貝葉斯公式的作業(yè)

1. 兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)不合格品的概率是 0.03，第二臺出現(xiàn)不合格品的概率是 0.06，加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍.如果取出的零件是不合格品，求它是由第二臺車床加工的概率_____; (結(jié)果小數(shù)點后保留1位)
   【正確答案: 0.5 或 1/2】
   解析：
   兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)不合格品的概率是 0.03，第二臺出現(xiàn)不合格品的概率是 0.06，加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，(1)求任取一個零件是合格品的概率：(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二臺車床加工的概率。
   解： 設(shè)A?，A?分別表示“取出的是第一臺、第二臺車床加工的零件”，B表示“取出的是合格品”.
   (1)所求概率為
   $P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=23\times 0.97+13\times 0.94=0.96;$
   (2)所求概率為
   $P(A_2|\overline{B})=\frac{P(A_2\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A_2)P(\overline{B}|A_2)}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{1}{3}\times 0.06}{0.04}=0.5$

2. 有兩箱零件，第一箱裝50件，其中20件是一等品；第二箱裝30件，其中18件是一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后任取兩個零件， 試求在第一次取出的是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率______(結(jié)果小數(shù)點后保留4位)
   【 正確答案: 0.5068或1267/2500】
   解析：
   有兩箱零件，第一箱裝50件，其中20件是一等品；第二箱裝 30件，其中18件是一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后任取兩個零件，試求
   (1) 第一次取出的零件是一等品的概率；
   (2) 在第一次取出的是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.
   解： 設(shè)$A_1$，$A_2$分別表示“挑出第一箱、第二箱”，B?，B?分別表示“第一次、第二次取出的是一等品”
   (1)所求概率為$P(B_1)=P(A_1)P(B_1|A_1)+P(A_2)P(B_1|A_2)=\frac{1}{2}\times \frac{20}{50}+\frac{1}{2}\times \frac{18}{30}=0.5$
   (2)因$P(B_1{B}_2)=P(A_1)P(B_1{B}_2|A_1)+P(A_2)P(B_1{B}_2|A_2)=\frac{1}{2}\times \frac{20}{50}\times \frac{19}{49}+\frac{1}{2}\times \frac{18}{30}\times \frac{17}{29}=\frac{3601}{14210}$，故所求概率為$P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1{B}_2)}{P(B_1)}=\frac{3601/14210}{0.5}=\frac{3601}{7105}=0.5068$

3. 學(xué)生在做一道有4個選項的單項選擇題時，如果他不知道問題的正確答案時，就作隨機猜測，現(xiàn)從卷面上看題是答對了，試在以下情況下求學(xué)生確實知道正確答案的概率。
   (1) 學(xué)生知道正確答案和胡亂猜測的概率都是 1/2，則學(xué)生確實知道答案的概率為：_____ 。
   【正確答案: 0.8或4/5】
   (2) 學(xué)生知道正確答案的概率是 0.2.則學(xué)生確實知道答案的概率為：_____ 。
   【正確答案: 0.5或1/2】
   解析：
   學(xué)生在做一道有 4個選項的單項選擇題時，如果他不知道問題的正確答案時，就作隨機猜測，現(xiàn)從卷面上看題是答對了，試在以下情況下求學(xué)生確實知道正確答案的概率。
   (1)學(xué)生知道正確答案和胡亂猜測的概率都是 1/2；
   (2)學(xué)生知道正確答案的概率是0.2.
   解：設(shè)$A_1,A_2$分別表示 “學(xué)生知道正確答案、胡亂猜測”，B表示“題答對了”。
   (1)因 $P(A_1)=0.5,P(A_2)=0.5$
   故所求概率為
   $P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{0.5\times 1}{0.5\times 1+0.5\times 0.25}=\frac{0.5}{0.625}=0.8$
   (2)因 $P(A_1)=0.2,P(A_2)=0.8$
   故所求概率為
   $P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{0.2\times 1}{0.2\times 1+0.8\times 0.25}=\frac{0.2}{0.4}=0.5$

4. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今從男女比例為 22：21 的人群中隨機地挑選一人，發(fā)現(xiàn)恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是=_____ ; (結(jié)果保留小數(shù)點后4位)
   【正確答案: 0.9544】
   解析：
   設(shè)A?，A?分別表示“此人是男性、女性”，B表示“此人是色盲患者”，故所求概率為$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{\frac{22}{43}\times 0.05}{\frac{22}{43}\times 0.05+\frac{21}{43}\times 0.0025}=0.9544$

5. 口袋中有一個球，不知它的顏色是黑的還是白的。 現(xiàn)再往口袋中放入一個白球，然后再從口袋中任意取出一個，發(fā)現(xiàn)取出的是白球，試問口袋中原來那個球是白球的可能性為=_______;(結(jié)果要求用約分數(shù)形式表示, 或小數(shù)點后保留3位)
   【正確答案: 2/3或 0.667】
   解析：
   設(shè) A?，A? 分別表示 “原來那個球是白球、黑球”，B表示“取出的是白球”，
   故所求概率為$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{0.5\times 1}{0.5\times 1+0.5\times 0.5}=\frac{0.5}{0.75}=\frac{2}{3}$

6. 將4根繩子的8個頭任意兩兩相接， 求恰好結(jié)成4個圈的概率=______ 。
   【正確答案: 1/105】
   解析：
   樣本點總數(shù)為$N=(2n?1)(2n?3)?3?1=(2n?1)!!$，事件A=“恰好結(jié)成 n個圈”所含樣本點個數(shù) K=1，故所求概率為$P(A)=\frac{1}{(2n?1)!!}$

7. 甲、乙兩人輪流擲一顆骰子，甲先擲.每當某人擲出1點時，則交給對方擲，否則此人繼續(xù)擲，試求第一次由甲擲的概率為:_____ 【正確答案：1】，第二次由甲擲的概率為:_____ 【正確答案:5/6】 , 第三次由甲擲的概率為:______ 【正確答案:13/18】 , 第4次有甲擲的概率為:______ 【正確答案: 35/54】;
   解析：
   設(shè)$A_k$表示“第k次由甲擲骰子”，k=1,2,……，有$P(A_1)=1$
   則$P(A_k)=P(A_{k?1})P(A_k|A_{k?1})+P({\overline{A}}_{k?1})P(A_k|{\overline{A}}_{k?1})=P(A_{k?1})?\frac{5}{6}+[1?P(A_{k?1})]?\frac{1}{6}=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(A_{k?1})$
   故$P(A_n)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(A_{n?1})=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}[\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(A_{n?2})]=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}?\frac{1}{6}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2}P(A_{n?2})=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}?\frac{1}{6}+?+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n?2}?\frac{1}{6}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n?1}?P(A_1)=\frac{\frac{1}{6}[1?{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n?1}]}{1?\frac{2}{3}}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n?1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}?{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n?1}$文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-513804.html

附：系列文章

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