一、數(shù)據(jù)插值

• 在工程測(cè)量和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，所得到的數(shù)據(jù)通常都是離散的。如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。例如，測(cè)量得 $n$ 個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為 ，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)反映了一個(gè)函數(shù)關(guān)系 $y=f(x)$，然而并不知道 $f(x)$ 的解析式。
• 數(shù)據(jù)插值的任務(wù)就是根據(jù)上述條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù) $y=g(x)$， 使得在 $x(i=1,2,...n)$，有 $g(x)=f(x)$，且在兩個(gè)相鄰的采樣點(diǎn) $(x_i,x_{i+1})(i=1,2,\dots ,n?1)$ 之間，$g(x)$ 光滑過渡。如果被插值函數(shù) $f(x)$ 是光滑的，并且采樣點(diǎn)足夠密，一般在采樣區(qū)間內(nèi)，$f(x)$ 與 $g(x)$ 比較接近。插值函數(shù) $g(x)$ 一般由線性函數(shù)、多項(xiàng)式、樣條函數(shù)或這些函數(shù)的分段函數(shù)充當(dāng)。
• 根據(jù)被插值函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)，插值問題分為一維插值、 二維插值和多維插值等；根據(jù)選用的插值方法，插值問題又分為線性插值、多項(xiàng)式插值和樣條插值等。MATLAB 提供了一維、二維、$N$ 維數(shù)據(jù)插值函數(shù) interp1、interp2 和 interpn，以及 3 次埃爾米特（Hermite）插值函數(shù) pchip 和 3 次樣條插值函數(shù) spline 等。

1. 一維數(shù)據(jù)插值

• 如果被插值函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，則數(shù)據(jù)插值問題稱為一維插值。一維插值采用的方法有線性插值、最近點(diǎn)插值、3 次埃爾米特插值和 3 次樣條插值。在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是 interp1，其調(diào)用格式如下：

    Y1=interp1(X,Y,X1,method)

• 函數(shù)根據(jù) 的值，計(jì)算函數(shù)在 $X1$ 處的值。其中， 是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和采樣值。若同一個(gè)采樣點(diǎn)有多種采樣值，則 $Y$ 可以為矩陣，$Y$ 的每一列對(duì)應(yīng)一組采樣。$X1$ 是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，$Y1$ 是一個(gè)與 $X1$ 等長(zhǎng)的插值結(jié)果。method 用于指定插值方法，允許的取值有以下幾種。
• （1） 'linear'：線性插值。線性插值是默認(rèn)的插值方法，它是把與插值點(diǎn)靠近的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接，然后在直線上選取對(duì)應(yīng)插值點(diǎn)的數(shù)據(jù)。
• （2） 'nearest'：最近點(diǎn)插值。根據(jù)插值點(diǎn)與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度進(jìn)行插值。插值點(diǎn)優(yōu)先選擇較近的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值操作。
• （3） 'pchip'：分段 3 次埃爾米特插值。分段三次埃爾米特插值采用分段三次多項(xiàng)式，除滿足插值條件，還需要滿足在若干節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)也相等，從而提高了插值函數(shù)的光滑性。MATLAB 中有一個(gè)專門的 3 次埃爾米特插值函數(shù) pchip(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù) interpl(X,Y,X,'pchip') 相同。
• （4） 'spline'：3 次樣條插值。所謂 3 次樣條插值，是指在每個(gè)分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一個(gè) 3 次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求在各節(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，從而保證節(jié)點(diǎn)處光滑。MATLAB 中有一個(gè)專門的 3 次樣條插值函數(shù) spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù) interp1(X,Y,Xl,'spline') 相同。
• 注意：對(duì)于超出 X 范圍的插值點(diǎn)，使用 “l(fā)inear” 和 “nearest” 插值方法，會(huì)給出 “NaN” 錯(cuò)誤。對(duì)于其他的方法，將對(duì)超出范圍的插值點(diǎn)執(zhí)行外插值算法。
• 例如，以下概率積分的數(shù)據(jù)如下表所示，我們用不同的插值方法計(jì)算 $f(0.472)$。$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{?x^2}\mathrm{d}x$$

• 這是一個(gè)一維插值問題，程序如下：

>> x=0.46:0.01:0.49;  %給出x
>> f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];  %給出f(x)
>> format long  %顯示小數(shù)點(diǎn)后16位
>> interp1(x,f,0.472)  %用默認(rèn)方法，即線性插值計(jì)算f(0.472)

ans =

   0.495553320000000

>>  interp1(x,f,0.472,'nearest')  %用最近點(diǎn)插值計(jì)算f(0.472)

ans =

   0.493754200000000

>> interp1(x,f,0.472,'pchip')  %用3次埃爾米特計(jì)算f(0.472)

ans =

   0.495561119712056

>> interp1(x,f,0.472,'spline')  %用3次樣條插值計(jì)算f(0.472)

ans =

   0.495560736000000

>> format short  %小數(shù)點(diǎn)后顯示4位

• 例中，3 次埃爾米特和 3 次樣條插值的插值結(jié)果優(yōu)于最近點(diǎn)插值方法和線性插值方法，但插值方法的好壞還依賴于被插值函數(shù)，沒有一種對(duì) 所有函數(shù)都是最好的插值方法。
• 例如，某檢測(cè)參數(shù) $f$ 隨時(shí)間 $t$ 的采樣結(jié)果如下表所示，我們用數(shù)據(jù)插值法計(jì)算 $t=2,12,22,32,42,52$ 時(shí)的 $f$ 值。

• 這是一個(gè)一維數(shù)據(jù)插值問題，程序如下：

>> T=0:5:65;  %給出T
>> X=2:10:52;  %給出X
>> F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,...
    6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];  %給出F(x)
>> F1=interp1(T,F,X)  %用線性插值方法插值

F1 =

   1.0e+03 *

  列 1 至 5

   0.002823300000000   1.262060000000000   3.435760000000000   5.603820000000000   6.774500000000000

  列 6

   6.571980000000000

>> F2=interp1(T,F,X,'nearest')  %用最近點(diǎn)插值法插值


F2 =

   1.0e+03 *

  列 1 至 5

   0.003201500000000   0.879500000000000   2.968800000000000   5.237900000000000   6.725300000000000

  列 6

   6.403500000000000

>> F3=interp1(T,F,X,'pchip')  %用3次埃爾米特插值方法插值

F3 =

   1.0e+03 *

  列 1 至 5

   0.002460228000000   1.248358437730487   3.436483654858926   5.636234122067274   6.797756124209316

  列 6

   6.507716445924324

>> F4=interp1(T,F,X,'spline')  %用3次樣條插值方法插值

F4 =

   1.0e+03 *

  列 1 至 5

  -0.170219570210629   1.256002190473428   3.439603968838626   5.637043773267335   6.859291256904060

  列 6

   6.481654623389509

• 這里小數(shù)點(diǎn)后顯示 16 位是因?yàn)樯洗问褂昧?format long 代碼，但未執(zhí)行 format short 代碼。

2. 二維數(shù)據(jù)插值

• 當(dāng)函數(shù)依賴于兩個(gè)自變量變化時(shí)，其采樣點(diǎn)就應(yīng)該是一個(gè)由這兩個(gè)參數(shù)組成的一個(gè)平面區(qū)域，插值函數(shù)也是一個(gè)二維函數(shù)。對(duì)依賴于兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行插值的問題稱為二維插值問題。
• 同樣，在 MATLAB 中，提供了解決二維插值問題的函數(shù) interp2，其調(diào)用格式如下：

    Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)

• 其中， 是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)，$Z$ 是與參數(shù)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值， 是兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。$Z1$ 是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。
• method 的取值與一維插值函數(shù)相同，但二維插值不支持 'pchip' 方法。 也可以是矩陣形式。同樣，對(duì)于超出 范圍的插值點(diǎn)，使用 'linear' 和 'nearest' 插值方法，會(huì)給出 NaN 錯(cuò)誤。對(duì)于 'spline' 方法，將對(duì)超出范圍的插值點(diǎn)執(zhí)行外插值算法。
• 例如，設(shè) $z=x^2+y^2$，我們對(duì) $z$ 函數(shù)在 區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。
• 程序如下：

>> x=0:0.1:1;
>> y=0:0.2:2;
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);  %產(chǎn)生自變量網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)
>> Z=X.^2+Y.^2;  %求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值
>> interp2(x,y,Z,0.5,0.5)  %在(0.5.0.5)點(diǎn)插值

ans =

    0.5100

>> interp2(x,y,Z,[0.5,0.6],0.4)  %在(0.5.0.4)點(diǎn)和(0.6,0.4)點(diǎn)插值

ans =

    0.4100    0.5200

>> interp2(x,y,Z,[0.5,0.6],[0.4,0.5])  %在(0.5.0.4)點(diǎn)和(0.6,0.5)點(diǎn)插值

ans =

    0.4100    0.6200

%在(0.5.0.4),(0.6.0.4),(0.5.0.5)和(0.6,0.5)各點(diǎn)插值
>> interp2(x,y,Z,[0.5 0.6]',[0.4 0.5])  

ans =

    0.4100    0.5200
    0.5100    0.6200

• 如果想提高插值精度，可選擇插值方法為 'spline'，對(duì)于本例，精度可以提高。輸入如下程序：

>> interp2(x,y,Z,[0.5 0.6]',[0.4 0.5],'spline')

ans =

    0.4100    0.5200
    0.5000    0.6100

• 例如，某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng) 10 m 的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。用 $d$ 表示測(cè)量點(diǎn)距離（m），用 $t$ 表示測(cè)量時(shí)間（s），用 $c$ 表示測(cè)得各點(diǎn)的溫度（℃），測(cè)量結(jié)果如下表所示。我們?cè)囉镁€性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔 20 s、鋼軌每隔 2 m 處的溫度。

• 程序如下：

>> d=0:2.5:10;
>> t=(0:30:60)';
>> c=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
>> di=0:2:10;
>> ti=(0:20:60)';
>> ci=interp2(d,t,c,di,ti)

• 程序運(yùn)行結(jié)果如下：

ci =

   95.0000   30.2000    5.6000         0         0         0
   90.3333   47.4000   27.4667   16.0000    7.2000    4.0000
   81.0000   58.8667   44.9333   33.2000   22.7333   17.6667
   67.0000   64.6000   58.0000   51.6000   46.6000   41.0000

• 下圖是根據(jù)插值結(jié)果 $[d_i,t_i,c_i]$，用繪圖函數(shù) surf(di,ti,ci) 繪制的鋼軌溫度分布圖。如果加密插值點(diǎn)，則繪制的分布圖更理想。

二、曲線擬合

1. 曲線擬合原理

• 與數(shù)據(jù)插值類似，曲線擬合的目的也是用一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)去逼近一個(gè)復(fù)雜的或未知的函數(shù)，所依據(jù)的條件都是在一個(gè)區(qū)間或一個(gè)區(qū)域上的有限個(gè)采樣點(diǎn)的函數(shù)值。
• 數(shù)據(jù)插值要求逼近函數(shù)在采樣點(diǎn)與被逼近函數(shù)相等，但由于實(shí)驗(yàn)或測(cè)量中的誤差，所獲得的數(shù)據(jù)不一定準(zhǔn)確。在這種情況下，如果強(qiáng)求逼近函數(shù)通過各采樣插值點(diǎn)，顯然是不夠合理的。
• 為此，構(gòu)造函數(shù) $y=g(x)$ 去逼近 $f(x)$，這里不要求曲線 $g(x)$ 嚴(yán)格通過采樣點(diǎn)，但希望 $g(x)$ 能盡量地靠近這些點(diǎn)，就是使誤差 在某種意義下達(dá)到最小。
• MATLAB 曲線擬合的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)是采用常見的最小二乘原理，所構(gòu)造的 $g(x)$ 是一個(gè)次數(shù)小于插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的多項(xiàng)式。
• 我們假設(shè)測(cè)得 $n$ 個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn) $(x_i,y_i)(i=1,2，...n)$，欲構(gòu)造一個(gè) $m(m\le n)$ 次多項(xiàng)式 $p(x)$：$$p(x)=a_m{x}^m+a_{m?1}{x}^{m?1}+\dots +a_{1}x+a_0$$
• 所謂曲線擬合的最小二乘原理，就是使上述擬合多項(xiàng)式在各節(jié)點(diǎn)處的偏差 $p(x_i)?y_i$ 的平方和 ${\sum }_{i=1}^n(p(x_i)?y_i{)}^2$ 達(dá)到最小。數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，上述最小二乘逼近問題的解總是確定的。

2. 曲線擬合的實(shí)現(xiàn)

• 采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合時(shí)，實(shí)際上是求一個(gè)系數(shù)向量，該系數(shù)向量是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。
• 在 MATLAB 中，用 polyfit 函數(shù)來求的最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用 polyval 函數(shù)按所得多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。
• polyfit 函數(shù)的調(diào)用格式如下：

    p=polyfit(X,Y,m)
    [P,S]=polyfit(X,Y,m)
    [P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)

• 函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn) $X$ 和采樣點(diǎn)函數(shù)值 $Y$，產(chǎn)生一個(gè) $m$ 次多項(xiàng)式 $P$ 及其在采樣點(diǎn)的誤差向量 $S$。
• 其中 是兩個(gè)等長(zhǎng)的向量，$P$ 是一個(gè)長(zhǎng)度為 $m+1$ 的向量，$P$ 的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。mu 是一個(gè)二元向量，mu(1) 是函數(shù) mean(X) 求向量 $X$ 的平均值，而 mu(2) 是函數(shù) std(X) 求向量 $X$ 的方差。
• 可以用 polyval 函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算 $X$ 各點(diǎn)上多項(xiàng)式的值。
• 例如，我們用一個(gè) 3 次多項(xiàng)式在區(qū)間 $[0,2\pi ]$ 內(nèi)逼近函數(shù) $\sin x$。
• 在給定區(qū)間上，我們均勻地選擇 50 個(gè)采樣點(diǎn)，并計(jì)算采樣點(diǎn)的函數(shù)值，然后利用 3 次多項(xiàng)式逼近。
• 程序如下：

>> X=linspace(0,2*pi,50);  %在0到2Π之間等差的選取50個(gè)點(diǎn)
>> Y=sin(X);
>> P=polyfit(X,Y,3)  %得到3次多項(xiàng)式的系數(shù)和誤差

P =

    0.0912   -0.8596    1.8527   -0.1649

• 以上求得了 3 次擬合多項(xiàng)式 $p(x)$ 的系數(shù)，得 $p(x)=0.0912x^3?0.8596x^2+1.8527x?0.1649$。
• 下面，我們利用繪圖函數(shù)得方法將多項(xiàng)式 $p(x)$ 和 $\sin x$進(jìn)行比較，程序如下：

>> X=linspace(0,2*pi,50);
>> Y=sin(X);
>> P=polyfit(X,Y,3)

P =

    0.0912   -0.8596    1.8527   -0.1649

>> Y1=polyval(P,X);
>> plot(X,Y,':o',X,Y1,'-*')

• 繪制出 $\sin x$ 和多項(xiàng)式 $p(x)$ 在給定區(qū)間得函數(shù)曲線，如下圖所示。其中虛線是 $\sin x$，實(shí)線是 $p(x)$。函數(shù) polyval(P,X) 返回多項(xiàng)式 $p(x)$ 得值。

三、數(shù)值微分

• 一般來說，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然是一個(gè)函數(shù)。設(shè)函數(shù) $f(x)$ 的導(dǎo)函數(shù) $f^{\prime }(x)=g(x)$，高等數(shù)學(xué)關(guān)心的是 $g(x)$ 的形式和性質(zhì)，而數(shù)值分析關(guān)心的問題是怎樣計(jì)算 $g(x)$ 在一串離散點(diǎn) 的近似值 以及所計(jì)算的近似值有多大誤差。

1. 數(shù)值差分與差商

• 任意函數(shù) $f(x)$ 在 $x$ 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是通過極限定義的：$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}$$$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)?f(x?h)}{h}$$$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h/2)?f(x?h/2)}{h}$$
• 上述式子中，均假設(shè) $h>0$，如果去掉上述等式右端的 $h?0$ 的極限過程，并引進(jìn)記號(hào)：$$△f(x)=f(x+h)?f(x)$$$$▽f(x)=f(x)?f(x?h)$$$$\delta f(x)=f(x+h/2)?f(x?h/2)$$
• 稱 及 $\delta f(x)$ 分別在函數(shù) $x$ 點(diǎn)處以 $h(h>0)$ 為步長(zhǎng)的向前差分、向后差分和中心差分。當(dāng)步長(zhǎng)為 $h$ 充分小時(shí)，有 $$f^{\prime }(x)\approx \frac{△f(x)}{h}$$$$f^{\prime }(x)\approx \frac{▽f(x)}{h}$$$$f^{\prime }(x)\approx \frac{\delta f(x)}{h}$$
• 和差分一樣，稱 $△f(x)/h、▽f(x)/h$ 及 $\delta f(x)/h$ 分別為函數(shù)在 $x$ 點(diǎn)處以 $h(h>0)$ 為步長(zhǎng)的向前差商、向后差商和中心差商。
• 當(dāng)步長(zhǎng) $h(h>0)$ 充分小時(shí)，函數(shù) $f$ 在點(diǎn) $x$ 的微分接近于函數(shù)在該點(diǎn)的任意種差分，而 $f$ 在點(diǎn) $x$ 的導(dǎo)數(shù)接近于函數(shù)在該點(diǎn)的任意種差商。

2. 數(shù)值微分的實(shí)現(xiàn)

• 有兩種方式計(jì)算任意函數(shù) $f(x)$ 在給定點(diǎn) $x$ 的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，第一種方式是用多項(xiàng)式或樣條函數(shù) $g(x)$ 對(duì) $f(x)$ 進(jìn)行逼近（插值或擬合），然后用逼近函數(shù) $g(x)$ 在點(diǎn) $x$ 處的導(dǎo)數(shù)作為 $f(x)$ 在點(diǎn) $x$ 處的導(dǎo)數(shù)，第二種方式是用 $f(x)$ 在點(diǎn) $x$ 處的某種差商作為其導(dǎo)數(shù)。
• 在 MATLAB 中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù) diff，其調(diào)用格式如下。
• （1） DX=dif(X)：計(jì)算向量 $X$ 的向前差分，。
• （2） DX= diff(X,n)：計(jì)算 $X$ 的 $n$ 階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。
• （3） DX-dif(A,n,dim)：計(jì)算矩陣 $A$ 的 $n$ 階差分，dim=1 時(shí)（默認(rèn)狀態(tài)），按列計(jì)算差分；dim=2 時(shí)，按行計(jì)算差分。
• 例如，我們?cè)O(shè) $x$ 由 $[0,2\pi ]$ 間均勻分布的 6 個(gè)點(diǎn)組成，求 $\sin x$ 的 1~3 階差分。
• 程序如下：

>> X=linspace(0,2*pi,6);
>> Y=sin(X)

Y =

         0    0.9511    0.5878   -0.5878   -0.9511   -0.0000

>> DY=diff(Y)  %計(jì)算Y的一階差分

DY =

    0.9511   -0.3633   -1.1756   -0.3633    0.9511

>> D2Y=diff(Y,2)  %計(jì)算Y的二階差分，也可以用命令diff(DY)計(jì)算

D2Y =

   -1.3143   -0.8123    0.8123    1.3143

>> D3Y=diff(Y,3)  %計(jì)算Y的三階差分，也可以用命令diff(D2Y)或diff(DY,2)計(jì)算

D3Y =

    0.5020    1.6246    0.5020

• 例如，設(shè) $$f(x)=\sqrt{x^3+2x^2?x+12}+\sqrt[6]{x+5}+5x+2$$ 我們用不同的方法求函數(shù) $f(x)$ 的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在用一個(gè)坐標(biāo)系中畫出 $f^{\prime }(x)$ 的圖像。
• 為確定計(jì)算數(shù)值導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)，假設(shè)在 $[?3,3]$ 區(qū)間內(nèi)以 0.01 為步長(zhǎng)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)。下面用 3 種方法求 $f(x)$ 在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。
• 首先用一個(gè) 5 次多項(xiàng)式 $p(x)$ 擬合函數(shù) $f(x)$，并對(duì) $p(x)$ 求一般意義下的導(dǎo)數(shù) $dp(x)$，求出 $dp(x)$ 在假設(shè)點(diǎn)的值。
• 第二種方法直接求 $f(x)$ 在假設(shè)點(diǎn)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)。
• 第三種方法求出 $f^{\prime }(x)$：$$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2+4x?1}{2\sqrt{x^3+2x^2?x+12}}+\frac{1}{6\sqrt[6]{x+5}}+5$$
• 然后直接求 $f^{\prime }(x)$ 在假設(shè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，最后在同一坐標(biāo)軸顯示這 3 條曲線。
• 程序如下：

>> f=@(x) sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;
>> g=@(x) (3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5;
>> x=-3:0.01:3;
>> p=polyfit(x,f(x),5);				%用5次多項(xiàng)式p擬合f(x)
>> dp=polyder(p);					%對(duì)擬合多項(xiàng)式p求導(dǎo)數(shù)dp
>> dpx=polyval(dp,x);				%求dp在假設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值
>> dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;		%直接對(duì)f(x)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)
>> gx=g(x);							%求函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)g在假設(shè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)
>> plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');	%作圖

• 程序運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。結(jié)果表明，用 3 種方法求得的數(shù)值導(dǎo)數(shù)比較接近。

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-476548.html

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