(jì)器用來(lái)恢復(fù)DD域有效信道，該論文的缺點(diǎn)在于該方法并未提供多普勒頻移和信道增益（文獻(xiàn)[5]得到的$\tilde{h}[[k?k_p{]}_N,[l?l_p]]$是多個(gè)信道復(fù)增益的疊加）方面的估計(jì)。論文[6]提出一個(gè)三維正交匹配追蹤算法結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)三維稀疏性結(jié)構(gòu)在時(shí)延-多普勒-角度域信道的有效估計(jì)。論文[7]提出了一個(gè)改進(jìn)的導(dǎo)頻圖案，在導(dǎo)頻和符號(hào)間不再需要保護(hù)間隔，此外引入系數(shù)貝葉斯（后文簡(jiǎn)稱為SBL）算法解決稀疏信號(hào)恢復(fù)的問(wèn)題。
??論文[11]通過(guò)引入塊重組，提出塊SBL算法。實(shí)現(xiàn)該論文的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。論文[7][11]由于使用SBL算法復(fù)雜度較高，特別不適用于OTFS幀較大的場(chǎng)景。論文[12]研究了多導(dǎo)頻方案也將信道估計(jì)問(wèn)題建模為稀疏信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題進(jìn)行求解，引入基于因子圖表示的消息傳遞算法直接實(shí)現(xiàn)信道增益以及多普勒頻移的估計(jì)。論文[9]提出無(wú)格點(diǎn)的信道估計(jì)方案實(shí)現(xiàn)原始DD域的估計(jì)而非有效DD域估計(jì)（原始和有效DD域估計(jì)的區(qū)別是：一個(gè)是實(shí)際信道，另一個(gè)是理論信道；原始的DD領(lǐng)域信道響應(yīng)是稀疏的，由于不可避免的信道展寬，有效的DD領(lǐng)域信道可能不再稀疏。），該方法將信道估計(jì)問(wèn)題建模為1D和2D無(wú)格點(diǎn)稀疏恢復(fù)問(wèn)題（此處也不太理解從信道估計(jì)到稀疏信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題間的轉(zhuǎn)換關(guān)系？），并引入SBL算法來(lái)解決以上問(wèn)題（1D和2D無(wú)格點(diǎn)稀疏恢復(fù)問(wèn)題）。

本節(jié)參考文獻(xiàn)
[5] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay-doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906-4917, 2019.
[6] W. Shen, L. Dai, J. An, P. Fan, and R. W. Heath, “Channel estimation for orthogonal time frequency space (OTFS) massive MIMO,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 67, no. 16, pp. 4204-4217, 2019.
[7] L. Zhao, W. Gao, and W. Guo, “Sparse bayesian learning of delay- doppler channel for OTFS system,” IEEE Communications Letters, vol. 24, no. 12, pp. 2766-2769, 2020.
[8] W. Yuan, S. Li, Z. Wei, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Data-aided channel estimation for OTFS systems with a superimposed pilot and data transmission scheme,” IEEE Wireless Communications Letters, vol. 10, no. 9, pp. 1954-1958, 2021.
[9] Z. Wei, W. Yuan, S. Li, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Off-grid channel estimation with sparse bayesian learning for OTFS systems,” IEEE Transactions on Wireless Communications, pp. 1-1, 2022.
[10] Z. Li, W. Yuan, and L. Zhou, “UAMP-based channel estimation for OTFS in the presence of the fractional doppler with HMM prior,” in 2022 IEEE/CIC International Conference on Communications in China (ICCC Workshops), 2022, 304-308.
[11] L. Zhao, J. Yang, Y. Liu, and W. Guo, “Block sparse bayesian learning- based channel estimation for mimo-OTFS systems,” IEEE Communica- tions Letters, vol. 26, no. 4, pp. 892-896, 2022.
[12] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communica- tions, vol. 20, no. 12, pp. 7773-7785, 2021.

二、系統(tǒng)模型

OTFS在DD域的輸入輸出關(guān)系可以表述為：

其中，x和y分別表示在DD域上的發(fā)送和接收符號(hào)，h_w表示有效DD域信道（h_w可以理解成是信道響應(yīng)的循環(huán)卷積，詳細(xì)公式推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[5]），其中，采樣后信道的響應(yīng)可以表示為：

考慮分?jǐn)?shù)多普勒后，時(shí)延和多普勒為τ_i和v_i分別表示為：

$\kappa$_vi∈[-1/2,1/2]為分?jǐn)?shù)多普勒。
因此，整數(shù)時(shí)延和分?jǐn)?shù)多普勒信道可以表示為(h_ω為整數(shù)時(shí)延分?jǐn)?shù)多普勒下的有效信道響應(yīng)，個(gè)人覺(jué)得此處公式有誤，自作主張地作了修改)：

從式5可以看出，DD 域中的有效信道響應(yīng)是 P 條路徑響應(yīng)的疊加。

若只考慮一條路徑，可以將上式簡(jiǎn)化為：

補(bǔ)充公式(6)的推導(dǎo)過(guò)程（特別注意這里原文中的公式存在筆誤）：

整數(shù)多普勒時(shí)（即$\kappa$_vi=0），可以將式(6)簡(jiǎn)化為（簡(jiǎn)單理解成sinc函數(shù)為沖激函數(shù)的具體實(shí)現(xiàn)）：

分?jǐn)?shù)多普勒時(shí)（即$\kappa$_vi≠0），可以將DD域信道響應(yīng)的幅度為（注意此處只考慮幅度，含e項(xiàng)的相移就忽略掉了）；由于多普勒偏移的存在，此時(shí)不能再用沖激函數(shù)來(lái)近似：

從上式可以看出，分?jǐn)?shù)多普勒降低了信道估計(jì)的性能，增加了符號(hào)檢測(cè)的復(fù)雜度。
接下來(lái)淺淺寫了個(gè)代碼來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)多普勒的問(wèn)題：

%% 本代碼用于分析比較整數(shù)和分?jǐn)?shù)多普勒下信道響應(yīng)的不同
% 公式來(lái)源《Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler》式7與式8
% 式7（整數(shù)多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=h_i*dirac(k-k_vi)*exp(-j*2pi*Q),Q=(k_vi*l_taoi)/M*N
% 式8（分?jǐn)?shù)多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N))
clc
clear
N = 20;% N決定周期，因此N與k的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)
M = 20;
k_vi = 5;
fra_i = 0.2;
h_i = 1;
k = 0:0.1:20;
l_taoi = 1;
h_w_fra = zeros(1,length(k));
Q = (k_vi*l_taoi)/M*N;
h_w_integer = h_i*dirac(k-k_vi)*exp((-1i)*2*pi*Q);
% h_w_fractional =(h_i/N)*abs(sin(pi*fra_i)./sin(pi*(-k+k_vi+fra_i)/N)); 用式8的第二個(gè)簡(jiǎn)化后的公式無(wú)法體現(xiàn)細(xì)節(jié)信息（近似是個(gè)沖激函數(shù)）
h_w_fractional=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N));
h_w_fractional_fra0_=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi))./sin(pi*(k-k_vi)/N));
figure(1)
plot(k,h_w_fractional,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.9356],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 畫出虛線
title('分?jǐn)?shù)多普勒影響下歸一化單徑有效信道響應(yīng)幅度圖')
grid on
% 由下圖可以看出，當(dāng)fra=0時(shí)在整數(shù)抽樣點(diǎn)可以取到最大幅值，因此（當(dāng)不存在分?jǐn)?shù)多普勒時(shí)）可近似看作是沖激函數(shù)h_w_integer。
figure(2)
plot(k,h_w_fractional_fra0_,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.99],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 畫出虛線
title('沒(méi)有分?jǐn)?shù)多普勒影響下歸一化單徑有效信道響應(yīng)幅度圖')
grid on

上圖為仿真結(jié)果，從圖上可以看出由于分?jǐn)?shù)多普勒的存在，在k_vi = 5時(shí)并沒(méi)有取到最大幅值（注意比較左右兩幅圖的區(qū)別）。需要注意的是，下圖只是從幅度的角度說(shuō)明了分?jǐn)?shù)多普勒的影響，此外，分?jǐn)?shù)多普勒還會(huì)引起相移也就是IDI：

三、論文算法

概述

?? 提出一個(gè)用于OTFS系統(tǒng)的基于線性系統(tǒng)信道估計(jì)算法，該算法可以提取多普勒頻移和信道增益，即使不同路徑間存在明顯的干擾；在低信噪比下，通過(guò)從有效信道向量中選擇合適的樣本，可以初步估計(jì)多普勒頻移和信道增益。

導(dǎo)頻設(shè)計(jì)

采用嵌入式導(dǎo)頻設(shè)計(jì)（單個(gè)導(dǎo)頻符號(hào)被嵌入到 DD 域中，并且在導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)之間插入了保護(hù)間隔，以避免干擾。），具體細(xì)節(jié)參考[1]的fig 3。

導(dǎo)頻處接收到的符號(hào)為：

其中$\mathcal{L}[k,l]$為由于分?jǐn)?shù)多普勒產(chǎn)生的干擾（從公式10可以看出，干擾主要來(lái)自于周圍信號(hào)）：

算法細(xì)節(jié)

導(dǎo)頻處實(shí)際接收到的符號(hào)包括三部分：導(dǎo)頻處接收符號(hào)（該項(xiàng)通過(guò)閾值法實(shí)現(xiàn)初步接收，具體操作見(jiàn)[1]）+分?jǐn)?shù)多普勒產(chǎn)生的干擾+噪聲。對(duì)于接收信號(hào)的進(jìn)一步準(zhǔn)確估計(jì)主要分為兩種情況分析：A .單徑（路徑間無(wú)干擾） B. 多徑。

?? 以上分別為單一路徑（圖a），可分離多徑（圖b，由于多普勒索引$k_{vi}$相差較大，可以將多徑看作多路單徑處理），不可分離單徑（圖c，由于多普勒索引$k_{vi}$相差較小，多徑不可分離，因此需要用到下文中的“B. 多路徑下的精確估計(jì)”進(jìn)行處理）下多普勒域的有效信道響應(yīng)。

A. 單一路徑下的精確估計(jì)（相當(dāng)于給定時(shí)延）

由式6可知，給定時(shí)延的信道響應(yīng)為（利用等比數(shù)列求和公式求解）：

其中，h$\omega$[k,l]是有效DD域信道，其為原始DD域響應(yīng)的采樣值，其中，$k_{d_i}=k_{{\nu }_i}+{\kappa }_{{\nu }_i}$，疑問(wèn)：$k_{d_i}$中是否包含分?jǐn)?shù)多普勒項(xiàng)，對(duì)于問(wèn)題求解有什么影響嗎？（也即分?jǐn)?shù)多普勒存在與否對(duì)于該問(wèn)題的求解會(huì)產(chǎn)生什么影響？）
補(bǔ)充其化簡(jiǎn)過(guò)程：

將式13的結(jié)果繼續(xù)整理為線性方程的形式：

為了得到參數(shù)$\alpha$_i和z_i的值，需要兩個(gè)信道響應(yīng)${\mathcal{G}}_i(k)$的采樣值，此時(shí)就構(gòu)造出了一個(gè)2×2的線性系統(tǒng)：

接下來(lái)就需要考慮如何得到有效信道的估計(jì)值，實(shí)際場(chǎng)景中該項(xiàng)的估計(jì)是存在誤差的，即${\hat{\mathcal{G}}}_i(k)={\mathcal{G}}_i(k)+e(k)$，其中${\hat{\mathcal{G}}}_i(k)={\hat{h}}_w[k,l_{{\tau }_i}]$，然而${\hat{h}}_w[k,l]$可以通過(guò)基于閾值的方法得到，即

也就是說(shuō)，路徑增益和多普勒頻移估計(jì)的準(zhǔn)確性一定程度上會(huì)受到門限值$\mathcal{T}$取值的影響。
?? 因此，路徑增益和多普勒頻移的精確估計(jì)就可以轉(zhuǎn)化為求信道響應(yīng)${\mathcal{G}}_i(k)$的最優(yōu)采樣值；最優(yōu)采樣值的選取即找到能量最大的信道響應(yīng)即可：

至此，已經(jīng)計(jì)算出$\alpha$_i和z_i，多普勒頻移和信道增益可以從前文（例如式13）輕易得出：

到這一步，就完成了單路徑下信道增益以及（分?jǐn)?shù)）多普勒頻移的精確估計(jì)?？偨Y(jié)一下，單一路徑下估計(jì)的基本思路如下圖所示：

B. 多路徑下的精確估計(jì)

?? 當(dāng)多普勒索引可以明顯分離時(shí)，多徑多普勒估計(jì)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為單徑問(wèn)題處理，當(dāng)多普勒索引彼此很接近時(shí)，需要引入多徑場(chǎng)景單獨(dú)處理，設(shè)某一時(shí)延l_j下的路徑數(shù)記為P_τ，多徑影響下信道響應(yīng)為：

將上式擴(kuò)展為多徑場(chǎng)景時(shí)，可將問(wèn)題建模成（從式20怎么到式21，還沒(méi)有很理解）：

將上式整理成矩陣的形式為：

為求解上述方程，與單徑場(chǎng)景類似，取$2P_{\tau }$個(gè)采樣值進(jìn)行求解，即：

（至此，求解系數(shù)矩陣a、b的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解有效DD域信道（或者說(shuō)得到求解DD域信道的最佳采樣值）。）
將該問(wèn)題用線性系統(tǒng)進(jìn)行表示，通過(guò)選擇幅度最大的P_τ從而恢復(fù)出系數(shù)a和b，在這一基礎(chǔ)上，通過(guò)下式恢復(fù)出多普勒頻移和信道增益：


式26與式18結(jié)合可以估計(jì)處（分?jǐn)?shù)）多普勒頻移；

信道矩陣可以通過(guò)求解矩陣A得到。

四、仿真結(jié)果

?? 參數(shù)設(shè)置：OTFS幀尺寸M=N=32，子載波間隔為7.5kHz，載波頻率為3GHz，路徑數(shù)P=5，歸一化最大時(shí)延和多普勒為5和4，QPSK調(diào)制。
A. 單徑：

B. 多徑：

?? 從上述仿真結(jié)果可以看出，無(wú)論是再單徑還是多徑場(chǎng)景下，該算法估計(jì)的信道增益與多普勒頻移與CRLB很接近。由于不同路徑間存在干擾，多徑下的CRLB與單徑相比NMSE更高（關(guān)于CRLB的推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)[3]）。

五、總結(jié)

?? 不管是單徑還是多徑場(chǎng)景，估計(jì)信道復(fù)增益以及分?jǐn)?shù)多普勒的基本思想都是，通過(guò)已知的信道復(fù)增益的采樣值，根據(jù)建立的方程組（式15及是24）反推出待求的參數(shù)值，根據(jù)建立的數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步反推得到$h$和$v$；單徑和多徑的不同之處在于參數(shù)數(shù)量以及所建立的方程組的維數(shù)不同，其基本思路是一致的。
?? 以上為對(duì)于該論文的整理與串聯(lián)，關(guān)于與本人目前研究非強(qiáng)相關(guān)的內(nèi)容未作詳細(xì)推導(dǎo)，建議輔助原文閱讀效果最佳。

參考文獻(xiàn)

[1] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay–doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906–4917, 2019.
[2] A. F. Molisch, “Delay-Doppler Communications: Principles and Applications,” in IEEE Communications Magazine, vol. 61, no. 3, pp. 10-10, March 2023, doi: 10.1109/MCOM.2023.10080900.https://ieeexplore.ieee.org/document/10080900
[3] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 20, no. 12, pp. 7773–7785, 2021.
[4] 知乎：OFDM同步技術(shù)（2）——小數(shù)倍載波頻率偏差估計(jì)https://zhuanlan.zhihu.com/p/337633382
（本文并未引用，但是若想要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)多普勒問(wèn)題建議看看。此外，可以將OTFS分?jǐn)?shù)多普勒的問(wèn)題轉(zhuǎn)到OFDM中小數(shù)CFO中研究，這樣資料和公式推導(dǎo)都會(huì)完善許多。）
[5] P. Raviteja, K. T. Phan, Y. Hong and E. Viterbo, “Interference Cancellation and Iterative Detection for Orthogonal Time Frequency Space Modulation,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 17, no. 10, pp. 6501-6515, Oct. 2018.doi: 10.1109/TWC.2018.2860011
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