標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)隨機(jī)變量x具有數(shù)學(xué)期望$E(x)=\mu$，方差$D(x)={\sigma }^2$。記$X^{?}=\frac{X?\mu }{\sigma }$, 則X*的期望和方差為：$$E(X^{?})=\frac{1}{\sigma }E(X?\mu )=\frac{1}{\sigma }[E(X)?\mu ]=0$$$$D(X^{?})=E(X^{?2})?[E(X^{?}{)}^2]=E[\frac{(x?\mu {)}^2}{\sigma }]=\frac{1}{{\sigma }^2}E[(X?\mu {)}^2]=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2}=1$$
即$X^{?}$的數(shù)學(xué)期望為0，方差為1。
$X^{?}$為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即一般的正態(tài)分布經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，服從N(0,1)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

切比雪夫不等式

如果隨機(jī)變量X的期望μ和方差σ存在，則對任意? >0,有
P { ∣ X ? μ ∣ ≥ ε } ≤ σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{∣X?μ∣≥ε}≤ε2σ2?
該不等式稱為切比雪夫不等式，也可以等價寫為：
P { ∣ X ? μ ∣ < ε } ≥ 1 ? σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{∣X?μ∣<ε}≥1?ε2σ2?
例如當(dāng)$\epsilon$取3$\sigma$時，有 P { ∣ X ? μ ∣ < 3 σ } ≥ 1 ? 1 9 ≈ 88.89 % P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \approx 88.89\% P{∣X?μ∣<3σ}≥1?91?≈88.89%
對于該不等式，描繪了如下性質(zhì)：

1. 隨機(jī)時間大多會集中在平均值附件
2. 若 P { ∣ X ? μ ∣ < ε } P\left \{ |X-\mu|< \varepsilon \right \} P{∣X?μ∣<ε} 的概率越大,即隨機(jī)變量X集中在期望附件的可能性就越大，由此可見方差確實刻畫了隨件變量的離散程度
3. 當(dāng)方差已知時，X與他的期望值偏差不小于$\epsilon$的概率估計式，如上取3$\sigma$, 則超出范圍的概率約為0.111。
   4. 隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差， 即可對X的概率分布進(jìn)行估計。

例如一班有 36 個學(xué)生，在一次考試中，平均分是 80 分，標(biāo)準(zhǔn)差是 10 分，我們便 可以得出結(jié)論.
少于 50 分(與平均相差3個標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人數(shù)不多于4（36*0.111）個 P { ∣ X ? 80 ∣ ≥ 30 } ≤ 1 9 ≈ 0.111 P\left \{ |X-80|\ge30\right \}\le \frac{1}{9} \approx 0.111 P{∣X?80∣≥30}≤91?≈0.111
附：常見分布的期望方差
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-793139.html

到了這里，關(guān)于切比雪夫（Chebyshev）不等式的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！