李代數(shù)的引出：
在優(yōu)化問題中去解一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，可能會有一些阻礙，因?yàn)樗鼘臃▽?dǎo)數(shù)不是很友好（旋轉(zhuǎn)矩陣加上一個(gè)微小偏移量可能就不是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣），因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣本身還有一些約束條件，那樣再求導(dǎo)的過程中可能會破壞要優(yōu)化的矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣的本質(zhì)條件，所以這里引入了一個(gè)乘法導(dǎo)數(shù)，即本章提到的左擾動(dòng)或右擾動(dòng)。
參考文獻(xiàn)：https://www.cnblogs.com/dzyBK/p上/13961868.html
上一章我們知道旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成了特殊正交群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)，變換矩陣構(gòu)成了特殊歐式群 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)。
群的引出：
這里我們簡單敘述不做深入討論。群是一種集合加上一種運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而李群是一種群，李群是指具有連續(xù)（光滑）性質(zhì)的群，例如特殊正交群
S
O
(
3
)
SO(3)
SO(3)和特殊歐式群
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)，每個(gè)李群都有對應(yīng)的李代數(shù)。
李代數(shù)的引出：
這里我們簡單敘述不做深入討論。李代數(shù)反應(yīng)了李群的導(dǎo)數(shù)（局部）性質(zhì)，在李群的正切空間上。而李群通過對數(shù)映射到李代數(shù)，李代數(shù)通過指數(shù)映射到李群。
經(jīng)過推導(dǎo)，旋轉(zhuǎn)矩陣對應(yīng)的李代數(shù)就是旋轉(zhuǎn)向量（3維）。變換矩陣對應(yīng)的李代數(shù)是6維向量，平移在前，旋轉(zhuǎn)在后。
使用李代數(shù)的一大動(dòng)機(jī)是進(jìn)行優(yōu)化，而在優(yōu)化過程中導(dǎo)數(shù)是非常必要的信息。
Baker-Campbell-Hausdorff公式的引出
l
n
(
e
x
p
(
?
1
∧
)
e
x
p
(
?
2
∧
)
)
≈
{
J
l
(
?
2
)
?
1
?
1
+
?
2
,
if?
?
1
?is?small
J
r
(
?
1
)
?
1
?
2
+
?
1
,
if?
?
2
?is?small
ln(exp(\phi_1^{\wedge})exp(\phi_2^{\wedge})) \approx \begin{cases} J_l(\phi_2)^{-1}\phi_1+\phi_2, & \text{if $\phi_1$ is small} \\[2ex] J_r(\phi_1)^{-1}\phi_2+\phi_1, & \text{if $\phi_2$ is small} \end{cases}
ln(exp(?1∧?)exp(?2∧?))≈?
?
??Jl?(?2?)?1?1?+?2?,Jr?(?1?)?1?2?+?1?,?if??1??is?smallif??2??is?small?
BCH公式可以告訴我們當(dāng)李代數(shù)發(fā)生了小量變化，旋轉(zhuǎn)矩陣對應(yīng)的變化，有利于計(jì)算出李代數(shù)導(dǎo)數(shù)，然而這個(gè)公式并不是萬能的，用BCH線性近似來對李代數(shù)求導(dǎo)仍然有比較復(fù)雜的
J
r
J_r
Jr?,
所以下面我們使用擾動(dòng)模型來對李代數(shù)求導(dǎo)，推導(dǎo)如下：
?
(
R
p
)
?
φ
=
lim
?
φ
→
0
e
x
p
(
φ
∧
)
e
x
p
(
?
∧
)
p
?
e
x
p
(
?
∧
)
p
φ
≈
lim
?
φ
→
0
(
1
+
φ
∧
)
e
x
p
(
?
∧
)
p
?
e
x
p
(
?
∧
)
p
φ
=
lim
?
φ
→
0
φ
∧
R
p
φ
=
lim
?
φ
→
0
?
(
R
p
)
∧
φ
φ
=
?
(
R
p
)
∧
\dfrac{\partial(Rp)}{\partial\varphi} = \lim_{\varphi \to 0} \frac{exp(\varphi^{\wedge})exp(\phi^{\wedge})p-exp(\phi^{\wedge})p}{\varphi} \\ \approx \lim_{\varphi \to 0} \frac{(1+\varphi^{\wedge})exp(\phi^{\wedge})p-exp(\phi^{\wedge})p}{\varphi} \\ = \lim_{\varphi \to 0} \frac{\varphi^{\wedge}Rp}{\varphi} = \lim_{\varphi \to 0} \frac{-(Rp)^{\wedge}\varphi}{\varphi}=-(Rp)^{\wedge}
?φ?(Rp)?=φ→0lim?φexp(φ∧)exp(?∧)p?exp(?∧)p?≈φ→0lim?φ(1+φ∧)exp(?∧)p?exp(?∧)p?=φ→0lim?φφ∧Rp?=φ→0lim?φ?(Rp)∧φ?=?(Rp)∧
第2行使用到
e
x
e^x
ex的泰勒展開公式。
第3行使用到了公式
a
∧
b
=
?
b
∧
a
a^{\wedge}b=-b^{\wedge}a
a∧b=?b∧a
同理， S E ( 3 ) SE(3) SE(3)上也有對應(yīng)的擾動(dòng)求導(dǎo)公式，這里不展開敘述了。
相似變換群與李代數(shù)（單目視覺）
由于單目的尺度不確定性，如果在單目SLAM中使用SE（3）表示位姿，那么由于尺度不確定性與尺度漂移，整個(gè)SLAM過程中的尺度會發(fā)生變化，這在
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)中未能體現(xiàn)出來。因此，在單目情況下一般會顯示地把尺度因子表達(dá)出來。用數(shù)學(xué)語言來說，對于位于空間的點(diǎn)p，在相機(jī)坐標(biāo)系下要經(jīng)過一個(gè)相似變換，而非歐式變換。
與SO(3)與SE(3)相似，相似變換亦對矩陣乘法構(gòu)成群，稱為相似變換群Sim(3)。
Sim(3)也有對應(yīng)的李代數(shù)sim(3)，他是一個(gè)7維向量
ζ
\zeta
ζ，它的前6維與se(3)相同，最后多了一項(xiàng)
σ
\sigma
σ。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-682887.html
寫到最后，這一章偏理論，實(shí)際在寫代碼的時(shí)候我們會用ceses、g2o等庫很方便直接計(jì)算出優(yōu)化后的位姿。所以并不需要自己手動(dòng)給出李代數(shù)的導(dǎo)數(shù)。有的話后續(xù)再分解。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-682887.html
到了這里，關(guān)于視覺SLAM14講筆記-第4講-李群與李代數(shù)的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
