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2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

2年前作者：伊伊_f分類：Toy博客閱讀(20)違法舉報

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1.反對稱矩陣
(1)定義: A為n階矩陣,如果A的轉置等于-A,則稱A為“反對稱矩陣”.即A'=-A
(2)特征: A主對角線兩邊對稱的數(shù)相反,且主對角線的數(shù)全為0
(3)性質:
a.設A,B為反對稱矩陣，則A±B仍為反對稱矩陣
b.設A,B為反對稱矩陣,? 則A'或bA仍為反對稱矩陣
c.設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣
d.冪運算
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

其中,(V X)為反對稱矩陣, v為(V x)的模值.
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
(4)定理:
a.奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為0
b.反對稱矩陣的特征值是0或純虛數(shù)，并且對應于純虛數(shù)的特征向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交

2.反對稱陣的矩陣指數(shù)函數(shù)

(1)實數(shù)x的指數(shù)函數(shù)的展開式
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
(2)同理,(對稱)矩陣A的指數(shù)函數(shù)的展開式

?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-500954.html

知識補充:
1.行列式運算
(1)二階行列式運算
主對角線的數(shù)乘減去副對角線的數(shù)乘：a11a22 - a12a21
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
(2)三階行列式運算

? 2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
2. 矩陣叉乘和點乘(內積)

(1)矩陣叉乘運算
矩陣w=NxM階,x=nxN階,w的行數(shù)必須等于x的列數(shù)
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

?(2)矩陣的點乘

兩矩陣階數(shù)相同,點乘為兩矩陣個元素相乘
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

3.向量的叉乘和點乘
(1)向量的叉乘
向量叉乘的運算結果是一個向量,叉乘所得的新“向量"與這兩個向量垂直.

新向量的模等于:
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新向量的方向:
與這兩個向量所在的平面垂直，且遵循右手定則

(2)向量的點乘
向量的點乘結果是一個標量(數(shù)值)
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
4. 對稱矩陣
(1)定義: A為n階矩陣,如果A的轉置等于A,則稱A為“對稱矩陣”.即A'=A
(2)特征: A主對角線兩邊對稱的數(shù)相等

5.對角矩陣
(1)對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。
a.對角線上的元素可以為0或其他值.
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
b.對角線上元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣

? ? ?
c.對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣

(2)對角矩陣運算
a.和差運算

b.數(shù)乘運算

c.點乘運算

2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù) ?

6.實對稱矩陣
(1)定義: 如果n階矩陣A的元素都是實數(shù)且其轉置等于本身A'=A,則稱A為實對稱矩陣
(2)性質:
a.實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。
b.實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)。
c.n階實對稱矩陣A必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。
d.若A具有k重特征值λ0　必有k個線性無關的特征向量，或者說秩r(λ0E-A)必為n-k，其中E為單位矩陣。
e.實對稱矩陣A一定可用正交矩陣對角化

7.厄米特矩陣
(1)定義:指的是自共軛矩陣
矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等.埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數(shù)的
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)
例如A為厄米特矩陣

8.反厄米特矩陣
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

9.正交矩陣
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù) ?

10.酉矩陣
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù) ?

?若A是n階厄米特矩陣，其特征值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。

11.正規(guī)矩陣
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

? 2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

12.特征值和特征向量
2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

13.哈密-凱萊(Hamilton-Cayley)定理
(1)定理
定理1(Hamilton-Cayley定理)設A是數(shù)域F上的n階矩陣，f(λ)=|λE-A|是A的特征多項式

2-反對稱矩陣及其指數(shù)函數(shù)

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