前言
動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種解決復(fù)雜問(wèn)題的方法，它將一個(gè)問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，然后從最簡(jiǎn)單的子問(wèn)題開始求解，逐步推導(dǎo)出更復(fù)雜的子問(wèn)題的解，最終得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵是找到子問(wèn)題之間的遞推關(guān)系，以及確定合適的邊界條件和初始值。
數(shù)塔問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，它描述了一個(gè)由數(shù)字組成的三角形結(jié)構(gòu)，要求從頂部開始向下走，每次只能走到相鄰的位置，最終到達(dá)底部，使得經(jīng)過(guò)的數(shù)字之和最大。數(shù)塔問(wèn)題可以用一個(gè)二維數(shù)組來(lái)表示，其中第i行有i個(gè)元素，表示第i層的數(shù)字。例如：
9
12 15
10 6 8
2 18 9 5
16 12 18 10 8
數(shù)塔問(wèn)題的一個(gè)可能的最優(yōu)路徑是：9 -> 15 -> 8 -> 9 -> 18，其和為59。
實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
給出一個(gè)數(shù)塔，從該數(shù)塔的頂層出發(fā)，在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以選擇向左走或向右走，一直走到該數(shù)塔的最底層，找出一條路徑，使得路徑上的數(shù)值和最大，輸出最大數(shù)值及其路徑，輸出時(shí)要求有文字說(shuō)明。請(qǐng)任選一種語(yǔ)言編寫程序?qū)崿F(xiàn)上述算法，并分析其算法復(fù)雜度。
實(shí)驗(yàn)流程
根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)算法偽代碼進(jìn)行算法描述；
利用C++/C/Java等編程語(yǔ)言對(duì)算法偽代碼進(jìn)行工程化實(shí)現(xiàn)；
輸入測(cè)試用例對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證；
列出算法時(shí)間復(fù)雜度模型并與計(jì)算機(jī)運(yùn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)間進(jìn)行對(duì)比分析。
實(shí)驗(yàn)過(guò)程
實(shí)驗(yàn)分析
這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想是將待求解問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，先求解子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題的解得到原問(wèn)題的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃通常需要保存已解決的子問(wèn)題的答案，以避免重復(fù)計(jì)算，節(jié)省時(shí)間。
對(duì)于數(shù)塔問(wèn)題，我們可以從下往上逐層計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)到底層的最大路徑和，并記錄下每個(gè)節(jié)點(diǎn)選擇的方向。最后從頂層開始根據(jù)方向輸出路徑即可。
例如，給定一個(gè)數(shù)塔如下：
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
我們可以用一個(gè)二維數(shù)組a來(lái)存儲(chǔ)數(shù)塔中的數(shù)字，用另一個(gè)二維數(shù)組f來(lái)存儲(chǔ)每個(gè)節(jié)點(diǎn)到底層的最大路徑和，用另一個(gè)二維數(shù)組p來(lái)存儲(chǔ)每個(gè)節(jié)點(diǎn)選擇的方向（0表示左，1表示右）。初始化時(shí)，f的最后一行就是a的最后一行，p可以任意初始化。
然后我們從倒數(shù)第二行開始，逐層向上計(jì)算f和p。對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)a[i][j]，我們比較它下面兩個(gè)節(jié)點(diǎn)f[i+1][j]和f[i+1][j+1]的大小，選擇較大者作為它到底層的最大路徑和，并記錄下選擇的方向。具體地，有如下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j]
p[i][j] = f[i+1][j] > f[i+1][j+1] ? 0 : 1
復(fù)制
當(dāng)我們計(jì)算完所有的f和p后，f[0][0]就是數(shù)塔頂層到底層的最大路徑和。我們可以從頂層開始根據(jù)p輸出路徑。具體地，我們用兩個(gè)變量i和j表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的位置，初始為0和0。然后我們輸出a[i][j]，并根據(jù)p[i][j]更新i和j（如果p[i][j]為0，則i=i+1,j=j；如果p[i][j]為1，則i=i+1,j=j+1）。重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到i等于數(shù)塔的高度。
例如，對(duì)于上面給定的數(shù)塔，計(jì)算完f和p后得到如下結(jié)果：
f:
30
23 21
20 13 10
7 12 10 10
4 5 2 6 5
p:
1
0 1
0 0 0
0 0 0 0
則最大路徑和為30，路徑為7->3->8->7->5。
偽代碼
// Define a constant for the maximum height of the tower
constant MAXN = 100
// Declare a two-dimensional array to store the numbers in the tower
array a[MAXN][MAXN]
// Declare a two-dimensional array to store the maximum path sum from each node to the bottom
array f[MAXN][MAXN]
// Declare a two-dimensional array to store the direction of each node (0 for left, 1 for right)
array p[MAXN][MAXN]
// Define the main program
function main()
// Declare an integer variable to store the height of the tower
integer n
// Input the height from the user
input n
// Input the numbers in the tower from the user
for i from 0 to n-1 // Loop through each row
for j from 0 to i // Loop through each column
input a[i][j]
// Initialize f and p
for j from 0 to n-1 // Loop through the last row
f[n-1][j] = a[n-1][j] // The last row of f is the same as the last row of a
p[n-1][j] = -1 // The last row of p has no direction to choose
// Compute f and p from bottom to top
for i from n-2 to 0 // Loop through each row except the last one in reverse order
for j from 0 to i // Loop through each column
if f[i+1][j] > f[i+1][j+1] // If the left child is larger than the right child
f[i][j] = f[i+1][j] + a[i][j] // Choose the left child as the maximum path sum and add the current node value
p[i][j] = 0 // Record the direction as left
else // Otherwise
f[i][j] = f[i+1][j+1] + a[i][j] // Choose the right child as the maximum path sum and add the current node value
p[i][j] = 1 // Record the direction as right
// Output the maximum path sum and its path
print "最大路徑和為：" + f[0][0] // The maximum path sum is f[0][0]
print "路徑為："
i = 0, j = 0 // The current node position (starting from the top)
while i < n // Loop until reaching the bottom row
print a[i][j] + " " // Output the current node value
if p[i][j] == -1 // If there is no direction to choose, break the loop (reached the bottom row)
break
if p[i][j] == 0 // If the direction is left, update the position to the next row and same column
i = i + 1
else // If the direction is right, update the position to the next row and right column
i = i + 1
j = j + 1
代碼實(shí)現(xiàn)
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define MAXN 100 // 數(shù)塔最大高度
int a[MAXN][MAXN]; // 存儲(chǔ)數(shù)塔中的數(shù)字
int f[MAXN][MAXN]; // 存儲(chǔ)每個(gè)節(jié)點(diǎn)到底層的最大路徑和
int p[MAXN][MAXN]; // 存儲(chǔ)每個(gè)節(jié)點(diǎn)選擇的方向（0表示左，1表示右）
int main() {
int n; // 數(shù)塔高度
scanf("%d", &n); // 輸入高度
// 輸入數(shù)塔中的數(shù)字
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// 初始化f和p
for (int j = 0; j < n; j++) {
f[n-1][j] = a[n-1][j]; // 最后一行就是a的最后一行
p[n-1][j] = -1; // 最后一行沒(méi)有方向可選
}
// 自底向上計(jì)算f和p
for (int i = n-2; i >= 0; i--) { // 倒數(shù)第二行開始往上
for (int j = 0; j <= i; j++) { // 每行有i+1個(gè)節(jié)點(diǎn)
if (f[i+1][j] > f[i+1][j+1]) { // 如果左邊大于右邊
f[i][j] = f[i+1][j] + a[i][j]; // 則選擇左邊作為最大路徑和，并加上當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值
p[i][j] = 0; // 記錄方向?yàn)樽?/span>
} else { // 否則選擇右邊作為最大路徑和，并加上當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值
f[i][j] = f[i+1][j+1] + a[i][j];
p[i][j] = 1; // 記錄方向?yàn)橛?/span>
}
}
}
// 輸出最大路徑和及其路徑
printf("最大路徑和為：%d\n", f[0][0]); // 最大路徑和就是f[0][0]
printf("路徑為：");
int i = 0, j = 0; // 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)位置（從頂層開始）
while (i < n) { // 直到到達(dá)底層結(jié)束循環(huán)
printf("%d ", a[i][j]); // 輸出當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值
if (p[i][j] == -1) break; // 如果沒(méi)有方向可選，則結(jié)束循環(huán)（已經(jīng)到達(dá)底層）
if (p[i][j] == 0) { // 如果方向?yàn)樽?，則更新位置為下一行同一列
i++;
} else { // 如果方向?yàn)橛?，則更新位置為下一行右一列
i++;
j++;
}
}
printf("\n");
return 0;
}
分析算法復(fù)雜度
時(shí)間復(fù)雜度：由于需要遍歷整個(gè)數(shù)塔兩次（一次輸入數(shù)字，一次計(jì)算f和p），所以時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)，其中n為數(shù)塔高度。
空間復(fù)雜度：由于需要使用三個(gè)二維數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)數(shù)字、最大路徑和、方向信息，所以空間復(fù)雜度也為O(n^2)，其中n為數(shù)塔高度。
用例測(cè)試
總結(jié)
本實(shí)驗(yàn)的目的是掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想和方法，以及如何應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決數(shù)塔問(wèn)題。數(shù)塔問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，給定一個(gè)由n層數(shù)字組成的三角形，從頂層出發(fā)，在每一層可以選擇左邊或右邊的數(shù)字，一直走到底層，求出所經(jīng)過(guò)的數(shù)字之和的最大值。本實(shí)驗(yàn)采用自底向上的方法，從底層開始，計(jì)算每個(gè)位置到底層的最大值，并存儲(chǔ)在一個(gè)二維數(shù)組中，最后得到頂層到底層的最大值。本實(shí)驗(yàn)還要求輸出最大值對(duì)應(yīng)的路徑，即所選擇的數(shù)字序列。為了實(shí)現(xiàn)這一功能，需要在計(jì)算過(guò)程中記錄每個(gè)位置選擇的方向，并在計(jì)算完成后從頂層開始回溯，輸出所選擇的數(shù)字。
本實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)在于理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的原理和過(guò)程，以及編寫正確和高效的代碼。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問(wèn)題分解為子問(wèn)題，并利用子問(wèn)題之間的關(guān)系和重復(fù)性，避免重復(fù)計(jì)算，從而提高效率的方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)和重疊子問(wèn)題的問(wèn)題。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)指的是原問(wèn)題的最優(yōu)解可以由子問(wèn)題的最優(yōu)解構(gòu)成，重疊子問(wèn)題指的是在求解過(guò)程中會(huì)多次遇到相同的子問(wèn)題。數(shù)塔問(wèn)題滿足這兩個(gè)條件，因?yàn)槊總€(gè)位置到底層的最大值只取決于它下面一層相鄰兩個(gè)位置的最大值，而且在計(jì)算過(guò)程中會(huì)多次計(jì)算同一個(gè)位置到底層的最大值。因此，可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)解決數(shù)塔問(wèn)題。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-496531.html
本實(shí)驗(yàn)還需要注意代碼的編寫規(guī)范和風(fēng)格，以及程序的可讀性和可維護(hù)性。代碼應(yīng)該遵循統(tǒng)一和清晰的命名規(guī)則，使用適當(dāng)?shù)淖⑨尯涂s進(jìn)，避免冗余和無(wú)用的代碼，使用合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法，處理好邊界情況和異常情況等。程序應(yīng)該具有良好的模塊化和封裝性，將不同功能分離為不同函數(shù)或類，并提供清晰和完整的接口和文檔。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-496531.html
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