一.切比雪夫不等式
1.定理
若隨機(jī)變量X的期望EX和方差DX存在,則對(duì)任意ε > 0,有
??P{ |X - EX| >= ε } <= DX/ε2 或 P{ |X - EX| < ε } >= 1 - DX/ε2
2.解析定理
①該定理對(duì) X 服從什么分布不做要求，僅EX DX存在即可。
②“| |” 由于X某次試驗(yàn)結(jié)果可能大于期望值，也可能小于期望值，但總在其旁邊波動(dòng)，所
以加"| |"。
③根據(jù)期望定義知，N次試驗(yàn)X的取值，總是徘徊在EX的附近，即 (EX - ε, EX + ε) 之間的可能性很大很大, 而落在 外邊 的概率應(yīng)特別小，比 DX/ε2 還要小。
3.關(guān)于 DX/ε2
①DX為方差，DX越小，波動(dòng)性越小，則N次X取值分布就越集中，則落在外邊的概率就越小，則P{ |X - EX| >= ε } 就越小。
②DX為方差，影響不等式的因素之一，但切比雪夫不等式也反過(guò)來(lái)證明了DX存在的意義：
??由不等式知DX越小，P{ |X - EX| >= ε }越小，X分布越集中于EX。這表明方差DX是 刻畫(huà)隨機(jī)變量與其期望值偏離程度的量 ，是描述隨機(jī)變量X “分散程度” 特征的指標(biāo)。故DX也屬于X的數(shù)字特征之一。
4.證明切比雪夫不等式
5.廣義化切比雪夫不等式
6.切比雪夫不等式應(yīng)用
①可以估算隨機(jī)變量X在某范圍取值的概率
②可以證明某些收斂性問(wèn)題(如：證明大數(shù)定理)
后面有
二.依概率收斂
1.通常認(rèn)知的收斂與依概率收斂的區(qū)別
①我們通常認(rèn)知的收斂：（以數(shù)列收斂為例）
??an -> a : ?ε > 0 , ョN > 0, 當(dāng) n > N 時(shí) ，總有 “|Xn - a| < ε”.
即存在某一項(xiàng)，這項(xiàng)后面的所有項(xiàng)都絕對(duì)落在區(qū)域(a - ε , a + ε)之間。
②依概率收斂：
??Xn - X：?ε > 0 , ョN > 0, 當(dāng) n > N 時(shí) ,“有概率為1的可能” 使 “|Xn - a| < ε”.
即存在某一項(xiàng)，這項(xiàng)后面所有項(xiàng)，“有概率為1的可能” 落在區(qū)間為(X - ε, X + ε)之間。
注：我們知道概率為 1 的事件 未必是絕對(duì)事件，所以 在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)中 ，還是有極少不聽(tīng)話的 “X” 落在了(X - ε, X + ε) 之外，但不影響整體的斂散性。
綜上就是 “依概率收斂” 和 “收斂” 的區(qū)別：
??①收斂：在某項(xiàng)之后，是絕對(duì)趨于某值的,有且僅有一直逼向某值的可能。
??②依概率收斂：在某項(xiàng)之后，未必絕對(duì)趨于某值，因?yàn)楦怕蕿?得事件未必是絕對(duì)事件。
(概率為1 < 絕對(duì))
這就是為啥叫依概率收斂。（依的就是這個(gè)1，X在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)，有1的概率會(huì)落在(X - ε, X + ε)之間）
2.舉個(gè)例子理解依概率收斂,以及為啥會(huì)出現(xiàn)依概率收斂。
例子：若我們拋出了N次硬幣，N 很大很大很大。N是偶數(shù)。出現(xiàn)正面的次數(shù)為 N/2，N/2次反面。
①按照通常收斂定義知: 如果我們?cè)俅螔伋鲇矌?k 次。那么，這k次后，Xn的概率應(yīng)該只能更加逼近 1/2.而不可能出現(xiàn)其他情況。
但事實(shí)上，我們很有可能在再拋出k次之后 Xn的概率會(huì)變成 1/3。故通常的收斂已經(jīng)不適用如上場(chǎng)景。
②依概率收斂: 當(dāng)拋出 N 次后 Xn概率為 1/2后。再拋出k 次統(tǒng)計(jì)正面朝上概率為1/2的概率是1。但是概率為1的事件未必是絕對(duì)事件，只是可能性很大很大很大，但還是有可能出現(xiàn)其他概率的不為1/2了。這就完美了描述了上述場(chǎng)景。
三.大數(shù)定律
1.伯努利大數(shù)定律
注：伯努利大數(shù)定律告訴我們，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，用頻率估算概率這件事是可靠的。
①伯努利大數(shù)定理
n趨向于無(wú)窮大時(shí)，事件A在n重伯努利事件中發(fā)生的頻率fn/n無(wú)限接近于事件A在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率p。
②證明伯努利大數(shù)定理（夾逼準(zhǔn)則+切比雪夫不等式）
2.切比雪夫大數(shù)定律
①切比雪夫大數(shù)定律
注1：X1,X2…Xn兩兩不相關(guān)。
注2：X1,X2…Xn不要求同分布。
注3：僅要求EXi DXi存在且DXi有界。
注4：這個(gè)表達(dá)式是由伯努利大數(shù)定理推出來(lái)的。基于“頻率 估算 概率“的可靠性來(lái)的。
②證明切比雪夫大數(shù)定律
3.切比雪夫大數(shù)定律推論
注1：不相關(guān) 弱化為 獨(dú)立
注2：無(wú)分布要求 弱化為 同分布
注3：Exi Dxi存在 弱化為 有具體值。
一般就考這個(gè)，因?yàn)楦话慊牟缓贸鲱}。
4.辛欽大數(shù)定律
將切比雪夫大數(shù)定律推論的條件再次弱化。即去掉方差要求，即為辛欽大數(shù)定律。
此結(jié)論依然成立。
注：重點(diǎn)常用這個(gè)，因?yàn)闂l件弱化更容易出題。
5.總結(jié)大數(shù)定律
①伯努利大數(shù)定律給出：
??用頻率估算概率這件事是靠譜的。
(即當(dāng)試驗(yàn)總夠大，頻率 依概率收斂 于它的概率)
(用夾逼+切比雪夫不等式證明)
②基于“頻率 依概率收斂于 概率”的可靠性，得出“切比雪夫大數(shù)定律”及其推論。
(即當(dāng)Xi互不相關(guān)，EXi DXi 存在且DXi有界，?ε >0有X均值 依概率收斂 于數(shù)學(xué)期望的均值)
(推論：即Xi相互獨(dú)立，Exi = u,DXi = σ2，?ε >0有X均值 依概率收斂 于數(shù)學(xué)期望u)
(用夾逼+切比雪夫不等式證)
③基于"切比雪夫大數(shù)定律推論"弱化其條件，得到辛欽大數(shù)定律。
(即Xi相互獨(dú)立，Exi = u，?ε >0有X均值 依概率收斂 于數(shù)學(xué)期望u)
④大數(shù)定律告訴我們兩件事：
用頻率估算概率很靠譜。
用X的均值估算X數(shù)學(xué)期望很靠譜。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-456160.html
四.中心極限定理
先略。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-456160.html
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