非線性和色散
1.線性非色散波
最簡單的波的典型例子就是聲波和電磁波，它們可以用下面的方程描述：
?
(
?
2
?
t
2
?
v
0
2
?
2
?
x
2
)
f
(
x
,
t
)
=
0
?
(1.1)
\ (\frac{\partial^2}{\partial t^2}-v_0^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})f(x,t)=0 \,\tag{1.1}
?(?t2?2??v02??x2?2?)f(x,t)=0(1.1)
其中，
v
0
v_0
v0?是表示波速的常數。由于這個方程可以形式地分解為
?
(
?
?
t
?
v
0
?
?
x
)
(
?
?
t
+
v
0
?
?
x
)
f
(
x
,
t
)
=
0
?
\ (\frac{\partial}{\partial t}-v_0\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x})f(x,t)=0 \,
?(?t???v0??x??)(?t??+v0??x??)f(x,t)=0
讓我們考慮一種更簡單的情形
?
(
?
?
t
+
v
0
?
?
x
)
f
(
x
,
t
)
=
0
?
(1.2)
\ (\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x})f(x,t)=0 \,\tag{1.2}
?(?t??+v0??x??)f(x,t)=0(1.2)
方程（1.2）的解是方程（1.1）的右行波解
?
f
(
x
,
t
)
=
f
(
x
?
v
0
t
)
?
\ f(x,t)=f(x-v_0t) \,
?f(x,t)=f(x?v0?t)
假設這個波是周期的，則有最基本的平面波解
?
f
(
x
,
t
)
=
e
x
p
[
i
]
(
ω
t
?
k
x
)
?
\ f(x,t)=exp[i](\omega t-kx) \,
?f(x,t)=exp[i](ωt?kx)
上式中角頻率
ω
\omega
ω和波數k的關系
ω
=
v
0
k
\omega=v_0k
ω=v0?k稱為色散關系，這里它是線性的，常數
v
0
v_0
v0?表示波的相速度。
? ? ? ?具有線性色散關系的波稱為非色散波，這種波的特征是具有不同波數k的平面波疊加產生的初始脈沖波不改變形狀。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-470250.html
2.線性色散波
???????作為最簡單的例子，考慮波動方程
?
(
?
?
t
+
v
0
?
?
x
+
δ
?
3
?
x
3
)
f
(
x
,
t
)
=
0
?
(1.3)
\ (\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}+\delta\frac{\partial^3}{\partial x^3})f(x,t)=0 \,\tag{1.3}
?(?t??+v0??x??+δ?x3?3?)f(x,t)=0(1.3)
假設它有平面波解
f
(
x
,
t
)
∝
e
x
p
[
i
(
ω
t
?
k
x
)
]
f(x,t)\propto exp[i(\omega t-kx)]
f(x,t)∝exp[i(ωt?kx)]
那么色散關系可以寫為
ω
=
v
0
k
?
δ
k
3
\omega = v_0k-\delta k^3
ω=v0?k?δk3文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-470250.html
到了這里，關于孤子理論學習（一）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內容，請在右上角搜索TOY模板網以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網！
