2.1 矩陣的概念

元素全為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣

?元素全為負(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣

只有一行（列）的矩陣稱為行（列）矩陣

元素全為零的矩陣稱為零矩陣

行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣

主對角線元素全為1，其余元素全為0的矩陣稱為單位矩陣，記作E或I

兩個(gè)矩陣行數(shù)和列數(shù)對應(yīng)相等的矩陣稱為同型矩陣

2.2 矩陣的運(yùn)算

2.2.1 矩陣的加（減）法

對應(yīng)元素相加（減）所得到的矩陣（前提是同型矩陣）

滿足的運(yùn)算法則：

（1）交換律：

（2）結(jié)合律：

（3）

（4）

（5）移項(xiàng)規(guī)則：

2.2.2 矩陣的數(shù)乘

數(shù)乘：將數(shù)乘到矩陣的個(gè)元素上

矩陣提供因子：矩陣所有元素均有公因子，公因子外提一次

滿足的運(yùn)算法則：

（1）

（2）

（3）

2.2.3 矩陣的乘法和方陣的冪

1.矩陣的乘法

矩陣相乘前提條件：第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)

結(jié)果矩陣的形狀：結(jié)果矩陣行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)，結(jié)果矩陣列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)

宋氏七字口訣：中間相等取兩頭

注：1）,AB有意義，BA不一定有意義（若AB=BA，則AB可交換）

? ? ? ? 2）AB表示A左乘B，B右乘A

? ? ? ? 3）AB=0推不出來A=0 or B=0

? ? ? ? 4）AB=AC，A0推不出來B=C

與E相乘：AE=A，EB=B

矩陣乘法滿則的運(yùn)算規(guī)則：

（1）結(jié)合律：(AB)C=A(BC)

（2）分配律：(A+B)C=AC+BC ? C(AB)=CA+CB

（3）k(AB)=(kA)B=A(kB)

2.方陣的冪

,A的k次冪，

方陣的冪的性質(zhì)：

? ? ? ? ?1）

????????2）

其中，為非負(fù)整數(shù)

注意：

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

其中，A為方陣

2.2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置

將矩陣A的各行一次變?yōu)榱泻蟮玫降木仃嚕Q為A的轉(zhuǎn)置矩陣，即

轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：

?1）

2）

3）

4）

2.3 幾種特殊的矩陣

2.3.1 數(shù)量矩陣

主對角線上元素全部相等，其他與元素全為零的矩陣稱為數(shù)量矩陣

2.3.2 對角形矩陣

主對角線上元素為任意數(shù)，而其他元素全為零的矩陣稱為對角形矩陣

2.3.3 三角形矩陣

上三角形矩陣：主對角線上方的元素都是零的矩陣

下三角形矩陣：主對角線上方的元素都是零的矩陣

2.3.4 對稱矩陣與反對稱矩陣

對稱矩陣

定義：以主對角線為軸，對應(yīng)元素相等的矩陣

性質(zhì)：

兩個(gè)同階對稱矩陣的和、差、數(shù)乘仍為對稱矩陣，但其乘積一般不再是對稱矩陣

定理：設(shè)A與B為兩個(gè)同階對稱矩陣，則乘積AB仍為對稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換

反對稱矩陣

定義：以主對角線為軸，對應(yīng)元素成相反數(shù)的矩陣（注：反對稱矩陣主對角線全為0，對稱矩陣沒有要求）

性質(zhì)：

2.4 逆矩陣

注：不要把矩陣放在分母上

2.4.1 方陣的行列式與伴隨矩陣

方陣的行列式：設(shè)n階方陣A，用其所有元素按原來位置排列所稱的n階行列式稱為方陣A的行列式。記作｜A｜或detA

性質(zhì)：

1）

2）

3）,AB同階

伴隨矩陣：

只有方陣才有伴隨矩陣

伴隨矩陣的定義：

1）求所有元素的代數(shù)余子式

2）按行求的代數(shù)余子式按列放，構(gòu)成的矩陣就是伴隨矩陣，記作

按行求按列放

定理：對任意方陣A，有

推論：若n階方陣A滿足，則

2.4.2 逆矩陣

定義：設(shè)A是n階方陣，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱B是A的逆矩陣，記作,并稱A為可逆矩陣。

逆矩陣滿足三個(gè)基本事實(shí)：

1）未必任何方陣都有逆矩陣

2）一個(gè)方陣若有逆矩陣，則逆矩陣唯一

3）若A可逆，則

定義：若方陣A的行列式，則稱A為非奇異（非退化或滿秩）矩陣；否則，則稱A為奇異（退化或降秩）矩陣。

定理：A可逆的充要條件，

推論：設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，使得AB=E或BA=E，則A可逆，且

求逆矩陣的方法：

1）伴隨矩陣法

2）初等變換法

2.4.3 逆矩陣的性質(zhì)

1）A可逆，可逆，

2）A、B均可逆，AB可逆，

3）A可逆，可逆，,

4）A可逆，

5）A可逆，可逆，

?

2.5 分塊矩陣

2.5.1 分塊矩陣的概念

靈活分，要求：橫線豎線一氣到頭

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

從左上角開始的一串1（不斷） ，標(biāo)準(zhǔn)形不一定是方陣

2.5.2 分塊矩陣的運(yùn)算

1）分塊矩陣的加法

2）分塊矩陣的數(shù)乘

3）分塊矩陣的乘法

4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：1.把子塊視作普通元素求轉(zhuǎn)置2.對每個(gè)子塊求轉(zhuǎn)置

2.6 矩陣的初等變換

2.6.1 矩陣的初等變換

1）交換矩陣的兩行（列）

2）用數(shù)乘以矩陣的某一行（列）

3）謀行（列）的l被加到另一行（列）上

定理：任何矩陣都可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

定義：若矩陣A可經(jīng)過初等變換為矩陣B，則稱A與B等價(jià)，記作

等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

1）反身性：對任何矩陣A，都有

2）對稱性：若，則?

3）傳遞性：若，，則

推論：任何矩陣A都與標(biāo)準(zhǔn)形矩陣等價(jià)

2.6.2 初等方陣

定義：對單位矩陣E施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣

三種初等方陣：

1）

2）

3）

初等方陣均可逆，其逆矩陣也是初等方陣，初等方陣的轉(zhuǎn)置矩陣也是初等方陣

定理：設(shè)A是任意一個(gè)矩陣，則用第i種初等方陣左（右）乘A，相當(dāng)于對A施行第i種初等行（列）變換（i=1,2,3）

推論：A、B等價(jià)存在可逆矩陣P、Q，使得PAQ=B

2.6.3 矩陣可逆的兩個(gè)充分必要條件

1）方陣A可逆的充分必要條件是A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為E

2）方陣A可逆的充分必要條件是A可表示為若干初等方陣的乘積

2.6.4 初等變換法求逆矩陣

設(shè)A可逆，可逆，

設(shè)，

,用若干初等方陣左乘A，可以得到單位矩陣E

，用與以上相同的初等方陣左乘E，可得到

以上方法稱為：初等行變換法

注意：1）先第一列，再第二列，再第三列

? ? ? ? ? ?2）寫整行，對整行進(jìn)行操作

? ? ? ? ? ?3）第一行處理好后，不再主動(dòng)參與變換

2.7 矩陣的秩

2.7.1 矩陣的秩

k階子式：設(shè)A是mxn矩陣，從A中任取k行和k列，位于這些行、列相交處的元素按原來位置所構(gòu)成的行列式稱為A的一個(gè)k階子式

非零子式的最高階數(shù)就是矩陣的秩

零矩陣的秩為0

矩陣的秩r等于矩陣的行，則稱行滿秩矩陣

矩陣的秩r等于矩陣的列，則稱行列秩矩陣

?A為方陣，A為滿秩矩陣A為可逆矩陣

定理：矩陣A的秩為r的充分必要條件是A有一個(gè)r階子式不等于零，而所有r+1階子式都等于零

階梯形矩陣：

1）若有零行，零行在非零行的下邊

2）自上而下，左起首非零元素左邊零的個(gè)數(shù)隨行數(shù)增加而嚴(yán)格增加

判斷階梯形矩陣的折線法：

橫線可跨多個(gè)數(shù)，折線只跨一個(gè)數(shù)

行簡化階梯型：

1）非零行的首非零元是1

2）首非零元所在列的其余元素都是0

宋氏判斷三步走：

1）折線判斷階梯形

2）圓圈畫出首非零元

3）首非零元畫豎的虛線，只有1其余0

階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)

初等（行列）變換不改變矩陣的秩

2.7.2 求矩陣的秩的方法

兩種方法：

1）將矩陣A利用初等行、列變換化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣D，則A的秩等于D中1的個(gè)數(shù)

2）將矩陣A利用初等行變換化為階梯形矩陣B，則A的秩等于B中非零行的行數(shù)

2.7.3 矩陣的秩的性質(zhì)

1）

2）任何矩陣乘以可逆矩陣后，其秩不變

推論：設(shè)矩陣,可逆方陣，可逆方陣

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