什么是仿射變換？

仿射變換（Affine Transformation）是空間直角坐標(biāo)系的變換，從一個(gè)二維坐標(biāo)變換到另一個(gè)二維坐標(biāo)，仿射變換是一個(gè)線性變換，他保持了圖像的“平行性”和“平直性”，即圖像中原來的直線和平行線，變換后仍然保持原來的直線和平行線，仿射變換比較常用的特殊變換有平移(Translation)、縮放（Scale）、翻轉(zhuǎn)（Flip）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）和剪切(Shear)。

線性變換和仿射變換的差別

線性變換和仿射變換的差別在原點(diǎn)是否改變

空間變換的兩個(gè)主要類別

仿射變換

仿射變換：平移、旋轉(zhuǎn)、放縮、剪切、反射

仿射變換的公式表達(dá)

$?\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\\ 1\end{array}?=?\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& B_{11}\\ A_{21}& A_{22}& B_{12}\\ 0& 0& 1\end{array}?\times ?\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\\ 1\end{array}?$

通過上述的矩陣轉(zhuǎn)換可以將圖像進(jìn)行平移、縮放、旋轉(zhuǎn)和剪切，如下圖所示

仿射變換在ML機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用

仿射變換的思想在機(jī)器學(xué)習(xí)“圖像處理”領(lǐng)域?qū)?yīng)單應(yīng)性矩陣

在三軸坐標(biāo)中$XYZ，Z=1$這個(gè)有點(diǎn)類似于三維的齊次坐標(biāo)。單應(yīng)性矩陣主要用來解決兩個(gè)問題，

1. 表述真實(shí)世界（Unity中的主世界相機(jī)視角）中一個(gè)平面與對應(yīng)它圖像的透視變換
2. 從通過透視變換實(shí)現(xiàn)圖像從一種視圖變換到另外一種視圖
   

上圖的中零點(diǎn)分別表示兩個(gè)平面中任意兩個(gè)點(diǎn)，a1、a2與b1、b2是這兩點(diǎn)對應(yīng)的兩個(gè)方向上的線性向量。對于這兩個(gè)平面之間的關(guān)系，我們可以通過這些點(diǎn)從而一步確定兩個(gè)平面直接的關(guān)系，而兩個(gè)平面之間的關(guān)系用單應(yīng)性矩陣來描述如下：
$p^h=H{q}^h$
其中，表示三維的齊次坐標(biāo)向量
這種關(guān)系被稱為平面單應(yīng)性。這個(gè)當(dāng)中有一些數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)，這里不做證明，只是明白這個(gè)概念怎么來的。

• 此外兩個(gè)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用場景分布是紋理渲染與計(jì)算平面陰影。
• 用來實(shí)現(xiàn)圖像拼接時(shí)候解決對齊問題

投影變換

$?\begin{array}{l}{x}_1^t\\ x_2^t\\ x_3^t\end{array}?=?\begin{array}{lll}{h}_{11}& h_{12}& h_{13}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}\end{array}??\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?$
投影和仿射變換之間的區(qū)別

這些仿射變換和投影變換之間的唯一區(qū)別在于變換矩陣的最后一行。對于仿射變換，該行的前兩個(gè)元素為零。這導(dǎo)致操作屬性存在以下差異：

• 投影變換不保留平行度、長度和角度。

• 仿射變換與投影變換不同，保留了并行性。

射影變換可以表示為任意四邊形（即四點(diǎn)系統(tǒng)）到另一個(gè)四邊形的變換。仿射變換是三角形的變換。下圖說明了這一點(diǎn)：

直觀的例子：

仿射變換：

仿射變換C#代碼實(shí)現(xiàn)

在Graphics Mill中應(yīng)用仿射變換，請執(zhí)行以下步驟：

1. 指定源和目標(biāo)三角形。

2. 使用Matrix.CreateFromAffinePoints(PointF[], PointF[])創(chuàng)建仿射變換矩陣。將先前指定的點(diǎn)作為方法參數(shù)傳遞。

3. 使用MatrixTransform.#ctor構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建轉(zhuǎn)換。這里之前創(chuàng)建的矩陣是構(gòu)造函數(shù)的參數(shù)。

4. 通過調(diào)用MatrixTransform.Apply方法應(yīng)用轉(zhuǎn)換。

   using (var bitmap = new Bitmap(@"Images\in.jpg"))
  {
    System.Drawing.PointF[] source = {
        new System.Drawing.PointF(0f, 0f),
        new System.Drawing.PointF(0f, 80f),
        new System.Drawing.PointF(80f, 0f)
    };
    


    System.Drawing.PointF[] target = {
        new System.Drawing.PointF(20, 0f),
        new System.Drawing.PointF(0f, 80f),
        new System.Drawing.PointF(80f, 0f)
    };

    using (var matrix = Matrix.CreateFromAffinePoints(source, target))
    {
        using (var transform = new MatrixTransform(matrix))
        {
            using (var result = transform.Apply(bitmap))
            {
                result.Save(@"Images\Output\out.jpg");
            }
        }
    }
}

投影變換：

投影變換C#代碼實(shí)現(xiàn)

在Graphics Mill中應(yīng)用投影變換，請執(zhí)行以下步驟：

1. 指定源四邊形和目標(biāo)四邊形。
2. 使用Matrix.CreateFromProjectivePoints(PointF[], PointF[])創(chuàng)建投影變換矩陣。將先前指定的點(diǎn)作為方法參數(shù)傳遞。
3. 使用MatrixTransform.#ctor構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建轉(zhuǎn)換。這里之前創(chuàng)建的矩陣是構(gòu)造函數(shù)的參數(shù)。
4. 通過調(diào)用MatrixTransform.Apply方法應(yīng)用轉(zhuǎn)換。

 
using (var bitmap = new Bitmap(@"Images\in.jpg"))
{
    System.Drawing.PointF[] source = {
        new System.Drawing.PointF(0f, 0f),
        new System.Drawing.PointF(0f, bitmap.Height),
        new System.Drawing.PointF(bitmap.Width, bitmap.Height),
        new System.Drawing.PointF(bitmap.Width, 0f)
    };

    System.Drawing.PointF[] target = {
        new System.Drawing.PointF(0f, 0f),
        new System.Drawing.PointF(0f, bitmap.Height),
        new System.Drawing.PointF(bitmap.Width * 0.75f, bitmap.Height - 50f),
        new System.Drawing.PointF(bitmap.Width * 0.75f, 80f)
    };

    using (var matrix = Matrix.CreateFromProjectivePoints(source, target))
    {
        using (var transform = new MatrixTransform(matrix))
        {
            using (var result = transform.Apply(bitmap))
            {
                result.Save(@"Images\Output\out.jpg");
            }
        }
    }
}

仿射變換在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在用CNN模型處理MINST手寫數(shù)據(jù)集的識(shí)別中，引入了仿射變換的方法提升了識(shí)別準(zhǔn)確性
論文：https://arxiv.org/abs/1506.02025

參考資料：

仿射和投影變換 - Graphics Mill
Review: STN — Spatial Transformer Network (Image Classification)
如何通俗地講解「仿射變換」這個(gè)概念？ - 馬同學(xué)的回答 - 知乎文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-465089.html

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