?劍指 Offer 51. 數(shù)組中的逆序對

難度：困難

在數(shù)組中的兩個數(shù)字，如果前面一個數(shù)字大于后面的數(shù)字，則這兩個數(shù)字組成一個逆序對。輸入一個數(shù)組，求出這個數(shù)組中的逆序對的總數(shù)。

示例 1:

輸入: [7,5,6,4]
輸出: 5

限制：

• 0 <= 數(shù)組長度 <= 50000

??思路：歸并排序

預備知識

「歸并排序」是用分治思想，分治模式在每一層遞歸上有三個步驟：

1. 分解（Divide）：將 n 個元素分成個含 n/2 個元素的子序列。
2. 解決（Conquer）：用 合并排序法 對兩個子序列遞歸的排序。
3. 合并（Combine）：合并兩個已排序的子序列已得到排序結果。

具體的我們以一組無序數(shù)列｛14，12，15，13，11，16｝為例分解說明，如下圖所示：

在待排序序列長度為 1 的時候，遞歸開始「回升」，因為我們默認長度為 1 的序列是排好序的。

具體思路：

那么求逆序對和歸并排序又有什么關系呢？關鍵就在于「歸并」當中「并」的過程。

合并階段 本質上是 合并兩個排序數(shù)組 的過程：

• 每當遇到 左子數(shù)組當前元素 > 右子數(shù)組當前元素 時，意味著
  • 「左子數(shù)組當前元素i 至 末尾元素m」 與 「右子數(shù)組當前元素」 構成了若干 「逆序對」 ;
  • 逆序對數(shù) cnts += (m - i + 1) 。
• 考慮在歸并排序的合并階段統(tǒng)計「逆序對」數(shù)量，完成歸并排序時，也隨之完成所有逆序對的統(tǒng)計。

??代碼：(C++、Java)

C++

class Solution {
private:
    int cnts = 0;
    void mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解決 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此時i~m對應數(shù)組中的數(shù)都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        vector<int> tmp(nums.size());//輔助數(shù)組，臨時記錄中間合并的子數(shù)組
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.size() - 1);
        return cnts;
    }
};

Java

class Solution {
    private int cnts = 0;
    private void mergeSort(int[] nums, int[] tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解決 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此時i~m對應數(shù)組中的數(shù)都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
    public int reversePairs(int[] nums) {
        int[] tmp = new int[nums.length];//輔助數(shù)組，臨時記錄中間合并的子數(shù)組
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.length - 1);
        return cnts;
    }
}

?? 運行結果：

?? 復雜度分析：

• 時間復雜度：$O(nlogn)$，其中 n 為數(shù)組的長度，同歸并排序 $O(nlogn)$。
• 空間復雜度：$O(n)$，歸并排序需要用到一個臨時數(shù)組。

題目來源：力扣。

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注： 如有不足，歡迎指正！

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