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陶哲軒必備助手之人工智能數(shù)學驗證+定理發(fā)明工具LEAN4 [線性代數(shù)篇2]矩陣乘積的行列式變形（上篇）_嗶哩嗶哩_bilibili

import Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant

import Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin

import Mathlib.GroupTheory.Perm.Sign

import Mathlib.Data.Real.Sqrt

import Mathlib.Data.List.Perm

-- 本文件最終目標是證明行列式中矩陣相乘的運算規(guī)律：第二篇

-- det (M * N) = det M * det N

universe u v w z

open Equiv Equiv.Perm Finset Function

namespace Matrix --目的是避免模糊定義mul_apply

open Matrix BigOperators

variable {m n : Type*} [DecidableEq n] [Fintype n] [DecidableEq m] [Fintype m]

variable {R : Type v} [CommRing R]

local notation "ε " σ:arg => ((sign σ : ?) : R) -- “元編程”，創(chuàng)造新符號，ε 接收一個參數(shù)，結果就是sign σ

set_option linter.unusedVariables false --

-- 沒講到的部分會分別用“前置知識”視頻發(fā)出來，先記???

?

def detRowAlternating2

: AlternatingMap R (n → R) R n --- 最后這個參數(shù)n屬于補充說明,實際形式上只需傳三個參數(shù)即可

:=

MultilinearMap.alternatization ( -- ???基本的要素都齊了，求和，連乘，全體置換，置換的符號。具體邏輯還不懂

(MultilinearMap.mkPiAlgebra R n R).compLinearMap

LinearMap.proj)

abbrev det2 (M : Matrix n n R): R :=

(detRowAlternating2) M

def printPerms (n : ?) : List (List ?) :=

List.map List.reverse (List.permutations (List.range n))

-- Perm n

-- #eval printPerms 4

-- #eval printPerms 3

?

-- 正式開始：

lemma MainGoal_1 (M N : Matrix n n R):

det (M * N)

= ∑ p : n → n,

∑ σ : Perm n,

(ε σ)

*

∏ i,

M (σ i) (p i) * N (p i) i

:= by

simp only [det_apply']

simp only [mul_apply]

simp only [prod_univ_sum] -- ???與"先連加，再連乘，等于，先連乘，再連加"，還有笛卡爾積“全覆蓋”，相關的定理

-- 如何理解Fintype.piFinset t

-- 假設 t 是一個從集合 {1, 2} 到有限集合的映射，其中 t(1) = {a, b}，t(2) = {x, y}。

-- 那么 Fintype.piFinset t 就表示集合 {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}，即這兩個集合的笛卡爾積。

-- 舉例說明prod_univ_sum

-- 首先，讓我們假設集合α包含元素1和2，對應的集合分別為t1和t2。而且我們有以下映射關系：

-- t1 = {a, b}, t2 = {x, y}

-- 對應的函數(shù)f如下：

-- f(1, a) = 2, f(1, b) = 3, f(2, x) = 1, f(2, y) = 4

-- 現(xiàn)在我們來計算左側和右側的值。

-- 左側：(∏ a, ∑ b in t a, f a b)

-- = (∑ b in t1, f(1, b)) * (∑ b in t2, f(2, b))

-- = (f(1, a) + f(1, b)) * (f(2, x) + f(2, y))

-- = (2 + 3) * (1 + 4)

-- = 5 * 5

-- = 25

-- 右側：∑ p in Fintype.piFinset t, ∏ x, f x (p x)

-- = f(1, a) * f(2, x) + f(1, a) * f(2, y) + f(1, b) * f(2, x) + f(1, b) * f(2, y)

-- = 2 * 1 + 2 * 4 + 3 * 1 + 3 * 4

-- = 2 + 8 + 3 + 12

-- = 25

-- 因此，根據(jù) Finset.prod_univ_sum 定理，左側和右側的值相等，都等于25。

simp only [mul_sum] --???用gpt舉個例子來理解

simp only [Fintype.piFinset_univ] --???Fintype.piFinset的使用 -- 1，2，3 =》 3，2，1

rw [Finset.sum_comm] --???兩階求和順序互換的相關定理

done

lemma MainGoal_2 (M N : Matrix n n R):

∑ p : n → n,

∑ σ : Perm n,

ε σ

*

∏ i,

M (σ i) (p i) * N (p i) i

= ∑ p in (@univ (n → n) _).filter Bijective,

∑ σ: Perm n,

(ε σ)

*

(∏ i,

M (σ i) (p i) * N (p i) i)

:= by

apply Eq.symm

apply sum_subset --s? ? s?， x ∈ s?, x ? s?的情況為0，則可以直接去掉

· intro h1 h2

exact mem_univ h1

· intros h3 h4 h5

apply det_mul_aux -- ???這個先不理解，后面專門出一個視頻來教如何讀證明并且分解證明成策略模式。

-- 一個先連乘，再連加的東西，結果是0，關鍵是非雙射導致的，有點意思

-- 舉個例子，p=[1,1],Perm 2只有兩個變換：1.恒等變換，簡稱id；2.換位變換，簡稱swap

-- ε id * (M (id 1)(p 1) * N (p 1)1) * (M (id 2)(p 2) * N (p 2)2)

-- = 1 * (M 1 1 * N 1 1) * (M 2 1 * N 1 2)

-- = M 1 1 * N 1 1 * M 2 1 * N 1 2

-- ε swap * (M (swap 1)(p 1) * N (p 1)1) * (M (swap 2)(p 2) * N (p 2)2)

-- = -1 * (M 2 1 * N 1 2) * (M 1 1 * N 1 1)

-- = -M 2 1 * N 1 2 * M 1 1 * N 1 1

simp only [mem_filter] at h5 -- 就是filter的定義唄，是屬于某個集合里面的，而且滿足條件1

simp only [mem_univ] at h5

simp only [true_and_iff] at h5

set h6 := fun x ? h3 x -- 寫這個h6,h7是為了補充說明，其實這里h6就是和h3同一個映射，寫法不一樣而已

-- have h7: h6=h3 -- 為了讓大家理解

-- := by

-- exact rfl

exact h5

done

lemma MainGoal_3 (M N : Matrix n n R):

∑ p in (@univ (n → n) _).filter Bijective,

∑ σ: Perm n,

ε σ

*

(∏ i,

M (σ i) (p i) * N (p i) i)

=

∑ τ : Perm n,

∑ σ : Perm n,

(ε σ)

*

(∏ i,

M (σ i) (τ i) * N (τ i) i)

:= by

rw [sum_comm]

rw [sum_comm] -- 這兩步sum_comm相當于沒變，只改成了x,y

refine' sum_bij _ _ _ _ _ -- ???這個需要問一下gpt找到數(shù)學世界里的對應定理名稱。

-- 不一樣的定義域s、t，不同的函數(shù)f、g，求和相同，需要什么條件呢。5個條件

-- 舉例：

-- 假設我們有以下集合和映射：

-- 令 α = {1, 2, 3}，即集合 {1, 2, 3}。

-- 令 β = {a, b, c}，即集合 {a, b, c}。

-- 令 γ = {x, y, z}，即集合 {x, y, z}。

-- 定義函數(shù) f: α → β 和 g: γ → β 如下：

-- 對于 f，我們定義 f(1) = a，f(2) = b，f(3) = c。

-- 對于 g，我們定義 g(x) = a，g(y) = b，g(z) = c。

-- 接下來，定義函數(shù) i: α → γ 如下：

-- i(1) = x

-- i(2) = y

-- i(3) = z

-- 現(xiàn)在，我們可以檢查定理的條件是否滿足：

-- 映射關系 (h)： 對于所有 a 屬于 {1, 2, 3}，我們有 f a = g (i a)。

-- 這是滿足的，例如，對于 a = 1，我們有 f(1) = a 和 g(i(1)) = g(x) = a。

-- i 是單射 (i_inj)： 如果 i a? = i a?，則 a? = a?。

-- 這是滿足的，因為 i 的定義是一對一的，不同的 a 映射到不同的 γ 中的元素。

-- i 是滿射 (i_surj)： 對于任意 b 屬于 {x, y, z}，存在 a 屬于 {1, 2, 3}，使得 b = i a。

-- 這也是滿足的，因為 i 的定義覆蓋了整個 γ。

-- 如果這些條件滿足，我們可以應用定理，從而得出：

-- [

-- \prod_{x \in {1, 2, 3}} f(x) = \prod_{x \in {x, y, z}} g(x)

-- ]

-- 即，

-- [

-- abc = abc

-- ]

· intros ih1 ih2 -- 這里ih1潛臺詞是隨機的ih1

have ih3:= (mem_filter.mp ih2).right

have ih4:= ofBijective ih1 ih3 --???現(xiàn)實中的意義有待

simp only [Perm]

exact ih4 -- 如果這里定義錯了，下面滿盤皆輸

-- 注意不能像以下這樣定義

-- intros ih1 ih2

-- have ih3:= Equiv.refl n

-- simp only [Perm]

-- exact ih3

· intro h1

intro h2 --原來這里會用到refine1的證明

simp only [mem_univ]

· intros h_1 h_2

have h_3:= mem_filter.1 h_2

obtain ?h_4,h_5? := h_3

simp only [id_eq]

set h_6 := ofBijective h_1 h_5 -- h_1和h_6相等嗎？，由ofBijective的toFun定義知道就是h_1

-- have h1_equal_h6 : h_1=h_6 -- 為了說明而寫的，因為ofBijective的實際效果是和toFun相同的，是定義導致的相同

-- := by

-- exact rfl

rfl

· intros inj_1 inj_2 inj_3 inj_4 inj_5

simp only [id_eq] at inj_5 -- 看起來很明顯，但就是完成不了

ext x

have inj_6:= ofBijective_apply inj_1

have inj_7:= ofBijective_apply inj_2

have bij_inj_3:= (mem_filter.mp inj_3).right

rw [← inj_6]

rw[inj_5,

inj_7]

done

· intros b x

refine' Exists.intro b _ -- 要證明存在某個原始使得某個命題成立，只需要，給出例子，然后讓例子代入后面描述的命題中，該命題為真即可。

-- 比如這里就是把a全部替換成了b

-- 如果第二個參數(shù)中不用直接替換的，比如下面這行，就直接證明第二個參數(shù)代表的命題即可

refine' Exists.intro _ _ -- 比如這里ha在第二個參數(shù)中沒有需要替換的，直接證明第二個命題即可

· refine' mem_filter.mpr _

constructor

· refine' mem_univ (↑b)

· exact Equiv.bijective b

· refine' coe_fn_injective _ --在外層套了一個不變的映射

simp only [id_eq]

simp only [FunLike.coe_fn_eq]

refine' Equiv.ext _

intros x2

-- ↑(ofBijective ↑b (_ : Bijective ↑b))前面這個和↑b作用效果一樣嗎?查一下ofBijective的toFun := f定義就知道，就是f本身

-- 下面是進一步的探究，不看了

-- have equalTest: (ofBijective ↑b (_ : Bijective ↑b)) = b

-- := by

-- refine ((fun {α β} {e? e?} ? Equiv.coe_inj.mp) rfl).symm

rfl

done

done

?

end Matrix文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-774710.html

到了這里，關于陶哲軒必備助手之人工智能數(shù)學驗證+定理發(fā)明工具LEAN4 [線性代數(shù)篇2]矩陣乘積的行列式變形（上篇）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！