在$n$維歐幾里得空間$V$中，有子空間$W$. 如果用自然基$({\mathbf{e}}_i{)}_{1\le i\le n}$，設(shè)$W=\mathrm{span}(w_1,\dots ,w_d)(0<d<n)$. 將這個基作Schmidt正交化（并單位化），得到$W$的一個標準正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$. 將這個標準正交基擴充為$V$的一個基：$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},{\eta }_{d+2},\dots ,{\eta }_n).$$

假定從自然基到上述標準正交基的過渡矩陣為$T$: 即$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},\dots ,{\eta }_n)=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}})T.$$由于自然基排成的矩陣是單位方陣$I_n$, 所以$T$的前$d$列是$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$, 并且$T$是正交矩陣。

命題：在$V$的自然基之下，從$V$（沿著$W^{\perp }$）到$W$的正交投影的矩陣是 P W = ( η 1 , η 2 , … , η d ) ( η 1 ? η 2 ? ? η d ? ) P_W=(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_d)\begin{pmatrix} \eta_1^\top \\ \eta_2^\top \\ \vdots \\ \eta_d^\top \end{pmatrix} PW?=(η1?,η2?,…,ηd?) ?η1??η2???ηd??? ?. 而在標準正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$之下, 從$V$到$W$的正交投影矩陣是$Q_W=\left(\begin{array}{cc}{I}_d& \\ & 0\end{array}\right)$. 有等式$Q_w=T^{?1}{P}_{W}T=T^{?}{P}_{W}T$.

注：驗證$T{Q}_W{T}^{?}=P_W$比較容易。

例：$V={\mathbb{R}}^3,w=(1,2,3{)}^{?},W=\mathrm{span}(w)$. 則$\eta =\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3{)}^{?}$. 等式$T{Q}_W{T}^{?}=P_W$是 ( 1 14 ? ? 2 14 ? ? 3 14 ? ? ) ( 1 0 0 ) ( 1 14 2 14 3 14 ? ? ? ? ? ? ) = 1 14 ( 1 2 3 2 4 6 3 6 9 ) . \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} & * & * \\ \frac{2}{\sqrt{14}} & * & * \\ \frac{3}{\sqrt{14}} & * & * \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}. ?14 ?1?14 ?2?14 ?3?????????? ? ?1?0?0? ? ?14 ?1????14 ?2????14 ?3???? ?=141? ?123?246?369? ?.文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-849381.html

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