三角函數(shù)@對數(shù)@分式

x > 0 x>0 x>0

• $\sin x<x(x>0)$

• $\ln x?x?1(x>0)$

  • $\ln (x)+1?x$

• $\ln (x+1)?x(x>0)$

  • $令t=x+1,t>1>0$
  • $\ln (t)?t?1$
  • $\ln (x+1)?x$

• $\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

  • $u=\frac{1}{x}>0$

• $\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

  • $此處\frac{1}{1+x}<\frac{1}{x}$是顯然的($x>0$范圍內(nèi),分母大的反而小)
  • 記住這一對,有利于記憶這個不等式鏈

• $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$

  • $由上式將x用\frac{1}{x}$代換得到
  • 并且容易發(fā)現(xiàn),$0<\frac{x}{x+1}<1$
    • $但是\ln (1+x),x$都可以在$x\to \infty$時,趨于無窮大

• 證明:

  • 可以考慮作差構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)單調(diào)性的方法證明

  • 這里采用拉格朗日中值定理構(gòu)造動區(qū)間來證明證明

  • 記函數(shù)$f(x)=\ln x,x>0$

  • 可通過Lagrange中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem,簡記為LMVT)

  • 構(gòu)造動態(tài)區(qū)間$\tau =[x_1(x),x_2(x)]$

    • 也就是,用兩個函數(shù)作為閉區(qū)間的邊界

      • $$\begin{gathered} x_1=x_1(x) \\ {x}_2=x_2(x) \end{gathered}$$

      • 當$x_1,x_2$都只是常數(shù)的時候,那么稱為靜態(tài)區(qū)間

      • 不過,動態(tài)區(qū)間更加具有思考價值,可以做很多有意義的工作(推導@證明一些不等式)

  • 記:
    $$\begin{gathered} \Delta x=x_2?x_1 \\ \Delta y=f(x_2)?f(x_1) \end{gathered}$$

    • 則由LMVT

    • $$\begin{gathered} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(\xi ),\Delta x=0 \\ 更一般的形式 \\ \Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x={\frac{d}{dx}f(x)|}_{x=\xi }?\Delta x \end{gathered}$$

  • 本例中,$x_1=x,x_2=x+1;x>0;\tau =[x,x+1],\Delta x=x+1?x=1$,區(qū)間寬度是常數(shù)1

    • $f(x)=\ln x$

    • $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

    • 由LMVT,

      • $$\begin{gathered} \Delta y=\ln (x_2)?\ln (x_1)=\ln (x+1)?\ln x=\ln \frac{x+1}{x} \\ {f}^{\prime }(\xi )\Delta x={\frac{1}{x}|}_{x=\xi }\Delta x=\frac{1}{\xi }?1=\frac{1}{\xi } \\ ?\xi ,s.t. \\ \ln \frac{x+1}{x}=\frac{1}{\xi } \\ 且\xi \in \tau =[x,x+1] \end{gathered}$$

      • $$\begin{gathered} 為了便于比較,將\xi \in [x,x+1]變形為 \\ \frac{1}{\xi }\in [\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}] \\ 從而 \\ \frac{1}{x+1}<\ln \frac{x+1}{x}<\frac{1}{x} \\ 分離常數(shù)的形式: \\ \frac{1}{x+1}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x},(x>0) \end{gathered}$$

    • 此外,$x>0?\frac{1}{x}>0$

      • $$\begin{gathered} x取\frac{1}{x}(代換之) \\ \frac{1}{\frac{1}{x}+1}<\ln (1+x)<x \\ 即:\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x \end{gathered}$$

x ∈ ( 0 , 1 2 π ) x\in(0,\frac{1}{2}\pi) x∈(0,21?π)

正弦正切

• $$\sin x<x<\tan x$$

  • 從單位圓的幾何角度可以直接證明
  • 同除以$\sin x$
  • $1<\frac{x}{\sin x}<\cos x$
  • 同時取倒數(shù)
  • $1>\frac{\sin x}{x}>\frac{1}{\cos x}$
  • 即$\frac{1}{\cos x}<\frac{\sin x}{x}<1$
    • 由于不等式后兩項$f(x)=\frac{1}{\cos x};g(x)=\frac{\sin x}{x}$是偶函數(shù)
    • $所以f(?x)=f(x);g(?x)=g(x)$
    • $由f(x)<g(x)$可知,依然有$f(?x)<g(?x)$
    • 可見,在$x\in (?\frac{1}{2}\pi ,0)\cup (0,\frac{1}{2}\pi ),f(x)<g(x)$

x ∈ ( 0 , 1 ) x\in(0,1) x∈(0,1)

• $$\frac{x}{2}<\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$

  • 其中$y=\frac{x}{1+x}=\frac{1+x?1}{1+x}=1?\frac{1}{1+x}=?\frac{1}{1+x}+1$

    • $g(x)=?\frac{1}{1+x}可以從\frac{?1}{x}圖像左移1個單位得到$

    • 再將g(x)向上平移一個得到y(tǒng)(x)

    • https://www.geogebra.org/calculator/kfrrff9b	https://www.geogebra.org/calculator/vx6xkq8n
      	https://www.geogebra.org/calculator/aqejwzsm

• 記

  • $h(x)=\frac{1}{2}x$

  • $y(x)=\frac{x}{1+x}$

  • $p(x)=\ln (1+x)$

  • $q(x)=x$

  • $x\in [0,1]$

  • 分析

    • $c(x)=\frac{h(x)}{y(x)}=\frac{1+x}{2}$

      • 在定義域$x\in [0,1]$內(nèi),$c(x)?\in [0,1]$
      • $h(x)?y(x)$

    • 由$x>0$部分介紹的不等式鏈:$\frac{x}{x+1}<\ln (1+x)<x$

有界性@正弦@余弦

• $$\frac{1+\sin x}{2}?1+\cos x,(x\in [0,1])$$

  • $記f(x)=\frac{1+\sin x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sin x}{2}$

    • $g(x)=1+\cos x$

  • 因為$x\in [0,1]$內(nèi)

    • $\sin x,\cos x\in [0,1]$
    • $這樣\frac{1}{2}\sin x\in [0,\frac{1}{2}]$
    • $從而f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sin x}{2}?\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
    • 另一方面,$g(x)=1+\cos x\in [1,2]$

  • 因此$f(x)<g(x)$

  • 更一般的,設(shè)$x,y\in [0,\frac{1}{2}\pi ]$文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-460585.html

    • $f(x)=\frac{1}{2}+\sin x$
    • $g(y)=1+\cos y$
    • 依然有$f(x)?g(x)$
      • 當且僅當$x=\frac{1}{2}\pi$時取得等號

反三角

• $$\arctan x?x?\arcsin x(x\in [0,1])$$

x ∈ R x\in{R} x∈R

指數(shù)和冪

• $e^x?x+1(x\in R)$
  • $e^x?1?x$
  • 通常是希望將指數(shù)放縮成冪,達到簡化的目的

到了這里，關(guān)于math_常用放縮不等式及其變形@指數(shù)@對數(shù)@三角函數(shù)@一次函數(shù)的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！