1 背景簡(jiǎn)介

????????實(shí)際問題中許多變量的關(guān)系可以用數(shù)學(xué)函數(shù)概念進(jìn)行刻畫，但是在大多數(shù)情況下，這些函數(shù)的表達(dá)式是未知的，或者已知但十分復(fù)雜，需要我們將這個(gè)函數(shù)的未知解析式近似地構(gòu)造出來，或者用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)表達(dá)式來代替復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式?；谏鲜鲞^程，我們?cè)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，通過提供未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)的某些已知信息，來實(shí)現(xiàn)以下目的：
????????(1)構(gòu)造該函數(shù)的近似表達(dá)式；
????????(2)計(jì)算該函數(shù)在其他點(diǎn)處的函數(shù)值；
????????(3)計(jì)算所構(gòu)造的近似表達(dá)式與真實(shí)函數(shù)的誤差。

2 案例設(shè)計(jì)

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 拉格朗日插值法

3.1.1 算法過程

3.1.2 代碼

function y=Lagrange(xi,fx,x)
xi_num=length(xi); % 已知節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)
x_num=length(x);   % 需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
for i=1:x_num      % 對(duì)每個(gè)估計(jì)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)
    z=x(i);
    f=0.0;
    for m=1:xi_num
        L=1.0;     % L為基函數(shù)
        for n=1:xi_num
            if n~=m
                L=L*(z-xi(n))/(xi(m)-xi(n));
            end
        end
        f=L*fx(m)+f; 
    end
    y(i)=f;
end
end

%% 輸入?yún)?shù)
% 輸入節(jié)點(diǎn)
xi=(1:2:11); 
% 輸入節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值
fx=[2.7183 2.2317 5.9365 22.3803 100.0381 494.8276];
% 輸入需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)
x=[3.57 6.91 9.36];
%% 利用Lagrange計(jì)算x處函數(shù)值
y=Lagrange(xi,fx,x) % 結(jié)果為y=[1.5326 21.1960 135.2998]

3.1.3 計(jì)算結(jié)果

3.2 牛頓插值法

3.2.1 算法過程

3.2.2 代碼

function y=Newton(x,xi,yi)
xi_num=length(xi); % 已知節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)
x_num=length(x);   % 需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
f=zeros(xi_num,xi_num);
for i=1:x_num      % 對(duì)每個(gè)估計(jì)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)
    z=x(i);
    N=0.0;
    for m=1:xi_num
        f(m)=yi(m);
    end
    for n=2:xi_num % 構(gòu)造差商表   
        for m=n:xi_num
            f(m,n)=(f(m,n-1)-f(m-1,n-1))/(xi(m)-xi(m+1-n));
        end
    end
    for m=2:xi_num
        t=1;
        for j=1:m-1
            t=t*(z-xi(j));
        end
        N=f(m,m)*t+N;
    end
    N=f(1,1)+N;
    y(i)=N;
end
disp('差商表如下：');
disp(f);
end

%% 輸入?yún)?shù)
% 輸入節(jié)點(diǎn)
xi=(1:2:11); 
% 輸入節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值
fx=[2.7183 2.2317 5.9365 22.3803 100.0381 494.8276];
% 輸入需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)
x=[3.57 6.91 9.36];
%% 利用Newton計(jì)算x處函數(shù)值
y=Newton(x,xi,fx) % 結(jié)果為y=[2.7854 20.9903 132.5689]

3.2.3 計(jì)算結(jié)果

3.3 埃爾米特插值法

3.3.1 算法過程

3.3.2 代碼

function y=Hermite(xi,fx,fx1,x)
xi_num=length(xi); % 已知節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)
x_num=length(x);   % 需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
for i=1:x_num
    f=0.0;
    for m=1:xi_num
        H=1.0;
        a=0.0;
        for n=1:xi_num
            if n~=m
                H=H*((x(i)-xi(n))/(xi(m)-xi(n)))^2;
                a=a+1/(xi(m)-xi(n));
            end
        end
        f=f+H*((xi(m)-x(i))*(2*a*fx(m)-fx1(m))+fx(m));
    end
    y(i)=f;
end

%% 輸入?yún)?shù)
% 輸入節(jié)點(diǎn)
xi=(1:2:11); 
% 輸入節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值
fx=[2.7183 2.2317 5.9365 22.3803 100.0381 494.8276];
% 輸入節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值
fx1=[-2.7183 0.7439 3.5619 15.9859 77.8074 404.8590];
% 輸入需要估計(jì)的節(jié)點(diǎn)
x=[3.57 6.91 9.36];
%% 利用Lagrange計(jì)算x處函數(shù)值
y=Hermite(xi,fx,fx1,x) % 結(jié)果為y=[2.7854 20.9903 132.5689]

3.3.3 計(jì)算結(jié)果

4 分析與討論

????????在本設(shè)計(jì)案例中，三種插值方法都能夠有效地估算插值節(jié)點(diǎn)外其他點(diǎn)的函數(shù)值，插值結(jié)果也比較接近真實(shí)值。其中，埃爾米特插值法需要用到被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，估計(jì)誤差最小，效果最好。而拉格朗日插值方法和牛頓插值法的估計(jì)精度相同且次于埃爾米特插值法。
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-522220.html

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