一、說明
? ? ? ?極點(diǎn)和極線（Pole and polar）對(duì)于幾何學(xué)，是普遍的概念。可能高中就學(xué)過，問題是在雙曲幾何又用到這個(gè)概念，因此，這里再次強(qiáng)調(diào)理解這個(gè)概念?。為后邊學(xué)習(xí)雙曲幾何掃清障礙。
二、基本概念
????????在幾何學(xué)中，極點(diǎn)和極線分別是相對(duì)于給定圓錐截面具有唯一倒數(shù)關(guān)系的點(diǎn)和線。
????????給定圓中的極點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)是將平面中的每個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為它的極線，并將平面中的每條線轉(zhuǎn)換為它的極點(diǎn)。總之，極點(diǎn)和極線是一對(duì)二元關(guān)系?？偸前殡S出現(xiàn)的。
2.1 極點(diǎn)的定義
????????不在二次曲線上的一點(diǎn)P作直線l交二次曲線于M、N兩點(diǎn)，則在L上有且只有一點(diǎn)Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N構(gòu)成一調(diào)和點(diǎn)列）。當(dāng)l繞著P旋轉(zhuǎn)時(shí)，Q的軌跡是一條直線p（或一部分），這條直線p叫做點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的極線，而P叫做p關(guān)于該曲線的極點(diǎn)。
- 如何理解 P、Q、M、N構(gòu)成一調(diào)和點(diǎn)列？ 等價(jià)說法：???????
?PM * QN = MQ * PN （牢記這個(gè)順序）????????以下給出調(diào)和點(diǎn)列的記憶圖：
?
- ?從P做射影點(diǎn)，掃過橢圓后，形成一系列的Q1，Q2，Q3... 這些點(diǎn)軌跡構(gòu)成直線段。這就是極線。
2.2 一般圓錐曲線的極點(diǎn)與極線方程
對(duì)于任意圓錐曲線(圓，橢圓，拋物線，雙曲線)
三、圓的極點(diǎn)和極點(diǎn)
3.1 P在圓外
????????令 P 為圓內(nèi)或圓外的任意一點(diǎn)。畫任何通過 P 的弦 AB 和 CD。如果圓的過P切線的切點(diǎn)S-S‘在 A 和 B 處相交于 Q，則 Q 的軌跡稱為 P 相對(duì)于圓的極線，P 稱為極點(diǎn)，如果切點(diǎn)連線SS‘交圓在C和D處相交于Q'，則直線QQ'就是以P為極點(diǎn)的極線。
????????其中不變的性質(zhì)是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q'D*CP
3.2 極點(diǎn)P在園內(nèi)
????????如果P是極點(diǎn)，并且在單位圓內(nèi)：不失一般性，將P放置在AB直徑上，在P原地旋轉(zhuǎn)后，滑動(dòng)的時(shí)候
??????其中不變的性質(zhì)是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q'D*CP；通過這個(gè)性質(zhì)，可以求出極線的位置：設(shè) P( 0,s )；BQ = x
AQ = 2 + x? ;? ? ? ?BQ = x? ?;? ? ? ?BP = 1-s ;? ? ? ?AP = 1+s
所以：（2+x）*（1-s）= x*（1+s）
最后得出：x = (1-s)/s
極線QQ‘坐標(biāo)為：（1+x，t）或（1/s,t);? ? t是參數(shù)；
四、橢圓的極點(diǎn)和極點(diǎn)
4.1 P是橢圓外的極點(diǎn)
????????設(shè)極點(diǎn)P在橢圓C外側(cè)：P對(duì)應(yīng)的極線方程與?橢圓C'?的兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)際上是從點(diǎn)P?向橢圓 C引出的兩條切線的切點(diǎn)之連線。
同樣有性質(zhì)：CQ *DP=QD*CP
4.2 極點(diǎn)在橢圓內(nèi)部
性質(zhì)1.內(nèi)接四邊形
設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于二次曲線C，則對(duì)角線交點(diǎn)P的極線是兩組對(duì)邊交點(diǎn)的連線。
????????在證明之前，我們先來證明一個(gè)引理.
?????????引理：在完全四邊形ABCDMN中，(C,E,A,M),(D,F,B,M)均為調(diào)和點(diǎn)列。（關(guān)于調(diào)和點(diǎn)列的定義，在上文極線的定義中有說明）
證明：對(duì)于? 及塞瓦點(diǎn)P運(yùn)用塞瓦定理有?
對(duì)于??及截線MBD運(yùn)用梅氏定理有：??
聯(lián)立以上兩式知? 即??
∴ (C,E,A,M)為調(diào)和點(diǎn)列，類似可證明(D,F,B,M)為調(diào)和點(diǎn)列。
?回到原命題
證明：由完全四邊形的調(diào)和性質(zhì)可知(C,E,A,M),(D,F,B,M)調(diào)和，
由極線的幾何定義知點(diǎn)E在點(diǎn)M關(guān)于曲線C的極線上、點(diǎn)F在點(diǎn)M關(guān)于曲線C的極線上
由兩點(diǎn)確定一條直線知，直線EF即為點(diǎn)M的極線，∴點(diǎn)P在點(diǎn)M的極線上
由配極原則知，點(diǎn)M在點(diǎn)P的極線上，同理可知，點(diǎn)N在點(diǎn)P的極線上
∴直線MN即為點(diǎn)P的極線，原命題成立。
五、雙曲的極點(diǎn)和極線
5.1 極點(diǎn)在雙曲外側(cè)
同樣用【4.2 極點(diǎn)在橢圓內(nèi)部】定理進(jìn)行證明
?5.2 極點(diǎn)在雙曲內(nèi)側(cè)
????????則過極點(diǎn)?P?作雙曲線 C的兩條切線，切點(diǎn)正好為?A，B?,極線方程為
?即為切點(diǎn)弦AB的直線方程。
六、極點(diǎn)和極線性質(zhì)
6.1 性質(zhì)如下
???????Pole 和 polar 有幾個(gè)有用的屬性：
- 如果點(diǎn)極點(diǎn) P 位于直線 l 上，則直線 l 的極點(diǎn) L 位于點(diǎn) P 的極線 p 上。
- 如果極點(diǎn)?P 沿直線 l 移動(dòng)，則其極點(diǎn) p 繞直線 l 的極點(diǎn) L 旋轉(zhuǎn)。
- 如果可以從極點(diǎn)到圓錐曲線繪制兩條切線，則其極線通過兩個(gè)切點(diǎn)。
- 如果一點(diǎn)位于圓錐截面上，則其極坐標(biāo)是通過該點(diǎn)到圓錐截面的切線。
- 如果點(diǎn) P 位于它自己的極線上，則 P 在圓錐曲線上。
- 相對(duì)于非退化圓錐截面，每條線恰好有一個(gè)極點(diǎn)。
- 任意兩點(diǎn) P 和 Q 到圓心的距離與彼此到另一極的距離成正比。
6.2 推論
性質(zhì)1.配極原則推論
兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)是這兩點(diǎn)的極線的交點(diǎn)；兩直線交點(diǎn)的極線是這兩直線的極點(diǎn)的連線。
證明：設(shè)有兩點(diǎn)A、B，各自的極線交于C，則根據(jù)配極原則，C在A的極線上?A在C的極線上。同理，B在C的極線上。由兩點(diǎn)確定一條直線可知AB是C的極線，即C是AB的極點(diǎn)。類似可證后者。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-498893.html
從這個(gè)性質(zhì)中可以知道，對(duì)于二次曲線上兩個(gè)點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的極線即這兩點(diǎn)的連線。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-498893.html
到了這里，關(guān)于【雙曲幾何學(xué) 02】什么是極點(diǎn)和極線？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
