假設(shè)你有一組 3D 中的 n 個(gè)點(diǎn)，并且想要為它們擬合一個(gè)平面。 在本文中，我將推導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)單的、數(shù)值穩(wěn)定的方法，并提供它的源代碼。 聽(tīng)起來(lái)很好玩？ 我們開(kāi)始吧！

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首先，如果在網(wǎng)上尋找答案，你將得到的答案包括對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解以找到最小特征值的特征向量。 然而事實(shí)證明，這讓事情變得比他們需要的更加復(fù)雜。 讓我們從基礎(chǔ)開(kāi)始：

平面通常由法向量 n = [a, b, c]? 和距離 d 描述，因此對(duì)于平面 n · p + d = 0 上的點(diǎn) p = [x, y, z]?。我們可以 將其寫(xiě)為：

但請(qǐng)注意，這是超定的 - 解空間（平面）是三維的，但上面的描述使用了四個(gè)值。 因此，讓我們首先通過(guò)限制解決方案空間來(lái)刪除一個(gè)組件。 我們通過(guò)任意指定 c = 1 來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，即平面法線的 z 分量始終為 1（請(qǐng)注意，法線的長(zhǎng)度不需要為 1）。 如果你認(rèn)為這是一個(gè)潛在有問(wèn)題的假設(shè)，那么你是對(duì)的——我們稍后會(huì)再討論這個(gè)問(wèn)題。 現(xiàn)在，讓我們定義：

并求解a、b、d。 矩陣形式：

接下來(lái)，我們將這個(gè)矩陣轉(zhuǎn)置，然后從左側(cè)相乘以執(zhí)行線性最小二乘：

轉(zhuǎn)置后相乘：

其中 N 是點(diǎn)數(shù)。 現(xiàn)在這是聰明的部分：讓我們定義上面的 x,y,z 相對(duì)于點(diǎn)云的質(zhì)心（平均值）。 現(xiàn)在 Σx = Σy = Σz = 0 所以我們可以簡(jiǎn)化為：

從最后一行（N·d = 0）我們可以得出結(jié)論：d = 0。這意味著如果所有點(diǎn)都相對(duì)于點(diǎn)云的質(zhì)心，則平面穿過(guò)原點(diǎn)。 換句話說(shuō)：平面始終穿過(guò)輸入點(diǎn)的平均值。 我們現(xiàn)在可以去掉一個(gè)維度：

克萊默規(guī)則告訴我們：

我們可以通過(guò)將 n 乘以 D 來(lái)簡(jiǎn)化它（無(wú)論如何我們都需要對(duì) n 進(jìn)行歸一化），這給我們：

就是這樣！ 但請(qǐng)記住我們的假設(shè)：平面法線的 z 分量不為零。 如果為零怎么辦？ 那么可以證明上面的行列式 D 變?yōu)榱悴⑶椅覀兛梢猿粤恪?即使它不完全為零，但很接近，我們?nèi)匀粫?huì)得到不好的條件，從而得到不好的結(jié)果。 所以，我們能做些什么？ 好吧，如果這些點(diǎn)跨越一個(gè)平面，則法線的至少一個(gè)分量必須非零。 因此，讓我們對(duì)三個(gè)單獨(dú)的假設(shè)進(jìn)行上述計(jì)算，其中哪個(gè)分量不為零。 然后我們簡(jiǎn)單地選擇表現(xiàn)最好的一個(gè)，即具有最大行列式的那個(gè)。

注意：此方法將最小化垂直于主軸的殘差的平方，而不是垂直于平面的殘差的平方。 如果殘差很小（即你的點(diǎn)都靠近生成的平面），那么這種方法可能就足夠了。 但是，如果你的點(diǎn)分布比較分散，那么此方法可能不是最合適的。

這是 Rust 代碼：

// Constructs a plane from a collection of points
// so that the summed squared distance to all points is minimzized
fn plane_from_points(points: &[Vec3]) -> Option<Plane> {
    if points.len() < 3 {
        return None; // At least three points required
    }

    let mut sum = Vec3{x:0.0, y:0.0, z:0.0};
    for p in points {
        sum += p;
    }
    let centroid = sum * (1.0 / (points.len() as f64));

    // Calc full 3x3 covariance matrix, excluding symmetries:
    let mut xx = 0.0; let mut xy = 0.0; let mut xz = 0.0;
    let mut yy = 0.0; let mut yz = 0.0; let mut zz = 0.0;

    for p in points {
        let r = p - centroid;
        xx += r.x * r.x;
        xy += r.x * r.y;
        xz += r.x * r.z;
        yy += r.y * r.y;
        yz += r.y * r.z;
        zz += r.z * r.z;
    }

    let det_x = yy*zz - yz*yz;
    let det_y = xx*zz - xz*xz;
    let det_z = xx*yy - xy*xy;

    let det_max = max3(det_x, det_y, det_z);
    if det_max <= 0.0 {
        return None; // The points don't span a plane
    }

    // Pick path with best conditioning:
    let dir =
        if det_max == det_x {
            Vec3{
                x: det_x,
                y: xz*yz - xy*zz,
                z: xy*yz - xz*yy,
            }
        } else if det_max == det_y {
            Vec3{
                x: xz*yz - xy*zz,
                y: det_y,
                z: xy*xz - yz*xx,
            }
        } else {
            Vec3{
                x: xy*yz - xz*yy,
                y: xy*xz - yz*xx,
                z: det_z,
            }
        };

    Some(plane_from_point_and_normal(centroid, normalize(dir)))
}

原文鏈接：3D點(diǎn)云平面擬合 - BimAnt文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-784394.html

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