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數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。

2年前作者：java馮堅(jiān)持分類(lèi)：Toy博客閱讀(94)違法舉報(bào)

這篇具有很好參考價(jià)值的文章主要介紹了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。。希望對(duì)大家有所幫助。如果存在錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，請(qǐng)大家不吝賜教，您也可以點(diǎn)擊"舉報(bào)違法"按鈕提交疑問(wèn)。

前言

最短路徑的算法有兩個(gè)，Dijkstra算法和 Floyd算法。
Dijkstra算法解決的是 單源最短路徑問(wèn)題。
Floyd算法解決的是 多源最短路徑問(wèn)題，并且可以處理負(fù)權(quán)圖。
今天要講的就是Dijkstra算法。
加：feng--Insist(大寫(xiě)的i)，進(jìn)java交流群討論互聯(lián)網(wǎng)+技術(shù)。可索要PPT等資料。
其他資料，建議先看本篇博客。：Dijkstra算法和Floyd算法：https://blog.csdn.net/weixin_43872728/article/details/100662957
代碼位置：https://github.com/fengfanli/dataStructuresAndAlgorithm/tree/master/src/com/feng/algorithm/self_learn

一、單源最短路徑

1、單源最短路徑問(wèn)題

解決的問(wèn)題: 求解單源最短路徑,即各個(gè)節(jié)點(diǎn)到達(dá)源點(diǎn)的最短路徑或權(quán)值。如下圖中

考察其他所有節(jié)點(diǎn)到源點(diǎn)的最短路徑和長(zhǎng)度
局限性: 無(wú)法解決權(quán)值為負(fù)數(shù)的情況
資料
- 可先看匹配視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1o44y1B7NM/
- 代碼：待上傳。

2、Dijkstra 初始化

首先已知的是：
給定 鄰接矩陣表示的圖Graph、源點(diǎn)S、終點(diǎn)T。

a、參數(shù)

參數(shù):

參數(shù)名	解釋
S	記錄當(dāng)前已經(jīng)處理過(guò)的源點(diǎn)到最短節(jié)點(diǎn)
U	記錄還未處理的節(jié)點(diǎn)
dist[]	記錄各個(gè)節(jié)點(diǎn)到起始節(jié)點(diǎn)的最短權(quán)值
path[]	記錄各個(gè)節(jié)點(diǎn)的上一級(jí)節(jié)點(diǎn)(用來(lái)聯(lián)系該節(jié)點(diǎn)到起始節(jié)點(diǎn)的路徑)

b、初始化參數(shù)

頂點(diǎn)集S: 節(jié)點(diǎn)A到自已的最短路徑長(zhǎng)度為0。只包含源點(diǎn)，即S={A}，代碼中沒(méi)有這個(gè)，這里是為了步驟清晰而設(shè)置的。
頂點(diǎn)集U: 包含除A外的其他頂點(diǎn). 即U={B,C,D,E,F,G}
dist[]: 源點(diǎn)還不能到達(dá)的節(jié)點(diǎn),其權(quán)值為∞

名	A	B	C	D	E	F	G
dist[]:	0	1	2	3	4	5	6
初始化值:	0	4	6	6	∞	∞	∞

path[]: 記錄當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的前驅(qū)節(jié)點(diǎn)下標(biāo)(源點(diǎn)還不能到達(dá)的節(jié)點(diǎn)為-1)

名	A	B	C	D	E	F	G
path[]:	0	1	2	3	4	5	6
初始化值:	0	0	0	0	-1	-1	-1

c、算法步驟

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

初始化：設(shè)定除源節(jié)點(diǎn)以外的其它所有節(jié)點(diǎn)到源節(jié)點(diǎn)的距離為INFINITE(一個(gè)很大的數(shù))，且這些節(jié)點(diǎn)都沒(méi)被處理過(guò)。如上圖所示
從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)，更新相鄰節(jié)點(diǎn)(圖中為B、C、D)到源節(jié)點(diǎn)的距離。然后在所有節(jié)點(diǎn)中選擇一個(gè)最段距離的點(diǎn)作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)。
標(biāo)記當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為done(表示已經(jīng)被處理過(guò))，與步驟2類(lèi)似，更新其相鄰節(jié)點(diǎn)的距離。(這些相鄰節(jié)點(diǎn)的距離更新也叫 松弛，目的是讓它們與源節(jié)點(diǎn)的距離最小。因?yàn)槟闶窃诋?dāng)前最小距離的基礎(chǔ)上進(jìn)行更新的，由于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到源節(jié)點(diǎn)的距離已經(jīng)是最小的了，那么如果這些節(jié)點(diǎn)之前得到的距離比這個(gè)距離大的話(huà)，我們就更新它)。
步驟3做完以后，設(shè)置這個(gè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)已被done，然后尋找下一個(gè)具有最小代價(jià)(cost)的點(diǎn)，作為新的當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，重復(fù)步驟3.
如果最后檢測(cè)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)時(shí)，其周?chē)械墓?jié)點(diǎn)都已被處理，那么目標(biāo)節(jié)點(diǎn)與源節(jié)點(diǎn)的距離就是最小距離了。如果想看這個(gè)最小距離所經(jīng)過(guò)的路徑，可以回溯，前提是你在步驟3里面加入了當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)路徑前驅(qū)節(jié)點(diǎn)信息。

我總結(jié)了下可用如下幾句話(huà)代替：
兩步走
1. 從dist[]中在集合U中的選擇最小距離加入到S中，作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)。(最小距離：就是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到源點(diǎn)的最小距離)
2. 遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的鄰邊節(jié)點(diǎn)：更新dist[]和path[]
  - 如果經(jīng)過(guò)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)+鄰邊權(quán)重 < 鄰邊節(jié)點(diǎn)，則改變dist[]和path[]，否者不改變。

3、Dijkstra 算法詳細(xì)步驟

a、第一輪算法執(zhí)行

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是4，也就是節(jié)點(diǎn)B，所以將B納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)B，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其鄰邊有C和E，所以看是否要更新C和E。
- 節(jié)點(diǎn)C：因?yàn)?code>C的最小距離dist[1](B的最小距離)4+1(B到C的距離)=5 < dist[2](C的最小距離) = 6，所以 dist[2]=5，path[2]=1
- 節(jié)點(diǎn)E：因?yàn)?code>E的最小距離 dist[1](B的最小距離)4+7(B到E的距離)=11 < dist[4] (E的最小距離)=無(wú)窮大，所以 dist[4]=11,path[4]=1
第一輪算法兩個(gè)鄰邊節(jié)點(diǎn)C、E有改變

b、第二輪算法執(zhí)行

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是5，也就是節(jié)點(diǎn)C，所以將C納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)C，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其鄰邊有E和F，所以看是否要更新E和F。
- 節(jié)點(diǎn)E：因?yàn)?code>C的最小距離 dist[2](也就是C的最小距離)5+6(C到E的距離)=11 == dist[4](E的最小距離) = 11，所以不動(dòng)
- 節(jié)點(diǎn)F：因?yàn)?code>F的最小距離 dist[2](也就是C的最小距離)5+4(C到F的距離)=9 < dist[5] (F的最小距離)=無(wú)窮大，所以 dist[5]=9,path[5]=2
第二輪算法兩個(gè)鄰邊節(jié)點(diǎn)僅有 F有改變

c、第三輪算法執(zhí)行

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如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是6，也就是節(jié)點(diǎn)D，所以將D納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)D，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其鄰邊有C和F，所以看是否要更新C和F。
節(jié)點(diǎn)C：因?yàn)?code>C的最小距離 dist[3](也就是D的最小距離)6+2(D到C的距離)=8 > dist[2](C的最小距離) = 5 ，所以不動(dòng)
節(jié)點(diǎn)F：因?yàn)?code>F的最小距離 dist[3](也就是D的最小距離)6+5(D到F的距離)=11 > dist[5] (F的最小距離)=9，所以不動(dòng)
第三輪算法兩個(gè)鄰邊節(jié)點(diǎn)C、F都沒(méi)有改變

d、第四輪算法執(zhí)行

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是9，也就是節(jié)點(diǎn)F，所以將F納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)F，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其鄰邊有E和G，所以看是否要更新E和G 。
節(jié)點(diǎn)E：因?yàn)?code>E的最小距離 dist[5](也就是F的最小距離) 9 +1(F到E的距離)=10 < dist[4](E的最小距離) =11，所以 dist[4] = 10,path[4]=5
節(jié)點(diǎn)G：因?yàn)?code>G的最小距離 dist[5](也就是F的最小距離) 9 +8(F到G的距離)=17 < dist[6](G的最小距離) =無(wú)窮大，所以 dist[6]=17,path[6]=5
第四輪算法兩個(gè)鄰邊節(jié)點(diǎn)E、G都有改變

e、第五輪算法執(zhí)行

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是9，也就是節(jié)點(diǎn)F，所以將F納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)E，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其鄰邊有G，所以看是否要更新G 。
節(jié)點(diǎn)G：因?yàn)?code>G的最小距離 dist[4](也就是E的最小距離) 10 +6(E到G的距離)=16 < dist[6](G的最小距離) =17，所以 dist[6]=16,path[6]=4
第五輪算法鄰邊 節(jié)點(diǎn)G有改變

f、第六輪算法執(zhí)行

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法,算法,java,開(kāi)發(fā)語(yǔ)言

如上圖，因?yàn)閐ist[]中排出掉集合U中節(jié)點(diǎn)，最小值是16，也就是節(jié)點(diǎn)G，所以將G納入到集合S中（圈中）。
首先在dist[]數(shù)組中并在集合U中 最小值是節(jié)點(diǎn)G，既當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，其沒(méi)有鄰邊。
第六輪算法鄰邊節(jié)點(diǎn)G沒(méi)有改變
到此算法遍歷結(jié)束

4、java算法實(shí)現(xiàn)

給定矩陣表示的Graph結(jié)構(gòu)。輸入源點(diǎn)v0和終點(diǎn)v1。

二、多源最短路徑

1、多源最短路徑問(wèn)題

上面的Dijkstra 解決的是單源最短路徑的問(wèn)題，首先要給定開(kāi)始節(jié)點(diǎn)和終止結(jié)點(diǎn)，如果換了開(kāi)始和終止節(jié)點(diǎn)，那就要每次都要重新跑一次。
那就引出了多源最短路徑問(wèn)題：就是執(zhí)行一次算法，求出每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的最短距離，這就是多源最短路徑算法。這個(gè)算法代碼略簡(jiǎn)單一些。
思想只有一個(gè)：要算兩個(gè)點(diǎn)之間的最短距離，就看有沒(méi)有第三個(gè)點(diǎn)使得

2、Floyd初始化

首先已知的是：
給定 **鄰接矩陣表示的圖Graph。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-672285.html

a、參數(shù)

參數(shù)名	解釋
A[][]	函數(shù)中的參數(shù)，需要返回，存儲(chǔ)的是節(jié)點(diǎn)的前置節(jié)點(diǎn)。
path[][]	存儲(chǔ)的是每?jī)牲c(diǎn)之間的所需距離。

b、參數(shù)初始化

參數(shù)名	解釋
A[][]	就是圖的賦值，從代碼中可以看出，比較簡(jiǎn)單
path[][]	默認(rèn)都是-1.表示從A點(diǎn)到B點(diǎn)是直達(dá)的。

c、算法步驟

對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)v（體現(xiàn)在代碼的第一層for循環(huán)），和任意一頂點(diǎn)（i,j）(體現(xiàn)代碼的第二、三層循環(huán)),切 i!=j、v!=i、v!=j。
如果A[i][j] > A[i][v] + A[]v[j]，則將A[i][j] 更新為 A[i][v] + A[v][j] 的值，并且將path[i][j]改為v。

3、Floyd算法詳細(xì)步驟

4、java 算法實(shí)現(xiàn)

package com.feng.algorithm.self_learn.floyd.floyd1;

/**
 * 學(xué)習(xí)視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1LE411R7CS
 */
public class FloydAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] graph = new int[4][4];
        int N = Short.MAX_VALUE;
        graph[0] = new int[]{0, 5, N, 7};
        graph[1] = new int[]{N, 0, 4, 2};
        graph[2] = new int[]{3, 3, 0, 2};
        graph[3] = new int[]{N, N, 1, 0};

        int[][] path = new int[4][4];
        int[][] A = Floyd.floyd(graph, path);
        int u = 1;
        int v = 0;
        Floyd.printPath(u, v, path);
        System.out.println();
        System.out.println(u + "->" + v +" shortest path is :" + A[u][v]);
    }
}
class Floyd {

    /**
     * 佛洛依德算法，給定鄰接矩陣表示的圖，
     * path[][]:存放路徑中間的節(jié)點(diǎn)，如果是-1就是直達(dá)
     * A[][]:存放任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離
     * 舉例：從1-0，從A得出距離是6，從path得出 1-3-2-0
     * @param graph
     * @param path
     */
    static int[][] floyd(int[][] graph, int[][] path) {
        int n = graph.length;
        int v, i, j;
        int[][] A = new int[n][n];
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {
                A[i][j] = graph[i][j];
                path[i][j] = -1;
            }
        }

        for (v = 0; v < n; v++) {
            for (i = 0; i < n; i++) {
                for (j = 0; j < n; j++) {
                    if (A[i][j] > A[i][v] + A[v][j]) {
                        A[i][j] = A[i][v] + A[v][j];
                        path[i][j] = v;
                    }
                }
            }
        }
        return A;
    }

    /**
     * 遞歸打印路徑
     * @param u
     * @param v
     * @param path
     */
    static void printPath(int u, int v, int[][] path) {
        if (path[u][v] == -1) { // 如果等于 -1 。說(shuō)明就是直達(dá)的
            System.out.printf(u + "->" + v + " ");
        } else {
            int mid = path[u][v];
            printPath(u, mid, path);
            printPath(mid, v, path);
        }
    }
}

到了這里，關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法細(xì)節(jié)篇之最短路徑問(wèn)題：Dijkstra和Floyd算法詳細(xì)描述，java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！

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2024年02月11日
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數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)記錄——圖-最短路徑問(wèn)題（無(wú)權(quán)圖單源最短路徑算法、有權(quán)圖單源最短路徑算法、多源最短路徑算法、Dijkstra（迪杰斯特拉）算法、Floyd算法）
目錄問(wèn)題分類(lèi)? 無(wú)權(quán)圖單源最短路徑算法思路偽代碼時(shí)間復(fù)雜度代碼實(shí)現(xiàn)（C語(yǔ)言）有權(quán)圖單源最短路徑算法 Dijkstra（迪杰斯特拉）算法偽代碼? 時(shí)間復(fù)雜度? 代碼實(shí)現(xiàn)（C語(yǔ)言）多源最短路徑算法兩種方法 Floyd算法代碼實(shí)現(xiàn)（C語(yǔ)言）最短路徑問(wèn)題的抽象在網(wǎng)絡(luò)中，求
2024年02月08日
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數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法 —— 最短路徑Dijkstra算法（迪杰斯特拉）詳細(xì)圖解以及python實(shí)現(xiàn)
目錄前言 1. 介紹 2. 加權(quán)圖 2.1 概念 3. 最短路徑 -- Dijkstra 算法 3.1 歷史 3.2 Dijkstra 算法的基本思路 3.3?Dijkstra 算法圖解 4.? python中dijkstra算法的實(shí)現(xiàn) 5. 總結(jié)? 前兩章我們講到了關(guān)于圖的基本知識(shí)，和廣度/深度優(yōu)先搜索。本章，我們將介紹加權(quán)圖和最短路徑的相關(guān)知識(shí)。最
2024年02月12日
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數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（12）Dijkstra算法JAVA版：圖的最短路徑問(wèn)題
目錄 12.1.概述 12.1.1.無(wú)權(quán)圖的最短路徑 ?12.1.2.帶權(quán)圖的最短路徑 1.單源最短路徑 2.多源最短路徑 12.2.代碼實(shí)現(xiàn) 無(wú)權(quán)圖的最短路徑，即最少步數(shù)，使用BFS+貪心算法來(lái)求解最短路徑，比較好實(shí)現(xiàn)，此處不做展開(kāi)討論。有權(quán)圖的最短路徑，不考慮權(quán)重為負(fù)數(shù)的情況，因?yàn)闄?quán)重為負(fù)
2024年02月06日
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C語(yǔ)言算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，旅游景區(qū)地圖求最短路徑
本次作業(yè)要求完成一個(gè)編程項(xiàng)目。請(qǐng)?zhí)摌?gòu)一張旅游景區(qū)地圖，景區(qū)地圖包括景點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）和道路（邊）：地圖上用字母標(biāo)注出一些點(diǎn)，表示景點(diǎn)（比如，以點(diǎn) A、B、C、D、E、F等（至少6個(gè)點(diǎn)）多個(gè)表示，其中的兩個(gè)字母 A 和 B 分別表示景區(qū)的入口和出口）；點(diǎn)與點(diǎn)之間的連
2024年02月04日
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C++ | 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法 | 單源最短路徑 | Dijkstra && Bellman Ford
（關(guān)于代碼實(shí)現(xiàn)的圖結(jié)構(gòu)，可以看圖結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)這篇文章） Dijkstra的實(shí)現(xiàn)與Prim的實(shí)現(xiàn)相似，兩者都是通過(guò)貪心思想實(shí)現(xiàn)，它們有什么不同呢？首先Prim算法是針對(duì)無(wú)向圖的最小生成樹(shù)的，而Dijkstra算法是針對(duì) 有向圖的最短路徑生成。一個(gè)的目的是連接圖中的所有頂點(diǎn)，生成一
2024年02月03日
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【數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】最短路徑算法實(shí)現(xiàn)（Dijkstra（迪克斯特拉），F(xiàn)loydWarshall（弗洛伊德））
最短路徑問(wèn)題：從在帶權(quán)有向圖G中的某一頂點(diǎn)出發(fā)，找出一條通往另一頂點(diǎn)的最短路徑，最短也就是沿路徑各邊的權(quán)值總和達(dá)到最小。單源最短路徑問(wèn)題：給定一個(gè)圖G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源結(jié)點(diǎn)s ∈ V s∈Vs∈V到圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)v ∈ V v∈Vv∈V的最短路徑針對(duì)一個(gè)帶權(quán)
2024年02月04日
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【數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法】如何對(duì)快速排序進(jìn)行細(xì)節(jié)優(yōu)化以及實(shí)現(xiàn)非遞歸版本的快速排序？
君兮_的個(gè)人主頁(yè) 即使走的再遠(yuǎn)，也勿忘啟程時(shí)的初心 C/C++ 游戲開(kāi)發(fā) Hello,米娜桑們，這里是君兮_，國(guó)慶長(zhǎng)假結(jié)束了，無(wú)論是工作還是學(xué)習(xí)都該回到正軌上來(lái)了，從今天開(kāi)始恢復(fù)正常的更新頻率，今天為大家?guī)?lái)的內(nèi)容是快速排序的兩大優(yōu)化和非遞歸實(shí)現(xiàn) 好了廢話(huà)不多說(shuō)，開(kāi)
2024年02月08日
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