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【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題

2年前作者：theSerein分類：Toy博客閱讀(18)違法舉報(bào)

這篇具有很好參考價(jià)值的文章主要介紹了【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題。希望對(duì)大家有所幫助。如果存在錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，請(qǐng)大家不吝賜教，您也可以點(diǎn)擊"舉報(bào)違法"按鈕提交疑問(wèn)。

數(shù)論專題：高精度計(jì)算

MT2191 整數(shù)大小比較

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

給出兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們的大小。

格式

輸入格式：兩個(gè)正整數(shù)。
輸出格式：若前者大，輸出 >；若后者大，輸出 <；若一樣大，輸出 =。

樣例 1

輸入：1412894619244619891 23762842222

輸出：>

備注

保證所有數(shù)在 $2^{100}$ 以內(nèi)。

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：高精度計(jì)算

題解

雖然這道題是比較數(shù)字的大小，但實(shí)際上我們不用關(guān)心其數(shù)字的取值范圍（可以從字符串對(duì)象的角度出發(fā)進(jìn)行比較）。對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，它們之間的大小關(guān)系可根據(jù)以下兩步進(jìn)行比較：

數(shù)字長(zhǎng)度。對(duì)于正整數(shù)而言，顯然長(zhǎng)度越長(zhǎng)的數(shù)更大。
若長(zhǎng)度相等，則從數(shù)的最高位到最低位依次比較大小，在某位上具有更大數(shù)字的數(shù)更大。

若 1、2 之后未能找到更大的數(shù)，則說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)的取值相同。

基于此，可直接寫出求解該題的完整代碼（已 AC）：

/*
    MT2191 整數(shù)大小比較 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

// 比較兩個(gè)大數(shù)的大小 
int compare(string stra, string strb)
{
    // 根據(jù)長(zhǎng)度判斷大小關(guān)系 
    int lenA = stra.length();
    int lenB = strb.length();
    if(lenA > lenB) return 1;
    if(lenA < lenB) return -1;
    // 長(zhǎng)度相等需要進(jìn)一步判斷
    for(int i=0; i<lenA; i++){
        if(stra[i] - strb[i] > 0) return 1;
        if(stra[i] - strb[i] < 0) return -1;
    }
    // 或者直接比較字符串大小
    // if(stra > strb) return 1;
    // else if(stra < strb) return -1;
    // else return 
    return 0;
}

// 打印結(jié)果
void printResult(int result)
{
    if(result > 0) cout<<">"<<endl;
    else if(result < 0) cout<<"<"<<endl;
    else cout<<"="<<endl;
}

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    string stra, strb;
    cin>>stra>>strb;
    // 比較兩個(gè)大數(shù)的大小
    int result = compare(stra, strb);
    // 輸出比較結(jié)果
    printResult(result);
    return 0;
}

MT2192 A+B problem

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

計(jì)算 $A+B(1\le A,B\le{10}^{10000})$ 。

格式

輸入格式：兩行每行一個(gè)整數(shù) $A, B$ 。
輸出格式：一個(gè)整數(shù) $A + B$ 。

樣例 1

輸入：

1
1

輸出：

2

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)： 高精度計(jì)算

題解

這道題考察的是大數(shù)運(yùn)算（加法）。關(guān)于如何實(shí)現(xiàn)大數(shù)加法運(yùn)算的分析請(qǐng)見(jiàn)博客【算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】——大數(shù)運(yùn)算。下面給出多位數(shù)加法的執(zhí)行流程：

【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題,馬蹄集試題題解,MT2192 A+B,MT2193 A-B,MT2194 大斐列,MT2195 升級(jí)版斐波那契,MT2196 2的N次冪,馬蹄集試題題解,高精度計(jì)算

多位數(shù)加法的過(guò)程涉及到對(duì)各個(gè)位的加法運(yùn)算，因此在處理大數(shù)的加法運(yùn)算時(shí)，通常會(huì)用一個(gè) int 型數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)大數(shù)在各個(gè)位上的值。例如，數(shù)：122333444455555666666，可通過(guò)一個(gè)足夠長(zhǎng)的數(shù)組 $ary[\ ]$ ，使 $ary\left[0\right]=1,ary\left[1\right]=2,ary\left[3\right]=2,\ldots,ary\left[20\right]=6$ 進(jìn)行存儲(chǔ)。采取數(shù)位與索引大小相對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)方式（即數(shù)的低位對(duì)應(yīng)較小的索引，高位對(duì)應(yīng)較大的索引），是為了便于大數(shù)在執(zhí)行加法運(yùn)算時(shí)的進(jìn)位可直接在數(shù)組中向后拓展。接下來(lái)，就能按照以上思路掃描數(shù)組并對(duì)各個(gè)位進(jìn)行加法運(yùn)算。最后，單獨(dú)用一層循環(huán)處理進(jìn)位即可。

下面直接給出求解本題的完整代碼（已 AC）：

/*
    MT2192 A+B problem 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];

// 計(jì)算兩個(gè)大數(shù)之和（輸入為字符串） 
void getSum(string stra, string strb)
{
    // 賦初值
    memset(numa, 0, sizeof(numa));
    memset(numb, 0, sizeof(numb));
    int tmp = 0;
    // 將兩個(gè)字符串保存至 int 型數(shù)組中（注意逆序） 
    for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)
        numa[tmp++] = stra[i] - '0';
    tmp = 0;
    for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)
        numb[tmp++] = strb[i] - '0';
    // 將數(shù)組中的每個(gè)數(shù)按位進(jìn)行加法運(yùn)算
    for(int i=0;i<N;i++)
        numa[i] += numb[i];
    // 對(duì)存放加法結(jié)果的數(shù)組執(zhí)行進(jìn)位處理
    for(int i=0; i<N; i++){
        numa[i+1] += numa[i] / 10;
        numa[i] %= 10;
    }
}

// 輸出大數(shù)加法后的結(jié)果 
void printBigData()
{
    // 從最高位向后掃描，直到第 1 個(gè)非 0 數(shù)字出現(xiàn) 
    int p = N-1;
    while(numa[p] == 0) p--;
    while(p >= 0) cout<<numa[p--];
    cout<<"\n";
} 

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    string stra, strb;
    cin>>stra>>strb;
    // 對(duì)兩個(gè)大數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算 
    getSum(stra, strb);
    // 輸出和
    printBigData();
    return 0;
}

MT2193 A-B problem

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

計(jì)算 $A-B(1\le B\le A\le{10}^{10000})$ 。

格式

輸入格式：兩行每行一個(gè)整數(shù) $A, B$ 。
輸出格式：一個(gè)整數(shù) $A ? B$ 。

樣例 1

輸入：

2
1

輸出：

1

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)： 高精度計(jì)算

題解

這道題考察的是大數(shù)運(yùn)算（減法）。關(guān)于如何實(shí)現(xiàn)大數(shù)減法運(yùn)算的分析請(qǐng)見(jiàn)博客【算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】——大數(shù)運(yùn)算。下面給出多位數(shù)減法的執(zhí)行流程：

【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題,馬蹄集試題題解,MT2192 A+B,MT2193 A-B,MT2194 大斐列,MT2195 升級(jí)版斐波那契,MT2196 2的N次冪,馬蹄集試題題解,高精度計(jì)算

多位數(shù)減法需要用到 int 型數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)大數(shù)在各個(gè)位上的值，其存儲(chǔ)規(guī)則和大數(shù)加法一致（即低位對(duì)應(yīng)較小的索引，高位對(duì)應(yīng)較大的索引）。接下來(lái)，只需要掃描數(shù)組，在每個(gè)位上按照以上思路進(jìn)行減法運(yùn)算即可得到大數(shù)減法的結(jié)果。

下面直接給出求解本題的完整代碼（已 AC）：

/*
    MT2193 A-B problem 
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];

// 計(jì)算兩個(gè)大數(shù)之差（輸入為字符串） 
void getSub(string stra, string strb)
{
    // 賦初值
    memset(numa, 0, sizeof(numa));
    memset(numb, 0, sizeof(numb));
    int tmp = 0;
    // 將兩個(gè)字符串保存至 int 型數(shù)組中（注意逆序） 
    for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)
        numa[tmp++] = stra[i] - '0';
    tmp = 0;
    for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)
        numb[tmp++] = strb[i] - '0';
    // 將數(shù)組中的每個(gè)數(shù)按位進(jìn)行減法運(yùn)算
    for(int i=0;i<N;i++){
        numa[i] -= numb[i];
        if(numa[i] < 0){
            // 借位 
            numa[i+1]--; 
            numa[i] += 10;
        }
    }
}

// 輸出大數(shù)減法后的結(jié)果 
void printBigData()
{
    // 從最高位向后掃描，直到第 1 個(gè)非 0 數(shù)字出現(xiàn) 
    int p = N-1;
    while(numa[p] == 0) p--;
    while(p > -1) cout<<numa[p--];
    cout<<"\n";
} 

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    string stra, strb;
    cin>>stra>>strb;
    // 對(duì)兩個(gè)大數(shù)進(jìn)行減法運(yùn)算 
    getSub(stra, strb);
    // 輸出和
    printBigData();
    return 0;
}

MT2194 大斐列

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

計(jì)算斐波那契數(shù)列第 $n$ 項(xiàng)。
斐波那契數(shù)列定義為： $F [1] = 1 ， F [2] = 1$ ，遞推關(guān)系為： $F [N] = F [N ? 1] + F [N ? 2]$ 。即： $1 、 1 、 2 、 3 、 5 、 8 、 13 、 21 、 34 、 \dots\dots$

格式

輸入格式：一個(gè)整數(shù) $n$ 。
輸出格式：一個(gè)整數(shù) $F [n]$ 。

樣例 1

輸入：6

輸出：8

備注

對(duì)于 30% 的數(shù)據(jù)： $3 \leq n \leq 20$ 。
對(duì)于 100% 的數(shù)據(jù)： $3 \leq n \leq 5000$ 。

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：高精度計(jì)算

題解

這道題實(shí)際上就是求斐波那契數(shù)列：即通過(guò)迭代公式 $F [N] = F [N ? 1] + F [N ? 2]$ ，不斷獲取下一個(gè)值。但是斐波那契數(shù)列的增長(zhǎng)速度非常快，通過(guò)編寫 Python 代碼可知（代碼如下），斐波那契數(shù)列的第 5000 個(gè)數(shù)的長(zhǎng)度達(dá)到了 1045。因此這道題是一道妥妥的大數(shù)加法問(wèn)題。

# 求斐波那契的第 5000 項(xiàng)
ary = [1,1]
for i in range(2,5000):
    ary.append(ary[i-1]+ary[i-2])
print(ary[4999])
print(len(str(ary[4999])))

【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題,馬蹄集試題題解,MT2192 A+B,MT2193 A-B,MT2194 大斐列,MT2195 升級(jí)版斐波那契,MT2196 2的N次冪,馬蹄集試題題解,高精度計(jì)算

所以這里依然需要用到大數(shù)加法。具體的實(shí)現(xiàn)方式和前面類似，在此就不贅述。

下面給出基于以上思路寫出的完整代碼（已 AC）：

/*
    MT2194 大斐列 
    通過(guò) python 算出最后數(shù)字（即第 5000 項(xiàng)）的長(zhǎng)度為 1045
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int N = 1100;
int numa[N], numb[N], numc[N];

// 計(jì)算斐波那契數(shù)列
void getFibonacci(int n)
{
    // 賦初值
    memset(numa, 0, sizeof(numa));
    memset(numb, 0, sizeof(numb));
    memset(numc, 0, sizeof(numc));
    numa[0] = numb[0] = 1;
    n -= 2;
    // 遞推求解斐波那契數(shù)列并統(tǒng)計(jì)前綴和 
    while(n--){
        // 將數(shù)組中的每個(gè)數(shù)按位進(jìn)行加法運(yùn)算 
        for(int i=0;i<N;i++)
            numc[i] = numa[i] + numb[i];
        // 對(duì)存放加法結(jié)果的數(shù)組執(zhí)行進(jìn)位處理
        for(int i=0; i<N; i++){
            numc[i+1] += numc[i] / 10;
            numc[i] %= 10;
        }
        // 將數(shù)組進(jìn)行前向賦值（從而實(shí)現(xiàn)遞推）
        memcpy(numa, numb, sizeof(numb));
        memcpy(numb, numc, sizeof(numc));
    }
}

// 輸出大數(shù)加法后的結(jié)果 
void printBigData()
{
    // 從最高位向后掃描，直到第 1 個(gè)非 0 數(shù)字出現(xiàn) 
    int p = N-1;
    while(numc[p] == 0) p--;
    while(p > -1) cout<<numc[p--];
    cout<<"\n";
} 

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    int n;
    cin>>n;
    // 求出斐波那契數(shù)列 
    getFibonacci(n);
    // 輸出指定項(xiàng) 
    printBigData();
    return 0;
}

MT2195 升級(jí)版斐波那契數(shù)列

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

我們都知道斐波那契數(shù)列一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，現(xiàn)在我們規(guī)定一個(gè)升級(jí)版斐波那契數(shù)列，其一項(xiàng)為前三項(xiàng)的和，要求算其前 $n$ 項(xiàng)的和。即，定義： $F [1] = 1 ， F [2] = 1 ， F [3] = 1$ ，遞推關(guān)系為： $F [N] = F [N ? 1] + F [N ? 2] + F [N ? 3]$ 。

格式

輸入格式：一個(gè)整數(shù) $n$ ；
輸出格式：前 $n$ 項(xiàng)的和。

樣例 1

輸入：4

輸出：6

備注

其中： $4\le n \le 1000$ 。

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：高精度計(jì)算

題解

這道題依然考察了大數(shù)加法，和前面一題類似，下面直接給出求解本題的完整代碼（已 AC）：

/*
    MT2195 升級(jí)版斐波那契數(shù)列 
    通過(guò) python 算出最后數(shù)字（即第 1000 項(xiàng)）的長(zhǎng)度為 265，整個(gè)數(shù)列的數(shù)字之和長(zhǎng)度為 265
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int N = 300;
int numa[N], numb[N], numc[N], numd[N], preSum[N];

// 計(jì)算斐波那契數(shù)列
void getFibonacci(int n)
{
    // 賦初值
    memset(numa, 0, sizeof(numa));
    memset(numb, 0, sizeof(numb));
    memset(numc, 0, sizeof(numc));
    memset(numd, 0, sizeof(numd));
    memset(preSum, 0, sizeof(preSum));
    numa[0] = numb[0] = numc[0] = 1;
    preSum[0]  = 3;
    n -= 3;
    // 遞推求解斐波那契數(shù)列并統(tǒng)計(jì)前綴和 
    while(n--){
        // 將數(shù)組中的每個(gè)數(shù)按位進(jìn)行加法運(yùn)算 
        for(int i=0;i<N;i++)
            numd[i] = numa[i] + numb[i] + numc[i];
        // 對(duì)存放加法結(jié)果的數(shù)組執(zhí)行進(jìn)位處理
        for(int i=0; i<N; i++){
            numd[i+1] += numd[i] / 10;
            numd[i] %= 10;
        }
        // 將當(dāng)前項(xiàng)累加至前綴和數(shù)組中
        for(int i=0;i<N;i++)
            preSum[i] += numd[i];
        for(int i=0; i<N; i++){
            preSum[i+1] += preSum[i] / 10;
            preSum[i] %= 10;
        }
        // 將數(shù)組進(jìn)行前向賦值
        memcpy(numa, numb, sizeof(numb));
        memcpy(numb, numc, sizeof(numc));
        memcpy(numc, numd, sizeof(numd));
        
    }
}

// 輸出大數(shù)加法后的結(jié)果 
void printBigData()
{
    // 從最高位向后掃描，直到第 1 個(gè)非 0 數(shù)字出現(xiàn) 
    int p = N-1;
    while(preSum[p] == 0) p--;
    while(p > -1) cout<<preSum[p--];
    cout<<"\n";
} 

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    int n;
    cin>>n;
    // 求出斐波那契數(shù)列 
    getFibonacci(n);
    // 輸出前綴和 
    printBigData();
    return 0;
}

MT2196 2的N次冪

難度：黃金 ?? 時(shí)間限制：1秒 ?? 占用內(nèi)存：128M

題目描述

任意給定一個(gè)正整數(shù) $N(N\le100)$ ，計(jì)算 2 的 $N$ 次方的值。

格式

輸入格式：一個(gè)正整數(shù) $N$ ；
輸出格式：輸出 $2^N$ 的值。

樣例 1

輸入：5

輸出：32

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：高精度計(jì)算

題解

$2^n$ 在 $n$ 取 100 時(shí)，是一個(gè)長(zhǎng)度為 31 的大數(shù)，因此也是一道高精度題。與前面不同的是，這道題要求的是乘冪運(yùn)算。但實(shí)際上，數(shù)的乘冪運(yùn)算就等于進(jìn)行 “冪” 次乘法運(yùn)算（疊乘），乘數(shù)為底數(shù)。所以求解該題的關(guān)鍵實(shí)際是基于乘法運(yùn)算的高精度計(jì)算問(wèn)題，關(guān)于如何實(shí)現(xiàn)大數(shù)乘法運(yùn)算的分析請(qǐng)見(jiàn)博客【算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】——大數(shù)運(yùn)算。

這里選用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)依然是 int 型數(shù)組，其存儲(chǔ)規(guī)則和大數(shù)加法一致（即低位對(duì)應(yīng)較小的索引，高位對(duì)應(yīng)較大的索引）。不過(guò)在算法一開(kāi)始，需要將該數(shù)組的最低位置為底數(shù)（即 2）。接下來(lái)，定義一重循環(huán)（循環(huán)次數(shù)為 $n ? 1$ ），每遍都執(zhí)行以下兩步：

將存放大數(shù)的數(shù)組中的每一位都乘以底數(shù)；
遍歷整個(gè)數(shù)組執(zhí)行進(jìn)位。

算法結(jié)束時(shí)，即得到了大數(shù)乘冪運(yùn)算的結(jié)果。下面給出基于以上思路得到的完整代碼：文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-688124.html

/*
    MT2196 2的N次冪  
*/
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

// 題目給的數(shù)據(jù)范圍保證了結(jié)果不超過(guò) 32 位 
const int N = 32;
int num[N];

// 高精度乘冪運(yùn)算
void getHighPrecision(int base, int power)
{
    // 初始化存放運(yùn)算結(jié)果的數(shù)組 
    memset(num, 0, sizeof(num));
    // 給數(shù)組賦初值 
    num[0] = base;
    // 執(zhí)行乘冪運(yùn)算 
    while(--power){
        // 將數(shù)組中的每個(gè)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算 
        for(int i=0; i<N; i++)
            num[i] *= base;
        // 對(duì)數(shù)組執(zhí)行進(jìn)位處理
        for(int i=0; i<N; i++){
            num[i+1] += num[i] / 10;
            num[i] %= 10;
        }
    }
}

// 輸出高精度運(yùn)算后的大數(shù)
void printBigData()
{
    // 從最高位向后掃描，直到第 1 個(gè)非 0 數(shù)字出現(xiàn) 
    int p = N-1;
    while(num[p] == 0) p--;
    while(p > -1) cout<<num[p--];
    cout<<"\n";
} 

int main( )
{
    // 獲取輸入 
    int n;
    cin>>n;
    // 執(zhí)行乘冪的高精度運(yùn)算
    getHighPrecision(2, n);
    // 輸出 
    printBigData();
    return 0;
}

END

到了這里，關(guān)于【馬蹄集】第二十四周——高精度計(jì)算專題的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！

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C語(yǔ)言加減乘除模的高精度計(jì)算（超詳細(xì)）
目錄高精度加法高精度乘法高精度減法 ? ? ? ? ?高精度除法高精度模法 ? 高精度計(jì)算是模擬算法的一種，通過(guò)字符串和整型數(shù)組的使用，將加減乘除的豎式運(yùn)算模擬出來(lái)，達(dá)到計(jì)算的目的。其步驟大致分為：一，將字符串?dāng)?shù)據(jù)存到整型數(shù)組中，二，模擬算法，不同的
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【計(jì)算機(jī)視覺(jué)】不僅能分割一切簡(jiǎn)單物體，而且還能高精度分割一切復(fù)雜物體的SAM升級(jí)版本HQ-SAM來(lái)了
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