隨機(jī)變量的獨(dú)立性是這樣定義的：
如果對(duì)任意
x
,
y
x, y
x,y 都有
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
}
P
{
Y
≤
y
}
P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x \}P\{Y\leq y\}
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
即
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
F(x,y)=FX?(x)FY?(y)
則稱(chēng)隨機(jī)變量
X
X
X與
Y
Y
Y相互獨(dú)立。
事件A與事件B相互獨(dú)立
我們知道事件相互獨(dú)立的本質(zhì)其實(shí)是，事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率無(wú)影響，同時(shí)，事件B是否發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率無(wú)影響。也就是
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
P(A) = P(A|B)
P(A)=P(A∣B) 且
P
(
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(B)=P(B|A)
P(B)=P(B∣A)，根據(jù)條件概率公式：
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
,
B
)
P
(
B
)
P(A) = P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)}
P(A)=P(A∣B)=P(B)P(A,B)?
我們可以得到：
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B) = P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)
同樣
P
(
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(B)=P(B|A)
P(B)=P(B∣A)也能得到
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B) = P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)。
反過(guò)來(lái)，
由
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B)=P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)
能得到：
P
(
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(A) = \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B) \\ P(B) = \frac{P(AB)}{P(A)} = P(B|A)
P(A)=P(B)P(AB)?=P(A∣B)P(B)=P(A)P(AB)?=P(B∣A)
所以事件的獨(dú)立性的定義是：
設(shè)
A
,
B
A,B
A,B兩事件滿(mǎn)足等式
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB) = P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
則稱(chēng)
A
A
A 與
B
B
B 相互獨(dú)立。
隨機(jī)變量X與隨機(jī)變量Y相互獨(dú)立
根據(jù)事件的獨(dú)立性，我們自然而然地有隨機(jī)變量
X
X
X與
Y
Y
Y相互獨(dú)立的本質(zhì)是
X
X
X與
Y
Y
Y的取值相互不影響，用分布函數(shù)和條件概率來(lái)解釋就是：
P
{
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
∣
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
=
P
{
Y
≤
y
∣
X
≤
x
}
P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\}
P{X≤x}=P{X≤x∣Y≤y}P{Y≤y}=P{Y≤y∣X≤x}
即：
P
{
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
∣
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
=
P
{
Y
≤
y
∣
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
P
{
X
≤
x
}
P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{Y\leq y\}}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{X\leq x\}}
P{X≤x}=P{X≤x∣Y≤y}=P{Y≤y}P{X≤x,Y≤y}?P{Y≤y}=P{Y≤y∣X≤x}=P{X≤x}P{X≤x,Y≤y}?
我們就能得到隨機(jī)變量
X
X
X與
Y
Y
Y相互獨(dú)立的定義：
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
}
P
{
Y
≤
y
}
P\{X\leq x, Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
用分布函數(shù)即：
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
F(x,y)=FX?(x)FY?(y)
隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立以概率分布(離散型)或者概率密度(連續(xù)型)形式的充要條件
離散型隨機(jī)變量 X X X 和 Y Y Y 相互獨(dú)立的充要條件
對(duì)任意的 i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,...， P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } P { Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} P{X=xi?,Y=yj?}=P{X=xi?}P{Y=yj?}，即 p i j = p i ? p ? j p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j} pij?=pi??p?j?.
證明：
P { X = x i , Y = y j } = P { X ≤ x i , Y ≤ y j } ? P { X < x i , Y ≤ y j } ? P { X ≤ x i , Y < y j } + P { X < x i , Y < y j } = P { X ≤ x i } P { Y ≤ y j } ? P { X < x i } P { Y ≤ y j } ? P { X ≤ x i } P { Y < y j } + P { X < x i } P { Y < y j } = ( P { X ≤ x i } ? P { X < x i } ) P { Y ≤ y j } ? ( P { X ≤ x i } ? P { X < x i } ) P { Y < y j } = P { X = x i } P { Y ≤ y j } ? P { X = x i } P { Y < y j } = P { X = x i } ( P { Y ≤ y j } ? P { Y < y j } ) = P { X = x i } P { Y = y j } \begin{align*} P\{X= x_i, Y= y_j\} &= P\{X\leq x_i,Y\leq y_j\} - P\{X< x_i,Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i,Y< y_j\}+P\{X< x_i,Y< y_j\}\\ &= P\{X\leq x_i\}P\{Y\leq y_j\} - P\{X< x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i\}P\{Y< y_j\}+P\{X< x_i\}P\{Y< y_j\}\\ &= (P\{X\leq x_i\} - P\{X< x_i\})P\{Y\leq y_j\} - (P\{X\leq x_i\}-P\{X< x_i\})P\{Y< y_j\}\\ &= P\{X= x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X= x_i\}P\{Y< y_j\} \\ &= P\{X= x_i\}(P\{Y\leq y_j\}-P\{Y< y_j\})\\ &= P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} \end{align*} P{X=xi?,Y=yj?}?=P{X≤xi?,Y≤yj?}?P{X<xi?,Y≤yj?}?P{X≤xi?,Y<yj?}+P{X<xi?,Y<yj?}=P{X≤xi?}P{Y≤yj?}?P{X<xi?}P{Y≤yj?}?P{X≤xi?}P{Y<yj?}+P{X<xi?}P{Y<yj?}=(P{X≤xi?}?P{X<xi?})P{Y≤yj?}?(P{X≤xi?}?P{X<xi?})P{Y<yj?}=P{X=xi?}P{Y≤yj?}?P{X=xi?}P{Y<yj?}=P{X=xi?}(P{Y≤yj?}?P{Y<yj?})=P{X=xi?}P{Y=yj?}?
連續(xù)型隨機(jī)變量 X X X 和 Y Y Y 相互獨(dú)立的充要條件
對(duì)任意的
x
,
y
x,y
x,y，
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
f(x,y)=fX?(x)fY?(y).
F
(
x
,
y
)
=
∫
?
∞
x
∫
?
∞
y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
=
∫
?
∞
x
f
X
(
x
)
d
x
∫
?
∞
y
f
Y
(
y
)
d
y
=
∫
?
∞
x
∫
?
∞
y
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
d
x
d
y
\begin{align*} F(x,y)&= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy\\ F_X(x)F_Y(y) &= \int_{-\infty}^xf_X(x)dx\int_{-\infty}^yf_Y(y)dy\\ &= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy\\ \end{align*}
F(x,y)FX?(x)FY?(y)?=∫?∞x?∫?∞y?f(x,y)dxdy=∫?∞x?fX?(x)dx∫?∞y?fY?(y)dy=∫?∞x?∫?∞y?fX?(x)fY?(y)dxdy?
根據(jù)定義：
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
F(x,y)=FX?(x)FY?(y)
即：
∫
?
∞
x
∫
?
∞
y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
?
∞
x
∫
?
∞
y
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
d
x
d
y
\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy
∫?∞x?∫?∞y?f(x,y)dxdy=∫?∞x?∫?∞y?fX?(x)fY?(y)dxdy
可推出：
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
f(x,y)=fX?(x)fY?(y)文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-770315.html
總結(jié)
由事件的獨(dú)立性到隨機(jī)變量的獨(dú)立性，從分布函數(shù)到密度函數(shù)，直觀上非常容易記憶，但是這里面其實(shí)是由細(xì)微的差異的，注意到這些細(xì)微的差異，對(duì)于構(gòu)建嚴(yán)格的邏輯閉環(huán)，扎實(shí)數(shù)學(xué)的地基有一定作用。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-770315.html
到了這里，關(guān)于用分布函數(shù)定義的隨機(jī)變量的獨(dú)立性的合理性的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
