4.5.2 四元數(shù)的概念

????????四元數(shù)包含?個標量分量和?個三維向量分量，四元數(shù)Q可以記作Q=[w,(x,y,z)]
????????在3D數(shù)學中使?單位四元數(shù)表?旋轉(zhuǎn)，下?給出四元數(shù)的公式定義。對于三維空間中旋轉(zhuǎn)軸為n，旋轉(zhuǎn)?度為a的旋轉(zhuǎn)，如果?四元數(shù)表?，則4個分量分別為
w=cos(α/2)
x=sin(α/2 )cos (βx)
y=sin(α/2 )cos (βy)
z=sin( α/2 )cos (βz)
?????????四元數(shù)表?旋轉(zhuǎn)?點也不直觀，4個分量w、x、y和z與繞各軸的旋轉(zhuǎn)?度并沒有直接的對應關(guān)系。在實際游戲開發(fā)中不要試圖獲取和修改某?個分量，應當只做整體處理。
????????前?提到，矩陣也可以表?旋轉(zhuǎn)，?且矩陣也不存在萬向節(jié)鎖定問題。其實，旋轉(zhuǎn)還可以?歐拉?和四元數(shù)表?，但是每?種表??法都有其各?的優(yōu)缺點，表4-5對這3種?式進?了對?。
表4-5?3種表?旋轉(zhuǎn)的?法對?。

???????????，由于3種表?旋轉(zhuǎn)的?法都有各?的優(yōu)勢和缺點，因此在實際中會根據(jù)具體需求進?考慮。另???，由于旋轉(zhuǎn)的表??法?常重要，因此應當盡可能在引擎層?進?統(tǒng)?，這樣才能盡可能減少開發(fā)游戲時的問題。
?提?
????????編輯器?顯?歐拉?是為了使??便Unity內(nèi)部旋轉(zhuǎn)是?四元數(shù)，即結(jié)構(gòu)體Quaternion表?的，但是在界?上很多地?會轉(zhuǎn)為更直觀的歐拉?，以便設(shè)計師直接指定旋轉(zhuǎn)的?度。這種?式兼顧了準確性和便利性。

4.5.3 Quaternion結(jié)構(gòu)體

????????下表詳細介紹了Quaternion（四元數(shù)）結(jié)構(gòu)體的屬性（表4-6）和?法（表4-7）。

4.5.4 理解和運?四元數(shù)

????????在“位置與向量的關(guān)聯(lián)”?節(jié)中，詳細講解了“位置”與“向量”的區(qū)別。接下來引出與之對應的另?對概念——“朝向”與“旋轉(zhuǎn)”。就好?“位置”是?個具體的坐標，“朝向”也是具體的狀態(tài)，如朝南、朝北、朝歐拉?(30, 30, 0)，都是表達物體的?個固定?向。只要A物體朝向世界坐標系的后?，就可以確定它的歐拉?為(0, 180, 0)。
????????由于歐拉?允許超過360°或者是負?度，因此嚴謹?shù)卣f歐拉?應當是(360×n, 180+360×n, 360×n)，其中n為整數(shù)?！靶D(zhuǎn)”有點像前?提到的“向量”，指的是?個旋轉(zhuǎn)的變化量。例如“右轉(zhuǎn)90°”就是?個旋轉(zhuǎn)，如果?朝南，右轉(zhuǎn)90°就是朝?；如果?朝東，右轉(zhuǎn)90°就是朝南。將位置、向量與朝向、旋轉(zhuǎn)類?，可以形成清晰的概念。
????????前?提到，位置和向量都是?Vector3表?。不出意料，朝向和旋轉(zhuǎn)都是?四元數(shù)（Quaternion）表?。理解了Vector3加法的意義，就可以類?出四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)操作，只是加法變成了乘法。表4-8說明了四元數(shù)乘法的含義。

????????向量加法中，向量a+b和向量b+a沒有什么不同，但在旋轉(zhuǎn)問題中，q1×q2與q2×q1的結(jié)果?般不相等。也就是說，四元數(shù)相乘不滿?交換律，這也印證了三維空間中物體的旋轉(zhuǎn)不是?個簡單的問題。更有意思的是，四元數(shù)乘法可以直接作?于向量，這樣就可以?便地直接旋轉(zhuǎn)向量了，如表4-9所?。

????????注意四元數(shù)乘以向量時，必須四元數(shù)在前，向量在后。不存在“向量*四元數(shù)”的操作，代碼中寫“向量*四元數(shù)”會報錯。下?補充?個演?程序，實際演??下四元數(shù)旋轉(zhuǎn)。
01 新建?個場景，然后在場景中新建?個?囊體，位置歸0。
02 給?囊體新建?個??體作為?物體，可以給?物體賦予有顏?的材質(zhì)。
03 將??體移動到?囊體前?，這是為了?便區(qū)分?囊體的?向，模擬?形??，如圖4-17所?。
04 新建腳本QuatTest，其內(nèi)容如下。

using UnityEngine;
public class QuatTest : MonoBehaviour
{
void Update()
{
float v = Input.GetAxis("Vertical");
float h = Input.GetAxis("Horizontal");
// 將橫向輸?轉(zhuǎn)化為左右旋轉(zhuǎn)，將縱向輸?轉(zhuǎn)化為俯仰旋轉(zhuǎn)，得到?個
很?的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)
Quaternion smallRotate = Quaternion.Euler(v, h, 0);
// 將這個?的旋轉(zhuǎn)疊加到當前旋轉(zhuǎn)位置上
if (Input.GetButton("Fire1"))
{
// 按住?標左鍵或Ctrl鍵時，沿世界坐標軸旋轉(zhuǎn)
transform.rotation = smallRotate *
transform.rotation;
}
else
{// 不按?標左鍵和Ctrl鍵時，沿局部坐標軸旋轉(zhuǎn)
transform.rotation = transform.rotation *
smallRotate;
}
}
}

????????05 將腳本掛載到?囊體上，進?測試。
????????運?游戲，按W、A、S、D鍵或?向鍵可以看到?囊體沿??的坐標軸轉(zhuǎn)動；如果按住攻擊鍵（默認為?標左鍵或Ctrl鍵）再旋轉(zhuǎn)，則會發(fā)現(xiàn)?囊體沿世界坐標軸轉(zhuǎn)動。
????????仔細觀察代碼，會發(fā)現(xiàn)?四元數(shù)表?旋轉(zhuǎn)很?便。通過transform.rotation可以獲取物體當前的朝向，通過Quaternion.Euler()?法可以借??度創(chuàng)建出任意的旋轉(zhuǎn)量。未來與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的操作都可以套?這兩種基本?法。
????????但是細?的讀者可能會發(fā)現(xiàn)?個問題：沿世界坐標軸旋轉(zhuǎn)時，?的是“朝向=旋轉(zhuǎn)*朝向”的操作，這?操作不符合前?所說的“朝向*旋轉(zhuǎn)=新的旋轉(zhuǎn)”的解釋。
????????這??再次體現(xiàn)出了三維空間中旋轉(zhuǎn)的復雜性：?先，四元數(shù)相乘不符合交換律，相乘順序不同會影響結(jié)果；其次，也可以認為相乘順序的不同導致“旋轉(zhuǎn)軸”不同。這樣?了解到?個技巧：通過交換四元數(shù)相乘的順序，可以讓物體沿不同坐標系的坐標軸進?旋轉(zhuǎn)。

?提?
回憶?下前??到的向量插值之前?過的Vector3.Lerp?法是取兩個位置坐標（或者向量）之間的某個值。四元數(shù)的插值與之類似，就是在兩個朝向（或者旋轉(zhuǎn)）之間取?個值。

4.5.5 四元數(shù)的插值

????????前?通過介紹“萬向節(jié)鎖定”，解釋了使?四元數(shù)的必要性。其實四元數(shù)還有?個“絕活”，那就是做動畫與插值。物體的轉(zhuǎn)向動畫應該是直接的、均勻的，不能給?“繞遠”的感覺。?何上，在球?上的兩點之間移動，沿“?圓”的路徑是最短的。?圓的定義是“過球?的平?與球?相交形成的圓”，換句話說就是能在球?上畫出的最?的那?類圓。
????????以地球的經(jīng)緯線為例，所有緯線中只有?道是?圓，其他緯線都不是?圓，?所有的經(jīng)線都是?圓，如圖4-18所?。兩個朝向之間的旋轉(zhuǎn)動畫，當旋轉(zhuǎn)的路徑符合?圓時，旋轉(zhuǎn)路徑就是最短的，看起來也最舒服。

????????歐拉?在制作旋轉(zhuǎn)動畫時具有很?缺陷。如果僅沿?個軸旋轉(zhuǎn)，例如從朝南轉(zhuǎn)向朝東，則?歐拉?的?度的線性變化也能做出正確的動畫，?當旋轉(zhuǎn)較為復雜，x軸、y軸和z軸都有旋轉(zhuǎn)時，物體則不會按照“?圓”的路徑運動，得到的效果會很奇怪。矩陣在表現(xiàn)旋轉(zhuǎn)動畫時，也很難計算正確的插值點。?四元數(shù)就很擅?插值運算，在實際游戲開發(fā)中Unity提供了Quaternion.Slerp()?法，?于旋轉(zhuǎn)的插值。它的函數(shù)定義如下。

????????Quaternion的第1個參數(shù)是第1個朝向（或旋轉(zhuǎn)），第2個參數(shù)是第2個朝向（或旋轉(zhuǎn)），t取0到1之間的值。調(diào)?Quaternion.Slerp?法后就可以獲得前?兩者之間的?個四元數(shù)。
代碼舉例如下。

// 前?
Quaternion q = Quaternion.identity; // identity相當于Eular(0,
0, 0)，不旋轉(zhuǎn)
// 改變物體的朝向，取當前朝向與正前?之間10%的位置transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, q,
0.1f);

4.5.6 朝向與向量

????????朝向代表著空間中的?個?向，?向量也可以表??個?向，因此有時也可?向量直接表?物體的朝向。例如，最常?的transform.forward表?指向物體前?（世界坐標系）。
????????不僅可以通過transform.forward屬性獲得指向物體前?的向量（已標準化，?度為1?），?且可以直接設(shè)置它以改變物體的朝向。例如在第2.6節(jié)的實例中，物體的轉(zhuǎn)向是通過鍵盤控制的，這?可以很容易地改為?標控制。其步驟簡單介紹如下。
????????01 搭建?個類似第2.6節(jié)的簡單場景和??。
????????02 為??添加?標控制旋轉(zhuǎn)的腳本MouseRotation。

using UnityEngine;
public class MouseRotation : MonoBehaviour
{
void Update()
{
Ray ray =
Camera.main.ScreenPointToRay(Input.mousePosition);
RaycastHit hit;
if (Physics.Raycast(ray, out hit))
{
transform.forward = hit.point -
transform.position;
}
}
}

????????這個腳本刪除了所有不必要的代碼，?最簡單的?式實現(xiàn)了射線檢測與專項，讀者可以逐句分析。其中射線的原理可參考第3章物理系統(tǒng)的相關(guān)內(nèi)容。
03 將腳本掛載到??上，運?游戲，移動?標指針指向地?的不同位置，??就會轉(zhuǎn)向?標指針指向的位置，如圖4-19所?。

????????這?想說明的是，只要獲取了前?向量，并將transform.forward賦值，就可以實現(xiàn)直接轉(zhuǎn)向。向量沒有標準化也沒關(guān)系，賦值時會?動將它標準化。
????????這段代碼有?個?問題，主?在旋轉(zhuǎn)時會低頭。這是因為??有?定?度，地?上的點低于??，因此??會向下看。解決?案是將結(jié)果向量的y軸設(shè)置為與???度?致，其代碼修改如下。

if (Physics.Raycast(ray, out hit))
{
// 防???低頭的代碼
Vector3 v = hit.point - transform.position;
v.y = transform.y;
transform.forward = v;
}

????????向量可以代表朝向，四元數(shù)也可以代表朝向，那么向量也就可以轉(zhuǎn)化為四元數(shù)。向量轉(zhuǎn)化為四元數(shù)（朝向）的?法定義如下。

Quaternion Quaternion.LookRotation(Vector3 forward);
Quaternion Quaternion.LookRotation(Vector3 forward, Vector3
up);

????????在之前介紹的四元數(shù)使??法中，都是借?物體的transform.rotation獲取?個朝向，然后以它為基準繼續(xù)旋轉(zhuǎn)。Quaternion.LookRotation()則提供了直接獲得朝向的?種?法。
????????仔細思考會發(fā)現(xiàn)問題——難道四元數(shù)可以?向量代替嗎？應該不可以，如果能代替就不需要發(fā)明四元數(shù)這種復雜的表??法了。其實向量代表朝向有很?的局限性，例如，?個?躺在床上，?朝上，他的前?是世界坐標系的上?。這時候，他可以在保持?朝上的情況下在床上?平旋轉(zhuǎn)，讓頭部朝東或朝?。??論他的頭部朝向哪?，他的前?都可以保持向上。
????????這說明，代表某個向量?向的四元數(shù)不是唯?的。如果只??個向量代表前?，理論上有?數(shù)種四元數(shù)都指向該?向，但它們的“上?”不同。如果僅指定前?，即使使?LookRotation()?法只有?個參數(shù)的形式，Unity也會?某種規(guī)則假定?個合適的“上?”；?如果要精確地控制，則需要?Quaternion的另?種形式，?兩個參數(shù)分別指定前?向量和上?向量，這樣就可以得到更符合要求的結(jié)果。

4.6 實例：第??稱視?的??控制器

????????為了對前?所講解的數(shù)學知識進?實踐，本節(jié)做?個完整的FPS（第??稱射擊）游戲??控制器。整個過程盡可能?簡單的腳本代碼實現(xiàn)，避免使?插件，從?充分體現(xiàn)出向量、四元數(shù)等知識在實踐中的運??法。

4.6.1 搭建簡單場景

01 新建?個場景，放置?個平?作為地板，將地板放?5倍。
02 創(chuàng)建?個新的材質(zhì)掛載在地板上，給地板?個較深的顏?。
03 在地板上放置?些??體，主要是為了在測試時作為參照物使?，如圖4-20所?。

4.6.2 創(chuàng)建主?物體

????????這?依然??個簡單模型作為主?，能?便查看?向即可。
????????01 創(chuàng)建?個?囊體，?囊體默認?度為2，代表?個??。
????????02 創(chuàng)建?個??體作為?囊體的?物體，將??體放在?囊體的“臉”部。給??體掛上材質(zhì)，材質(zhì)要設(shè)為顯眼的顏?。
????????03 將?囊體命名為Player。
????????04 重點：拖曳場景列表中的主攝像機，讓主攝像機變成?囊體的?物體。
????????05 將主攝像機的位置歸0，也就是主攝像機與主?重合。然后微調(diào)主攝像機的位置到??的臉部。
????????這樣主?和場景就準備完成了。第??稱射擊游戲的攝像機會完全跟隨主?移動和轉(zhuǎn)動，因此設(shè)置為?物體是?種?較簡單的做法。

4.6.3 編寫控制腳本——移動部分

????????（1）創(chuàng)建腳本FPSCharacter，將其掛載于?囊體Player上。
????????（2）編寫腳本內(nèi)容。腳本內(nèi)容是重點，下?分步介紹。
??????????的控制分為兩?塊：??移動和攝像機旋轉(zhuǎn)。
??????????移動??，玩家可以按?向鍵進?前后左右平移。問題是：玩家按上?向鍵時，對應哪個?向；玩家按右?向鍵時，?對應哪個?向。
????????圖4-21所?的??本?具有前?向量transform.forward和右?向量transform.right。右?向量與右?向的移動直接對應；前?向量?較?煩，因為存在抬頭、低頭的情況。如果玩家在抬頭看天時直接向前??，就會得到向天上?的結(jié)果。

????????解決?案是得到前?向量后，略加修改，去除前?向量的y軸分量，這樣就讓前?向量保持?平了。完整代碼在本章末尾，計算移動的部分代碼如下。

void Move()
{
float x = Input.GetAxis("Horizontal"); // 輸?左右
float z = Input.GetAxis("Vertical"); // 輸?前后
// ?向永遠平?地?，??不能?到天上去
// 獲得??前?向量，將y軸分量設(shè)為0
Vector3 fwd = transform.forward;
Vector3 f = new Vector3(fwd.x, 0, fwd.z).normalized;// ??的右?向量與右?向的移動直接對應，與抬頭?關(guān)，可以直接?
Vector3 r = transform.right;
// ?f和r作向量的基，組合成移動向量
Vector3 move = f * z + r * x;
// 直接改變玩家位置
transform.position += move * speed * Time.deltaTime;
}

????????這段代碼中的“move=f*z+r*x”是?個很有?的技巧，f和r都是?度為1的?向向量。x是左右?向向量的?度，范圍為-1~1；z是前后?向向量的?度，范圍為-1~1。x控制著f的?度，z控制著r的?度。這樣將前后與左右?向相加，就得到了移動向量。
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