原文：

Klingner, Bryan M., et al. “Fluid animation with dynamic meshes.” ACM SIGGRAPH 2006 Papers. 2006. 820-825.

引言

使用 [Alliez et al., 2005] 的方法動(dòng)態(tài)生成不規(guī)則的四面體網(wǎng)格

根據(jù)邊界的位置、邊界的形狀、基于流體和速度場(chǎng)的視覺(jué)重點(diǎn)部分的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)構(gòu)建一個(gè)尺寸場(chǎng)。這個(gè)尺寸場(chǎng)表明要生成的四面體網(wǎng)格在某點(diǎn)處的尺寸

使用不規(guī)則的網(wǎng)格，而不是軸對(duì)稱的，因?yàn)椴灰?guī)則的網(wǎng)格更加適應(yīng)彎曲邊界和不規(guī)則邊界

并且不規(guī)則的網(wǎng)格允許控制網(wǎng)格細(xì)分

推廣半拉格朗日平流，將物理量從舊網(wǎng)格傳輸?shù)叫戮W(wǎng)格，不會(huì)造成額外的平滑

然后執(zhí)行質(zhì)量守恒步，這步被拓展為流固雙向耦合

背景

[Feldman et al., 2005a] 使用基于速度的非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格

[Elcott et al., 2005] 使用基于渦度的非結(jié)構(gòu)化西面體網(wǎng)格

[Feldman et al., 2005b] 提出的半拉格朗日平流的拓展，不會(huì)造成額外的平滑

這個(gè)文章綜合以上論文的思想

任意拉格朗日-歐拉法 arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) 就是用于處理固定坐標(biāo)系下的移動(dòng)網(wǎng)格，它能夠有效地處理高度可變形的彈性材料

使用 [Alliez et al., 2005] 的方法動(dòng)態(tài)生成不規(guī)則的四面體網(wǎng)格

該方法是 Delaunay，提供了改進(jìn)的梯度估計(jì)；簡(jiǎn)化了網(wǎng)格中的速度插值的表達(dá)式

方法

[Feldman et al., 2005b] 提出的半拉格朗日平流的拓展，它被用于將狀態(tài)在變形域之間轉(zhuǎn)移。現(xiàn)在這個(gè)文章將他用在將物理量從舊網(wǎng)格傳輸?shù)叫戮W(wǎng)格，不會(huì)造成額外的平滑

[Alliez et al., 2005] 的方法使得在每個(gè)時(shí)間步生成四面體網(wǎng)格的時(shí)間成本可以接受

離散化

交錯(cuò)網(wǎng)格推廣到四面體，得到交錯(cuò)四面體法

壓力定義在四面體的體心

面法線速度定義在四面體的外心

離散化的導(dǎo)數(shù)算子

使用 [Losasso et al., 2004] 和 [Elcott et al., 2005] 中的公式

散度近似為面法線速度的，以面積為權(quán)重的加權(quán)平均

面的外心處的沿著面法向的梯度使用有限差分計(jì)算

在 Delaunay 網(wǎng)格中，連接兩個(gè)相鄰四面體的體心的線穿過(guò)它們的公共面的外心

這個(gè)特性自然地引出了將速度存儲(chǔ)在面的外心處的策略

因?yàn)樘荻裙烙?jì)相當(dāng)于對(duì)外心值進(jìn)行插值的分段線性函數(shù)的梯度

“對(duì)外心值進(jìn)行插值的分段線性函數(shù)的梯度”不知道是什么

速度插值

現(xiàn)在我們只是對(duì)于一個(gè)四面體定義了存儲(chǔ)在面的外心處的面法線速度

但是使用半拉格朗日平流的時(shí)候，我們需要在網(wǎng)格的任意位置得到完整的速度矢量

使用 [Elcott et al., 2005] 的兩步法

第一步，計(jì)算四面體的每個(gè)面的外心處的速度矢量

第二步，使用頂點(diǎn)處的速度矢量插值得到網(wǎng)格中任意位置的速度矢量

不知道為什么從面的外心處的速度矢量跳到了頂點(diǎn)處的速度矢量？

求解四面體的速度 $u_t$ 需要求解一個(gè)小型的線性方程組

$$N_t{u}_t=z_t$$

其中 $N_t$ 是 4 行面的法向，$z_t$ 是 4 個(gè)面法向速度標(biāo)量排成一列，

其實(shí)這個(gè)就是，把四面體的速度向四個(gè)面法向投影，得到四個(gè)面法向速度的意思

如果是無(wú)散的話，那么這個(gè)投影就是精確的

那么 $u_t$ 和 $z_t$ 就可以來(lái)回轉(zhuǎn)換

我在想象一個(gè)極端情況，一個(gè)正四面體，三個(gè)面的法向速度都是正無(wú)窮大， 那么最后一個(gè)面應(yīng)該是負(fù)無(wú)窮大才能無(wú)散。但是我又想把這個(gè)“精確”和線性方程組的解的存在性聯(lián)系起來(lái)。因?yàn)?$N_t$ 是 4 * 3，$u_t$ 是 3 * 1，$z_t$ 是 4 * 1。也就是至少有一個(gè)多余的方程。四個(gè)法向因?yàn)槎级x在三維空間，所以最后應(yīng)該能化簡(jiǎn)為三個(gè)自由度。也就是系數(shù)矩陣的秩為 3，增廣矩陣的秩不一定是 3，可能是 4，所以我想用解的存在性來(lái)解釋的話。就是，如果增廣矩陣的秩是 4，說(shuō)明無(wú)解，如果為 3 說(shuō)明有唯一解。增廣矩陣是 3 對(duì)應(yīng)著“精確”？

得到四面體的速度之后，要得到任意位置的速度，使用 [Warren et al., 2004] 的方法在四面體的速度之間加權(quán)平均

${\sigma }_t$ 是與插值位置所在的四面體相交的四面體的集合

$x$ 是從插值位置到 ${\sigma }_t$ 中的四面體的面的距離，$n_f$ 是對(duì)應(yīng)的四面體的面的法向

$d_f$ 是平面偏差，我沒(méi)理解

$|N_t|$ 是插值位置所在的四面體的面法向組成的矩陣的行列式

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，利用了“在 Delaunay 網(wǎng)格中，連接兩個(gè)相鄰四面體的體心的線穿過(guò)它們的公共面的外心”的性質(zhì)

Vol(t) 是插值位置所在的四面體的體積

廣義的半拉格朗日步

利用 [Feldman et al., 2005b] 的方法

重新網(wǎng)格化

[Alliez et al., 2005] 的劃分網(wǎng)格的方法

網(wǎng)格的細(xì)化由一個(gè)函數(shù)控制

k0 是一個(gè)偏移，提供最小值

d(x) 是點(diǎn) x 到最近的障礙物的距離

s(x) 是煙霧的密度

w(x) 是速度場(chǎng)的渦度

這就達(dá)成了在視覺(jué)重點(diǎn)的部分細(xì)化網(wǎng)格的結(jié)果

網(wǎng)格劃分方法是迭代的。因?yàn)槊恳粋€(gè)時(shí)間步之間流體狀態(tài)應(yīng)該不會(huì)變化太快，所以用上一個(gè)時(shí)刻的值作為下一個(gè)時(shí)刻的初始值，以加速迭代

在優(yōu)化節(jié)點(diǎn)位置時(shí)，我們將節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到周圍四面體重心的平均值，而不是外心。我們發(fā)現(xiàn)，雖然這往往會(huì)稍微降低網(wǎng)格中四面體的平均質(zhì)量，但它通常會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格中最差元素的質(zhì)量顯著提高，這是數(shù)值模擬更關(guān)心的

雙向流固耦合和質(zhì)量守恒

流固耦合和質(zhì)量守恒的條件羅列到一起：

1. 界面處的法向與速度的法向相同

2. 速度場(chǎng)無(wú)散（質(zhì)量守恒），固體剛性

3. 線動(dòng)量和角動(dòng)量守恒

依次執(zhí)行這些條件時(shí)，后執(zhí)行的條件可能破壞以前的條件

現(xiàn)在這個(gè)文章同時(shí)執(zhí)行這些條件

將質(zhì)量守恒擴(kuò)展到包括動(dòng)態(tài)剛體，這是通過(guò)求解流體和剛體的加速度，忽略兩者的壓力來(lái)實(shí)現(xiàn)的（看不懂）。然后再求解滿足流體無(wú)散條件和剛體邊界條件的壓力

就是說(shuō)，先求兩者的加速度，然后再求滿足這兩者的加速度的壓力？這樣就能求得兼顧兩者的壓力？

剛體的加速度時(shí)通過(guò) R 乘以剛體周圍一圈的壓力組成的向量而得到的

很好，之后的看不懂了，要是需要再看吧

總結(jié)來(lái)說(shuō)，感覺(jué)他就是把各個(gè)方法組合在了一起而已……

他把別人生成不規(guī)則四面體網(wǎng)格和半拉格朗日平流的算法結(jié)合了起來(lái)，然后自己稍微修改了一下，修改了西畫網(wǎng)格的控制函數(shù)，流固耦合的方法

雖然我看不懂具體在說(shuō)什么，因?yàn)槲覜](méi)看過(guò)他使用的別人的方法的源論文文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-831319.html

到了這里，關(guān)于使用動(dòng)態(tài)網(wǎng)格的流體動(dòng)畫 Fluid Animation with Dynamic Meshes 論文閱讀筆記的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！