前言

使用教材：馬文淦《計算物理學》，限于篇幅，這本書上部分知識寫得并不十分詳細，根據(jù)我復習時的一點想法，分享給大家參考。

本篇分享的是連續(xù)分布的隨機變量抽樣的幾種方法（直接、變換抽樣法，三類舍選法，復合抽樣法，課本2.3節(jié)）。

〇、前置知識

首先不防問自己一個問題，我們?yōu)槭裁匆私膺@塊知識？

物理模擬中經(jīng)常要對某個隨機變量（比如速度，位置，方向）抽樣，它們都滿足某個分布（比如一定溫度下微觀粒子運動速度滿足玻爾茲曼分布），問題就是如何產(chǎn)生滿足某個分布的隨機變量。

一般來說編程時我們能夠調(diào)用的隨機變量的生成函數(shù)，無非是幾個最典型的，比如均勻分布，正態(tài)分布等等，這是遠遠不夠我們使用的，所以要學會自己做符合想要的分布的隨機變量抽樣，這就是這塊知識目的所在。

因此需提前掌握偽隨機數(shù)及其生成方法。
（說是偽隨機數(shù)是因為計算機并不能生成真隨機數(shù)，任何代碼生成的隨機數(shù)都會有周期，只不過周期長短有別。我們使用的偽隨機數(shù)周期一般較長，可近似認為是隨機數(shù)。）

假設變量$\eta$是一個隨機數(shù)，那么在選定的隨機數(shù)生成范圍內(nèi)，生成每一個數(shù)的幾率是相同的，也就是說$\eta$滿足均勻分布。下面幾種方法都是建立在掌握均勻抽樣的基礎上，通過變量代換（變換抽樣法）或按某種方式舍棄部分數(shù)據(jù)（舍選法）來生成自己想要的分布的。

一、直接抽樣法

先看課本：

分布密度函數(shù)，現(xiàn)在的說法叫概率密度函數(shù)，表示的就是抽到這個數(shù)的概率，概率密度函數(shù)越高的地方抽到的可能性越大。同時密度函數(shù)也是分布函數(shù)的導數(shù)，對應可知分布函數(shù)上升較快的區(qū)間對應抽樣抽到的概率也很大，如下圖所示。

有了這兩幅$\eta$的分布圖，我們先定性地理解一下直接抽樣法：
1、首先在縱軸[0,1]范圍內(nèi)均勻抽樣，記作$\xi$；
2、分布函數(shù)值為$\xi$的點的橫坐標就是$\eta$，即為最終抽樣的結(jié)果。
$\xi$均勻抽樣抽到[0.1,0.9]區(qū)間內(nèi)的概率為0.8，對應的$\eta$為[-0.1,0.1]區(qū)間上，短短區(qū)間長度0.2竟有這么大的概率，可見是與概率密度函數(shù)符合的。

但這畢竟只是定性分析，究竟符不符合呢？可以證明這種抽樣方法$\eta$確實滿足的分布函數(shù)是F(x)，具體方法見上面的課本內(nèi)容。

附課本例題：

二、變換抽樣法

直接抽樣法其實是一種由均勻抽樣變換為所期望的隨機抽樣的特例，具體為什么，且看下文~

現(xiàn)在我們提出一個問題，看似所有的隨機變量都有概率密度函數(shù)f(x)，那么對其積分就一定能得到分布函數(shù)F(x)，再用直接抽樣，非常自然。所以這意味著所有的隨機抽樣都可以用這種方法嗎？

答案是否定的，上面的分析忽略了不是所有的F(x)都能用解析表達式表達出來，它確實存在，也可以畫出圖像，但就是無法解析表達，這種情況就不能用直接抽樣，而要用更一般的變換抽樣法。

上課本！

極簡版：$\eta =g(\delta )$，對$\delta$抽樣然后代入即可。

我對變換抽樣法的理解（敘述順序可能與課本不同）：
首先，$\eta$是我想抽樣的變量，它的概率分布函數(shù)是$f(x)$。假如我事先知道某個隨機變量$\delta$的抽樣方法，它是均勻分布，還是指數(shù)分布、正態(tài)分布等等都無所謂，但一定要知道怎么對它抽樣，同時我又知道$\delta$和$\eta$之間的關系：$\eta =g(\delta )$和$\delta =h(\eta )$（這里請體會一下，函數(shù)關系意味著一個$\delta$的抽樣可以唯一確定對應的$\eta$的抽樣。另外，不是所有函數(shù)都有反函數(shù)的，這也就要求$\delta$和$\eta$一一映射），那么我就先對$\delta$抽樣，再代入$\eta =g(\delta )$就得到了$\eta$的抽樣。

那么這 “ 某個隨機變量$\delta$ ” 是不是真的隨便哪一個變量都行？
記$\delta$的概率密度函數(shù)為$?(x)$, $\eta$的記為$f(x)$,由$\eta =g(\delta )$結(jié)合概率論知識可知，$f(x)=?(h(x))?|h^{\prime }(x)|$，所以要求$h^{\prime }(x)$存在，即$h(x)$可導。

所以可知，重點在于：
1、找到已知抽樣方法的變量$\delta$和未知抽樣方法的變量$\eta$之間的關系$\eta =g(\delta )$和$\delta =h(\eta )$，兩個函數(shù)都要存在，他倆一一映射；
2、$h(x)$可導。（這里$h(x)$括號里的變量是x是$\eta$其實無所謂的，可以體會一下）
而難點在于：找到$\eta =g(\delta )$和$\delta =h(\eta )$。

$\delta$為[0,1]上均勻分布時，$\eta =g(\delta )=F^{?1}(\delta )$，對$\delta$均勻抽樣反解出$\eta$，退化為直接抽樣法。

理解后再看課本對二維的敘述就不難了（課本的正態(tài)分布是個很好的例子，建議仔細看看）：

三、舍選法

舍選法分為第一、二、三類舍選法，我認為是比較難理解的地方，一些想法如下：

1.第一類舍選法

舍選就是對均勻抽樣的結(jié)果以$f(x)$的概率保留。$f(x)$是概率密度。

通常我們對隨機抽樣的理解是，概率密度大的地方抽的多點，概率密度小的地方抽的少點，這樣就能夠滿足概率密度函數(shù)，也就是我們想要的分布了。重點在于它是控制每一處被抽到的概率。

下面換一種方法：假設每一處被抽到的概率是相同的，這樣就是均勻分布，概率密度函數(shù)是一條直線，這不是我們想要的。在抽樣后，我們再根據(jù)想得到的概率密度函數(shù)，對抽到的數(shù)據(jù)進行不同程度的舍棄，概率密度函數(shù)大的地方少舍棄一點，小的地方多舍一點。根據(jù)這個思路，人們發(fā)明了第一類舍選法。

具體步驟我就搬運課本了：

稍作解釋：(a)步驟就是我說的“假設每一處被抽到的概率是相同的，這樣就是均勻分布”，(b)步驟就是我說的“根據(jù)想得到的概率密度函數(shù)，對抽到的數(shù)據(jù)進行不同程度的舍棄，概率密度函數(shù)大的地方少舍棄一點，小的地方多舍一點”。$\lambda$的作用是控制概率的最大值為1，對應該處數(shù)據(jù)不會被舍棄。

舍選法由于是通過非常簡單的均勻抽樣再舍選得到的，計算量小，速度快，避免了由于變換抽樣法導致的大計算量的問題。但同時也引入了一個新的問題：由于舍棄部分數(shù)據(jù)導致抽樣效率可能不高。尤其是概率密度函數(shù)在某處極端的高的情況，這會導致極大部分數(shù)據(jù)被舍棄，抽樣效率極低，這就有必要引入第二類舍選法了。

2.第二類舍選法

還記得變換抽樣法嗎？當時為了對一個復雜變量抽樣，我們先對一個已知的，簡單的變量抽樣，再做變換。同樣的道理，如果某個變量用第一類舍選法效率很低，那我們就先對效率高的變量用舍選法，再做變換。

課本的敘述：

個人理解：
首先，既然想把低效率的抽樣轉(zhuǎn)化成高效率的抽樣，那就做恒等變換
$f(x)=\frac{f(x)}{h(x)}?h(x)\stackrel{g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}}{=====}g(x)h(x)$，但這還不行，$g(x)$是待會兒做篩選舍取用的，要控制最大值為1。因此，用常數(shù)L來調(diào)整：$f(x)=L?\frac{f(x)}{Lh(x)}?h(x)=Lg(x)h(x)$。

重點理解上式$f(x)=Lg(x)h(x)$。概率密度函數(shù)就把他理解成概率，L不用管它，就是把最大值歸一（概率嘛）的一個系數(shù)。如果用第一類舍選法，抽到的數(shù)據(jù)被保留下來的概率為$\lambda f(x)$(同樣的，不用管$\lambda$)，那么$f(x)=Lg(x)h(x)$就可理解為把概率分解成兩個概率相乘。操作上可以理解為先由$h(x)$做一次舍選，得到的結(jié)果再根據(jù)$g(x)$做一次舍選。

先對滿足$h(x)$的變量抽樣（變換抽樣、舍選均可），因為抽出來的結(jié)果肯定滿足$h(x)$的概率密度，因此只要再根據(jù)$g(x)$做舍選，就能得到最終結(jié)果了。最終的抽樣結(jié)果和直接第一類舍選法結(jié)果一樣，但抽樣效率增加。

附課本例題：

3.第三類舍選法

最難理解的一類舍選法，課本上的敘述也及其抽象：

第二類舍選法中，先根據(jù)$h(x)$抽樣，再根據(jù)$g(x)$舍選，而第三類舍選法中，先根據(jù)$g(x)$抽樣，再根據(jù)$h(x)$舍選，是反過來的，這里注意一下。

課本2.3.38式變形為$f(x)=L?\frac{{\int }_{?\infty }^{h(x)}g(x,y)dy}{{\int }_{?\infty }^{\infty }g(x,y)dy}?{\int }_{?\infty }^{\infty }g(x,y)dy$，類比第二類舍選法中$f(x)=Lg(x)h(x)$，我特地調(diào)整了乘的順序，這下對比起來有種一目了然的感覺了。

最后我們再分析一下為什么步驟(b)是判別${\eta }_y\le h({\eta }_x)$：把$\frac{{\int }_{?\infty }^{h(x)}g(x,y)dy}{{\int }_{?\infty }^{\infty }g(x,y)dy}$理解為概率，[-$\infty$,h(${\eta }_x$)]內(nèi)的${\eta }_y$保留下來，不是這個區(qū)間的舍取，可以保證保留下來的概率是$\frac{{\int }_{?\infty }^{h(x)}g(x,y)dy}{{\int }_{?\infty }^{\infty }g(x,y)dy}$。

當$x$和$y$獨立時，$g(x,y)$可以拆分為$f_1(x)?f_2(y)$，假設$f_2$的積分是$F_2(x)$，則${\int }_{?\infty }^{h(x)}g(x,y)dy=f_1(x)?F_2(h(x))$，代入2.2.38式會發(fā)現(xiàn)退化成了第二類舍選法，實際上，第二類舍選法確是第三類舍選法的特例。這也是我理解第三類舍選法的切入點。

附課本例題：

總結(jié)

這幾類抽樣方法之間，直接->變換抽樣、第一->第二->第三類舍選法都是推廣的關系，同時推廣的方式又彼此相似，理解清為什么以這樣的順序來介紹對更深入地理解知識很有幫助。另外，連續(xù)隨機變量的抽樣并未講完，復合抽樣法將放在下一篇分享。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-449014.html

到了這里，關于計算物理學復習筆記（一） 連續(xù)隨機變量的抽樣（直接、變換抽樣，三類舍選法）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！