本文編輯：調(diào)皮哥的小助理

【正文】

首先說(shuō)結(jié)論：

當(dāng)信噪比（SNR）足夠大時(shí)，Capon算法和MUSIC算法的空間譜非常相似，因此在SNR比較大時(shí)它們的性能幾乎一樣，當(dāng)不同信號(hào)源的入射角度比較接近時(shí)，MUSIC算法的性能優(yōu)于Capon，這也是MUSIC算法（或者說(shuō)子空間類算法）被稱為高分辨率算法的原因。

原文：On one hand, if the SNR is large enough, the spectrums of Capon and MUSIC are approximately the same, and hence their performances may be similar. On the other hand, MUSIC algorithm performs better than Capon algorithm when the separation angle of sources is quite small, and this is why MUSIC (or saying subspace-based methods) is called as high-resolution algorithm.

這個(gè)結(jié)論要記住，記得這個(gè)問(wèn)題之前找工作被面試官問(wèn)過(guò)。

下面我們會(huì)用論文《The Difference Between Capon and MUSIC Algorithm》中的內(nèi)容論述這個(gè)結(jié)論，并給出仿真示例。

1、Capon算法原理

Capon是一位科學(xué)家的名字，因?yàn)樗岢隽薈apon這種算法，是以他的名字來(lái)命名的。我們將數(shù)據(jù)模型考慮為：

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t)$（1）

其中，x(t)是觀測(cè)數(shù)據(jù)向量，A是陣列信號(hào)處理中所謂的導(dǎo)向矩陣，s(t)和n(t)分別代表信號(hào)和噪聲向量，t表示時(shí)間索引。將一個(gè)權(quán)重向量w放到觀察向量x(t)上，我們得到的輸出為：

$y(t)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(t)$（2）

因此，陣列輸出的功率可以公式化如下：

$R_y=\mathrm{E}\left\{|y(t){|}^2\right\}={\mathbf{w}}^H{\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}\mathbf{w}$（3）

其中E{·}和·H分別表示數(shù)學(xué)期望和埃爾米特轉(zhuǎn)置。此外，${\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}=\mathrm{E}\left\{\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^H(t)\right\}$ 是觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。Capon算法[1]可以描述為：最小化輸出功率，同時(shí)保持視線方向的單位增益，其公式如下:

$\begin{array}{rl}& \underset{\mathbf{w}}{\min }{\mathbf{w}}^H{\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}\mathbf{w}\\ & \text{?subject?to?}{\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta )=1.\end{array}$

我的理解，這里其實(shí)類似于波束形成（本質(zhì)上就是），保持視線方向的單位增益就是波束形成后的最大增益方向。上述公式可使用拉格朗日乘數(shù)法求解，其解為：

${\mathbf{w}}_{Lag}=\frac{{\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}^{?1}\mathbf{a}(\theta )}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}^{?1}\mathbf{a}(\theta )}$（4）

將上式代入方程（3），可以得到與方向相關(guān)的輸出功率，如 ：

$P_{\text{Capon?}}(\theta )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}^{?1}\mathbf{a}(\theta )}$（5）

經(jīng)過(guò)角度搜索，即可得到Capon算法的測(cè)角結(jié)果。

2、MUSIC算法原理

MUSIC是多重信號(hào)分類的英文縮寫(xiě)(MUltiple SIgnal Classification)，信號(hào)模型如前所述，一旦我們得到觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣Rx，我們就對(duì)其進(jìn)行特征值分解，并獲得信號(hào)和噪聲分量，如下：

$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}& ={\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{s}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{}^H+{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{n}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\\ & =\sum {\sigma }_s{\mathbf{u}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{s}}{}^H+\sum {\sigma }_n{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}{}^H\end{array}$（6）

根據(jù)信號(hào)和噪聲子空間之間的正交性[2]，我們可以如下形成MUSIC空間譜 ：

$P_{\text{MUSIC?}}(\theta )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\mathbf{a}(\theta )}$（7）

3、算法比較與分析

很容易發(fā)現(xiàn)方程式（5）中的 $R_x^{?1}$ 可以寫(xiě)成：

$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathbf{x}}^{?1}& ={\left({\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{s}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{}^H+{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{n}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\right)}^{?1}\\ & ={\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{s}}{}^{?1}{\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}{}^H+{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{n}}{}^{?1}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\\ & =\sum \frac{1}{{\sigma }_s}{\mathbf{u}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{s}}{}^H+\sum \frac{1}{{\sigma }_n}{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}{}^H\end{array}$

即等于“信號(hào)”項(xiàng)+“噪聲”項(xiàng)。當(dāng)SNR足夠大，即σs/σn足夠大，則噪聲項(xiàng)可以被忽略不計(jì)。上述公式（5）可以被近似改寫(xiě)為：

$P_{\text{Capon?}}(\theta )?\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{n}}{}^{?1}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\mathbf{a}(\theta )}$

因?yàn)榍蠛头?hào)并不改變頻譜， 則存在：

$P_{\text{Capon?}}(\theta )?\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}{}^H\mathbf{a}(\theta )}=P_{\text{MUSIC?}}(\theta )$

即Caopn算法的性能近似等于MUSIC算法的性能，這是由數(shù)學(xué)上得到證明的。因此，我們得出的結(jié)論是：如果SNR足夠大，Capon和MUSIC的頻譜大致相同，因此它們的性能可能相似。

兩種算法在10°和20°的DOA RMSE與SNR的關(guān)系：

兩種算法在SNR=10dB時(shí)，Capon和MUSIC算法的目標(biāo)分離角度與DOA RMSE的關(guān)系：

4、MATLAB仿真

設(shè)置陣元數(shù)為10，陣元間隔為半波長(zhǎng)，信源數(shù)為3(-10度,0度,20度)，快拍數(shù)為1024，下圖為估計(jì)得到的信號(hào)譜，低信噪比設(shè)置為-8dB，高信噪比設(shè)置為10dB。

低信噪比：

高信噪比：

從上圖可以看出，在信噪比較低時(shí)兩種估計(jì)算法性能都急劇下降，但是MUSIC算法略優(yōu)于Capon，而當(dāng)信噪比較大時(shí)，兩種算法基本一致。MUSIC譜峰只反映陣列流形矢量與噪聲子空間的正交性，與信噪比無(wú)關(guān)；Capon譜峰是真正的輸出功率，與信噪比有關(guān)，這就是我前面說(shuō)Capon其實(shí)本質(zhì)上是波束形成。

仿真代碼：

%MUSIC ALOGRITHM
%DOA ESTIMATION BY CLASSICAL_MUSIC
% 運(yùn)行環(huán)境：MATLAB2022b
clear all;
%close all;
clc;
source_number=3;%信元數(shù)
sensor_number=10;%陣元數(shù)
N_x=1024; %信號(hào)長(zhǎng)度
snapshot_number=N_x;%快拍數(shù)
w=[pi/4 pi/6 pi/3].';%信號(hào)頻率
l=sum(2*pi*3e8./w)/3;%信號(hào)波長(zhǎng)  
d=0.5*l;%陣元間距
snr=10;%信噪比

source_doa=[-10 0 20];%兩個(gè)信號(hào)的入射角度

A=[exp(-1j*(0:sensor_number-1)*d*2*pi*sin(source_doa(1)*pi/180)/l);exp(-1j*(0:sensor_number-1)*d*2*pi*sin(source_doa(2)*pi/180)/l);exp(-1j*(0:sensor_number-1)*d*2*pi*sin(source_doa(3)*pi/180)/l)].';%陣列流型

s=sqrt(10.^(snr/10))*exp(1j*w*[0:N_x-1]);%仿真信號(hào)
%x=awgn(s,snr);
x=A*s+(1/sqrt(2))*(randn(sensor_number,N_x)+1j*randn(sensor_number,N_x));%加了高斯白噪聲后的陣列接收信號(hào)

R=x*x'/snapshot_number;
iR=inv(R);
%[V,D]=eig(R);
%Un=V(:,1:sensor_number-source_number);
%Gn=Un*Un';
[U,S,V]=svd(R);
Un=U(:,source_number+1:sensor_number);
Gn=Un*Un';

searching_doa=-90:0.1:90;%線陣的搜索范圍為-90~90度
 for i=1:length(searching_doa)
   a_theta=exp(-1j*(0:sensor_number-1)'*2*pi*d*sin(pi*searching_doa(i)/180)/l);
   Pmusic(i)=a_theta'*a_theta./abs((a_theta)'*Gn*a_theta);
   Pcapon(i)=1./abs((a_theta)'*iR*a_theta);
 end
plot(searching_doa,10*log10(Pmusic),'k-',searching_doa,10*log10(Pcapon),'b--');
%axis([-90 90 -90 15]);
xlabel('DOAs/degree');
ylabel('Normalized Spectrum/dB');
legend('Music Spectrum','Capon Spectrum');
title('Comparation of MUSIC and Capon for DOA Estimation');
grid on;

5、角度分辨率/精度

設(shè)置陣元數(shù)為10，陣元間隔為半波長(zhǎng)，信源數(shù)為3(-0.5°,0°,0.5°)，快拍數(shù)為1024，信噪比設(shè)置為20dB，下圖為估計(jì)得到的信號(hào)譜，為方便觀察進(jìn)行了歸一化。

可以看到這種情況下，MUSIC的分辨率是優(yōu)于Capon法的。具體代碼詳見(jiàn)https://MLiyPUV6F。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-667203.html

到了這里，關(guān)于【精選論文 | Capon算法與MUSIC算法性能的比較與分析】的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！