在20世紀(jì)50年代和60年代在雷諾公司工作期間，皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）開發(fā)了用于設(shè)計汽車車身的軟件系統(tǒng)。他的程序利用了Paul de Casteljau之前開發(fā)的數(shù)學(xué)方程組，后者曾為競爭對手雪鐵龍汽車制造商[BE72，DC63]工作。de Casteljau方程僅使用幾個標(biāo)量參數(shù)描述曲線，同時使用一種高明的的遞歸算法，稱為“de Casteljau算法”，就可以生成任意精度的曲線?，F(xiàn)在它們分別被稱為“貝塞爾曲線”和“貝塞爾曲面”，這些方法通常用于高效地對各種曲面3D物體進行建模。
參考這個

11.1 二次貝塞爾曲線(三點)

二次貝塞爾曲線由一組參數(shù)方程定義，方程組中使用3個控制點指定特定的曲線的形狀，每個控制點都是2D空間中的一個點?？紤]圖11.1中所示的一組3個點[p0,p1,p2]。

通過引入?yún)?shù)t，我們可以構(gòu)建一個用來定義曲線的參數(shù)方程組。表示從一個控制點到另一控制點間線段距離的分?jǐn)?shù)。對于在線段上的點，t的值在[0…1]的范圍內(nèi)。圖11.2顯示了一個這樣的值：t=0.75，分別應(yīng)用于連接
p0-p1,p1-p2的線段。通過t在兩條原始線段上定義了兩個新點p01(t)和p12(t)。我們對連接兩個新點p01(t)和p12(t)
的線段重復(fù)該過程，產(chǎn)生點P(t)，其中沿線段p01(t)和p12(t)在t=0.75得到點P(t)。P(t)是最終得到的曲線上的點，因此用大寫字母P表示。

針對各種t值收集大量的點P(t)，則會產(chǎn)生一條曲線，如圖11.3所示。采樣的t的參數(shù)值越多，生成的點P(t)越多，得到的曲線則越平滑。

現(xiàn)在可以導(dǎo)出二次貝塞爾曲線的分析定義。首先，我們注意到連接兩個點pa和pb的線段pa-pb上的任意點p可以用參數(shù)t表示如下：

使用該等式，我們解出點p01和p12（分別在p0-p1,p1-p2上的點）如下：

同理，在這兩點所連接的線段上的點可以表示為：

替換p12和p01的定義得：

分解并重新合并各項可得：

或

其中

因此，我們通過控制點的加權(quán)和解出曲線上的任意點。加權(quán)函數(shù)B通常被稱為“混合函數(shù)”（盡管名稱“B”實際上源自Sergei Bernstein [BE16]，他首先描述了這個多項式族）。請注意，混合函數(shù)的形式都是二次的，這就是為什么得到的曲線稱為二次貝塞爾曲線。

11.2 三次貝塞爾曲線(四點)

我們現(xiàn)在將曲線模型擴展到4個控制點，就會得到一個三次貝塞爾曲線，如圖11.4所示。與二次曲線相比，三次貝塞爾曲線能夠定義的形狀更加豐富，而二次曲線僅限于定義凹形。

同二次曲線時的情形，我們可以推導(dǎo)出三次貝塞爾曲線的解析定義：

曲線上的點則是：

使用p12-23和p01-12的定義替換等式中的項，再合并得：

其中

渲染貝塞爾曲線時，可以使用許多不同的技術(shù)。其中一種方法是，使用固定的增量，在0.0～1.0范圍內(nèi)，迭代增加得出t的后繼值。

例如，當(dāng)增量為0.1時，我們可以使用t值為0.0、0.1、0.2、0.3等的循環(huán)。對于t的每個值，計算貝塞爾曲線上的對應(yīng)點，并繪制連接連續(xù)點的一系列線段，如圖11.5中的算法所述。

另一種方法是使用de Casteljau算法遞歸地將曲線對半細(xì)分，其中，在每個遞歸步驟t=1/2。圖11.6展示了左側(cè)曲線細(xì)分后的新三次控制點（q0,q1,q2,q3），以綠色顯示（見彩插）。該算法由de Casteljau提出（完整推導(dǎo)見[AS14]）。

算法見圖11.7。該算法重復(fù)將曲線段細(xì)分為兩半的過程，直到每個曲線段足夠直，進一步的細(xì)分不會產(chǎn)生實際的好處。在極限情況下（隨著生成的控制點越來越靠近），曲線段本身實際上與第一個控制點和最后一個控制點（
q0和q3）之間的線段相同。因此，可以通過比較從第一控制點到最后一個控制點的距離與連接4個控制點的3條線段的長度之和來確定曲線段是否“足夠直”：

當(dāng)D1-D2小于一個足夠小的閾值時，進一步的細(xì)分就沒有意義了。

de Casteljau算法有一個有趣的特性，它可以在不使用之前描述的混合函數(shù)的情況下，生成曲線上所有的點。同時請注意，p(1/2)處的中心點是“共享”的，即它既是左細(xì)分中最右的控制點，也是右細(xì)分中最左的控制點。它可以使用t=1/2處的混合函數(shù)或使用由de Casteljau導(dǎo)出的公式(q2+r1)/2來計算。

另請注意，圖11.7中所示的subdivide()函數(shù)假定傳入的參數(shù) p、q和r是“引用”參數(shù)，因此，圖11.7上方列出的drawBezierCurve函數(shù)對于subdivide()的調(diào)用，導(dǎo)致subdivide()函數(shù)中的計算修改了調(diào)用中所傳的實際參數(shù)。

11.3 二次貝塞爾曲面(3x3控制點)

貝塞爾曲線定義了曲線（在2D或3D空間中），而貝塞爾曲面定義了3D空間中的曲面。將我們在曲線中看到的概念擴展到曲面，需要將參數(shù)方程組中的參數(shù)個數(shù)從一個擴展到兩個。對于貝塞爾曲線，我們將參數(shù)稱為t。對于貝塞爾曲面，我們將參數(shù)稱為u和v。曲線由點P(t)組成，而曲面將由點 P(u,v)組成，如圖11.8所示。

對于二次貝塞爾曲面，每個軸u和v上有3個控制點，總共9個控制點。圖11.9（見彩插）使用藍色展示了一組共9個控制點（通常稱為控制點“網(wǎng)格”）的示例，以及相應(yīng)的曲面（紅色）。

網(wǎng)格中的9個控制點標(biāo)記為pij，其中i和j分別代表u和v方向上的索引。每組3個相鄰控制點（例如（p00,p01,p02))會定義一條貝塞爾曲線。然后將表面上的點P(u，v)定義為兩個混合函數(shù)的和，一個在u方向，一個在v方向。則用于構(gòu)建貝塞爾曲面的兩個混合函數(shù)的形式遵循先前為貝塞爾曲線給出的方法：

接下來生成構(gòu)成貝塞爾曲面的點P(u,v)。對于每個控制點pij將其與第i個混合函數(shù)在u處的值相乘，再與第j個混合函數(shù)在v處的值相乘。最后將所有控制點的結(jié)果求和，生成貝塞爾曲面上的點 P(u,v)

組成貝塞爾曲面的生成點集有時會稱為補丁。術(shù)語“補丁”有時 會讓人感到困惑，我們稍后在研究曲面細(xì)分著色器時會看到（對于實 際實現(xiàn)貝塞爾曲面非常有用）。因為通常控制點組成的網(wǎng)格才稱為 “補丁”。

11.4 三次貝塞爾曲面(4x4控制點)

從二次曲面到三次曲面需要使用更大的網(wǎng)格——4×4而非3×3。 圖11.10（見彩插）顯示了16控制點網(wǎng)格（藍色）和相應(yīng)曲面（紅色）的示例。

同上，我們可以通過組合三次貝塞爾曲線的相關(guān)混合函數(shù)來推導(dǎo)表面上的點P(u,v)的公式：

其中：

渲染貝塞爾曲面也可以通過遞歸細(xì)分[AS14]完成，方法是交替地將曲面沿每個維度分成兩半，如圖11.11所示。每個細(xì)分產(chǎn)生4個新的控制點網(wǎng)格，每個網(wǎng)格包含16個點，這些點定義了曲面的一個象限。

當(dāng)渲染貝塞爾曲線時，我們在曲線“足夠直”時停止細(xì)分。而對于貝塞爾曲面，我們在曲面“足夠平坦”時停止遞歸。一種實現(xiàn)方法是，確保子象限控制網(wǎng)格上所有遞歸生成的點，距由該網(wǎng)格的4個角點中的3個定義的平面的距離，都小于一個允許的范圍。點(x，y，z)與平面(A,B,C,D)之間的距離d為：

如果小于某個足夠小的閾值，則我們停止細(xì)分過程，并簡單地使d用子象限網(wǎng)格的4個角的控制點來繪制兩個三角形。

對于貝塞爾曲線，OpenGL管線的細(xì)分階段為基于圖11.5中的迭代算法渲染貝塞爾曲面提供了一種有吸引力的替代方法。其策略是讓曲面細(xì)分生成一個大的頂點網(wǎng)格，然后使用混合函數(shù)將這些頂點重新定位到貝塞爾曲面上，由三次貝塞爾控制點指定。我們在第12章中實現(xiàn)了這一點。

補充說明

本章重點介紹參數(shù)貝塞爾曲線和曲面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。我們推遲了在OpenGL中呈現(xiàn)其中任何一個的實現(xiàn)，因為實現(xiàn)它們需要適當(dāng)?shù)那婕?xì)分著色器知識作為載體，我們將在下一章中進行介紹。我們還跳過了一些推導(dǎo)過程，例如遞歸細(xì)分算法。

在3D圖形中，使用貝塞爾曲線建模對象有許多優(yōu)點。首先，理論上，這些物體可以任意縮放，并且仍然保持光滑的表面而不“像素化”。其次，許多由復(fù)雜曲線組成的物體可以使用貝塞爾控制點集合進行更有效的存儲，而不是存儲數(shù)千個頂點。

除計算機圖形和汽車外，貝塞爾曲線還有許多實際應(yīng)用。在橋梁設(shè)計中也可以找到它們的身影，例如耶路撒冷的Chords Bridge[CB16]。類似的技術(shù)也用于構(gòu)建TrueType字體，因此可以將其縮放到任意大小，或者將視角任意拉近觀看，而字體邊緣始終保持平滑。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-483056.html

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