本文主要解決古典密碼中的Hill體制密碼在已知明文M和密文C的情況下求解密鑰矩陣K的兩種方法：①求逆矩陣②待定系數(shù)法。
如若不懂Hill體制的古典密碼可以參照我上一篇文章密碼學(xué)——幾種典型的古典密碼體制(Caesar體制、Playfair體制、Vigenere體制、Beaufort體制以及Hill體制)
引入題目
設(shè)英文字母A,B,C,…,Z分別對(duì)應(yīng)編碼為0,1,2,…,25。已知Hill密碼中的明文長(zhǎng)度為2，密鑰K為 Z 26 Z_{26} Z26?上的一個(gè)二階可逆方陣，現(xiàn)給出明文FRID，所對(duì)應(yīng)的密文為PQCF，試求解密鑰矩陣K
一、求解逆矩陣
此處只是簡(jiǎn)單的描述線性代數(shù)中求解逆矩陣的步驟
設(shè)矩陣
M
=
(
5
17
8
3
)
M=\begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3 \end{pmatrix} \\
M=(58?173?)
解：①
∣
M
∣
=
5
×
3
?
8
×
17
=
?
121
=
9
?
(
m
o
d
?
26
)
\vert M \vert =5\times3-8\times17=-121=9\ (mod\ 26)
∣M∣=5×3?8×17=?121=9?(mod?26)注意，在模運(yùn)算中-121模26等同于9模26
∣
M
∣
?
1
=
3
?
(
m
o
d
?
26
)
∵
3
×
9
=
27
≡
1
?
(
m
o
d
?
26
)
\vert M \vert^{-1} =3\ (mod\ 26) \because 3\times 9=27\equiv1\ (mod\ 26)
∣M∣?1=3?(mod?26)∵3×9=27≡1?(mod?26)注意，在模運(yùn)算中逆元的求解為相乘模26余1
②
M
?
=
(
3
?
17
?
8
5
)
M^*=\begin {pmatrix}3 & -17 \\ -8 &5 \end{pmatrix} \\
M?=(3?8??175?)注意，此處的
M
?
M^*
M?表示的是M的代數(shù)余子式，如若不知如何求代數(shù)余子式可以去搜查有關(guān)知識(shí)，此處有個(gè)方便的小tips：主對(duì)角線交換位置，副對(duì)角線變?yōu)樨?fù)（僅限2x2矩陣的代數(shù)余子式）
③
M
?
1
=
∣
M
∣
?
1
?
M
?
=
3
?
(
3
?
17
?
8
5
)
=
(
9
1
2
15
)
M^{-1}=\vert M \vert^{-1} \cdot M^*=3\cdot \begin {pmatrix}3 & -17 \\ -8 &5 \end{pmatrix} =\begin {pmatrix}9 & 1 \\ 2 &15 \end{pmatrix} \\
M?1=∣M∣?1?M?=3?(3?8??175?)=(92?115?)注意，此處都是進(jìn)行了模26的操作，所以結(jié)果都為正數(shù)
二、求解方法
1.逆矩陣求解法
解：
①因?yàn)槊魑姆纸M長(zhǎng)度為2，所以明文、密文向量每一組的列數(shù)為2。
明文
∵
F
→
5
,
R
→
17
,
I
→
8
,
D
→
3
\because F\to 5,R \to 17,I\to 8,D\to 3
∵F→5,R→17,I→8,D→3密文
P
→
15
,
Q
→
16
,
C
→
2
,
F
→
5
P\to 15,Q \to 16,C\to 2,F\to 5
P→15,Q→16,C→2,F→5注意，此處的數(shù)字是字母對(duì)應(yīng)
Z
26
Z_{26}
Z26?上的數(shù)字
所以明文向量（5，17）（8，3）密文向量（15，16）（2，5）
∵
c
=
m
K
?
m
o
d
?
26
\because c=mK\ mod\ 26
∵c=mK?mod?26
∴
(
15
,
16
)
=
(
5
,
17
)
K
,
(
2
,
5
)
=
(
8
,
3
)
K
\therefore (15,16)=(5,17)K,(2,5)=(8,3)K
∴(15,16)=(5,17)K,(2,5)=(8,3)K
故
(
15
16
2
5
)
=
(
5
17
8
3
)
K
\begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3\end{pmatrix} K
(152?165?)=(58?173?)K注意，整合為一個(gè)矩陣的時(shí)候一定要行向量對(duì)應(yīng)
由
c
=
m
K
?
m
o
d
?
26
c=mK\ mod\ 26
c=mK?mod?26，得
m
?
1
c
=
m
?
1
m
K
=
K
m^{-1}c=m^{-1}mK=K
m?1c=m?1mK=K 注意，某數(shù)和其逆元相乘的結(jié)果是單位E，也就是1
②求解明文的逆矩陣如前面一、求解逆矩陣所示，此處不贅述。
③帶入逆矩陣求得結(jié)果
K
=
m
?
1
c
=
(
9
1
2
15
)
(
15
16
2
5
)
=
(
9
×
15
+
1
×
2
9
×
16
+
1
×
5
2
×
15
+
15
×
2
2
×
16
+
15
×
5
)
=
(
137
149
60
107
)
=
(
7
19
8
3
)
?
m
o
d
?
26
K=m^{-1}c\\= \begin {pmatrix}9 & 1 \\ 2 &15 \end{pmatrix} \begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5\end{pmatrix} \\= \begin {pmatrix}9\times15+1\times2 & 9\times16+1\times5\\ 2\times15+15\times2 &2\times16+15\times5\end{pmatrix}\\=\begin {pmatrix}137 & 149 \\ 60 &107 \end{pmatrix} \\=\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}\ mod\ 26
K=m?1c=(92?115?)(152?165?)=(9×15+1×22×15+15×2?9×16+1×52×16+15×5?)=(13760?149107?)=(78?193?)?mod?26
故密鑰K為
(
7
19
8
3
)
\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}
(78?193?)
2.待定系數(shù)求解法
解：
設(shè)密鑰矩陣K為
(
k
11
k
12
k
21
k
22
)
\begin {pmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} &k_{22} \end{pmatrix}
(k11?k21??k12?k22??)，根據(jù)
(
15
16
2
5
)
=
(
5
17
8
3
)
(
k
11
k
12
k
21
k
22
)
\begin {pmatrix}15 & 16 \\ 2 &5 \end{pmatrix} = \begin {pmatrix}5 & 17 \\ 8 &3\end{pmatrix} \begin {pmatrix}k_{11} & k_{12} \\ k_{21} &k_{22} \end{pmatrix}
(152?165?)=(58?173?)(k11?k21??k12?k22??)得
{
5
k
11
+
17
k
21
≡
15
?
m
o
d
?
26
5
k
12
+
17
k
22
≡
16
?
m
o
d
?
26
8
k
11
+
3
k
21
≡
2
?
m
o
d
?
26
8
k
12
+
3
k
22
≡
5
?
m
o
d
?
26
?
{
40
k
11
+
136
k
21
≡
120
?
m
o
d
?
26
?①
40
k
11
+
15
k
21
≡
10
?
m
o
d
?
26
?②
40
k
12
+
136
k
22
≡
128
?
m
o
d
?
26
?③
40
k
12
+
15
k
22
≡
25
?
m
o
d
?
26
?④
\begin{cases} 5k_{11}+17k_{21}\equiv15\ mod\ 26\\ 5k_{12}+17k_{22}\equiv16\ mod\ 26\\ 8k_{11}+3k_{21}\equiv2\ mod\ 26\\ 8k_{12}+3k_{22}\equiv5\ mod\ 26 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 40k_{11}+136k_{21}\equiv120\ mod\ 26\ ①\\ 40k_{11}+15k_{21}\equiv10\ mod\ 26\ ②\\ 40k_{12}+136k_{22}\equiv128\ mod\ 26\ ③\\ 40k_{12}+15k_{22}\equiv25\ mod\ 26\ ④ \end{cases}
?
?
??5k11?+17k21?≡15?mod?265k12?+17k22?≡16?mod?268k11?+3k21?≡2?mod?268k12?+3k22?≡5?mod?26???
?
??40k11?+136k21?≡120?mod?26?①40k11?+15k21?≡10?mod?26?②40k12?+136k22?≡128?mod?26?③40k12?+15k22?≡25?mod?26?④?
①
?
②
,
③
?
④
?
{
121
k
21
≡
110
?
m
o
d
26
121
k
22
≡
103
?
m
o
d
26
①-②,③-④\Rightarrow \begin{cases} 121k_{21}\equiv110\ mod26\\ 121k_{22}\equiv103\ mod26\\ \end{cases}
①?②,③?④?{121k21?≡110?mod26121k22?≡103?mod26?
?
{
17
k
21
≡
6
?
m
o
d
26
17
k
22
≡
25
?
m
o
d
26
?
{
k
21
≡
23
×
6
≡
8
?
m
o
d
26
k
22
≡
23
×
25
≡
3
?
m
o
d
26
\Rightarrow \begin{cases} 17k_{21}\equiv6\ mod26\\ 17k_{22}\equiv25\ mod26\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{21}\equiv23\times6\equiv8\ mod26\\ k_{22}\equiv23\times25\equiv3\ mod26\end{cases}
?{17k21?≡6?mod2617k22?≡25?mod26??{k21?≡23×6≡8?mod26k22?≡23×25≡3?mod26?
故帶入
k
21
,
k
22
k_{21},k_{22}
k21?,k22?的值可得
{
5
k
11
+
17
×
8
≡
15
?
m
o
d
26
5
k
12
+
17
×
3
≡
16
?
m
o
d
26
?
{
k
11
≡
7
?
m
o
d
26
k
12
≡
19
?
m
o
d
26
\begin{cases} 5k_{11}+17\times8\equiv15\ mod26\\ 5k_{12}+17\times3\equiv16\ mod26\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{11}\equiv7\ mod26\\ k_{12}\equiv19\ mod26\end{cases}
{5k11?+17×8≡15?mod265k12?+17×3≡16?mod26??{k11?≡7?mod26k12?≡19?mod26?
故密鑰K為
(
7
19
8
3
)
\begin {pmatrix}7 & 19 \\ 8 &3 \end{pmatrix}
(78?193?)文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-782716.html
結(jié)束語(yǔ)
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到了這里，關(guān)于密碼學(xué)——Hill體制密碼中已知明文M和密文C求解密鑰矩陣K的兩種方法之逆矩陣求解法和待定系數(shù)求解法的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
