前言
研一生活開始了，看了大家對我之前博客的鼓勵讓我知道寫博客是一件多么有意義的事情。寫這些讓我遇見許多陌生的有緣人，有老驥伏櫪的大叔、也有可愛溫暖的學妹……
這里將高等工程數(shù)學的筆記留給不愛吃香菜的月亮，希望這些陪伴過我的微光在明年也能照亮她的研途。
第一章 （1）距離與范數(shù)
距離的定義和性質
- 非負性、對稱性、三角不等式。這三條性質用來證明是否為距離。
范數(shù)與賦范空間的定義
- 范數(shù)是具有長度概念的函數(shù)
- 完備的賦范線性空間稱為Banach空間
內積
我們從多個角度來看內積的概念。
代數(shù)角度
設二維空間內有兩個向量 a ? = ( x 1 , y 1 ) \vec{a}=(x_1 , y_1) a=(x1?,y1?) 和 b ? = ( x 2 , y 2 ) \vec=(x_2 , y_2) b=(x2?,y2?)，定義它們的點積為以下實數(shù)： a ? ? b ? = x 1 ? y 1 + x 2 ? y 2 \vec{a} \cdot \vec = x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 a?b=x1??y1?+x2??y2?
幾何角度
設二維空間內有兩個向量 a ? \vec{a} a 和 b ? \vec b。它們的夾角為 θ \theta θ （ 0 < θ < Π 0 < \theta <\Pi 0<θ<Π）則內積定義為以下實數(shù)： a ? ? b ? = ∣ a ? ∣ ∣ b ? ∣ c o s θ \vec{a} \cdot \vec = |\vec{a}| |\vec|cos\theta a?b=∣a∣∣b∣cosθ ，其實就是投影后相乘。該定義只對二維和三維空間有效。
等價范數(shù)
- 同時，有限維空間上的任何兩個范數(shù)必是等價的。
向量范數(shù)
- 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)是有聯(lián)系的?？梢詫⑾蛄靠醋鍪且粋€只有一行的矩陣，除了第一個維度其他維度全是0，所以在變換時就坍塌到了一維。例如，對于 ∞ \infty ∞范數(shù)而言這里其實還要乘以維數(shù)，只不過對于向量而言維數(shù)為1。
矩陣范數(shù)
- 矩陣范數(shù)相比范數(shù)的定義加了一個相容性
- 跟剛才的向量的范數(shù)對比下會發(fā)現(xiàn)很像
- 這里 t r A trA trA代表方陣 A 的跡（A 的主對角線上元素之和）
矩陣范數(shù)和向量范數(shù)的相容性
- 向量1范數(shù)與矩陣 m 1 m_1 m1?范數(shù)相容
- 向量2范數(shù)與矩陣F范數(shù)相容
- 向量1，2， ∞ \infty ∞范數(shù)均與矩陣 m ∞ m_\infty m∞?范數(shù)相容
- 任何向量范數(shù)都存在與之相容的矩陣范數(shù)（算子范數(shù)）
酉矩陣
定義
- 即 U H = U ? 1 U^H = U^{-1} UH=U?1
性質
F范數(shù)的酉不變性
正規(guī)矩陣
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-448296.html
例：
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-448296.html
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