1.巴拿赫的火柴盒問題

巴拿赫 Stefan Banach 是 20 世紀(jì)初最重要的數(shù)學(xué)家之一——如果你對流行數(shù)學(xué)感興趣，你就會聽說過 Banach-Tarski 悖論；如果你做過任何嚴(yán)肅的線性代數(shù)，你就會知道巴拿赫空間；如果你讀過《破解數(shù)學(xué)》，你就會從蘇格蘭咖啡館的章節(jié)中認(rèn)出他的名字。 很明顯，從以他命名的事物列表中選擇了一個不太嚴(yán)肅的例子：巴拿赫的火柴盒問題。這個問題應(yīng)該并不直接歸咎于巴拿赫，這個概率問題主要是想取笑巴拿赫抽了多少煙，更確切地說是關(guān)于火柴盒與火柴的問題。

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問題描述

愛抽煙的數(shù)學(xué)家巴拿赫教授在左右口袋各放入了一盒火柴，他每次吸煙時，都隨機的從左右口袋中掏出一盒火柴點煙（從左右口袋掏火柴盒的概率均為1/2），而且每次掏火柴的習(xí)慣是相互獨立的。假定開始時左右口袋中的火柴盒各放入火柴根數(shù)為n。在每一天，他從任一口袋中隨機取出一根火柴。在某個時候，他伸手去拿一根火柴，發(fā)現(xiàn)他挑選的盒子是空的，那么另一個口袋中的火柴盒中的火柴根數(shù)的分布列是什么？如果從左口袋掏火柴盒的概率是p，從右口袋掏火柴盒的概率為 1-p, 相應(yīng)的結(jié)果又會是什么？

設(shè)是一個火柴盒為空，另一個火柴盒中火柴的根數(shù).對于,定義（或）分別為這樣的隨機事件：當(dāng)?shù)谝淮伟l(fā)現(xiàn)一個火柴盒為空火柴盒的時候，這個火柴盒是左或者右口袋里的火柴盒，并且右（或者左）火柴盒里剩下 ?根火柴。?的分布列為：

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進(jìn)一步地，我們定義選擇左口袋為一次成功，選擇右口袋為一次失敗事件。則是這樣的事件：前次事件中成功了?次，在次試驗的時候也是成功，這樣對于?

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利用對稱性?，可知對于?，得到

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對問題推廣后，即從左口袋取火柴的概率為,右口袋取火柴的概率為,利用相似性推理得到：

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由此得到

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2.賭徒破產(chǎn)問題

3.賭本分割問題

泰里思和溫迪在玩18個洞的高爾夫球，其獎金為10元錢。他們各自贏得一 個洞的概率分別為（泰里思）和（溫迪），并且各個洞的輸贏是相互獨立的。打完10個洞的時候，他們的比分為4:6，溫迪占上風(fēng)。此時泰里思接到一個緊急電話，必須回單位工作。他們決定按照他們打完比賽時候贏得比賽的概率分割獎金。假定代表在目前10個洞的比分4:6的條件下，完成18個洞的比賽后泰里思（溫迪）領(lǐng)先的概率，則泰里思應(yīng)得???????元，而溫迪應(yīng)得元。泰里思應(yīng)該分得多少錢？

這是著名的點數(shù)問題一個例子，也就是賭本分割問題，對此類問題，帕斯卡提出的想法是：賭本分割問題應(yīng)當(dāng)按中斷的條件下雙方各自贏得賭博的條件概率進(jìn)行分配。我們來推理下。
　　由題意可得：

????????????????????????p_T=P(泰里思在剩余的八個洞中至少打進(jìn)6個洞)?
????????????????????????p_W=P(溫迪在剩余的八個洞中至少打進(jìn)4個洞)

運用一下二項分布的公式可得

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　因此可以計算出泰里思應(yīng)得的錢數(shù)。

4.兩個信封之謎

你收到兩個信封，每個信封內(nèi)有若干鈔票，鈔票的數(shù)目都是整數(shù)（以元為單位），但兩個信封內(nèi)的錢數(shù)是不相同的。兩個信封內(nèi)的錢數(shù)可以認(rèn)為是未知的常數(shù)。當(dāng)你隨機地打開一個信封以后，這個信封中的錢就是你的了，為了多拿錢。你還可以改變主意，決定拿另一個信封中的錢。一個朋友聲稱有一個策略，可以使拿到錢數(shù)較大的信封的概率超過1/2。其方法如下：你連續(xù)地拋擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面出現(xiàn)為止，令x為你拋擲硬幣的次數(shù)再加上1/2。如果你頭一次打開的信封里的錢數(shù)少于x，你就換信封，否則不換，你的朋友的方法可行嗎？

初剛看到這個問題時，感覺這兩件事完全沒有關(guān)聯(lián)啊，然后看了推理之后，才覺得真的是太機智了。我們記和分別是信封中較大的錢數(shù)和較小的錢數(shù)，那么關(guān)于總共會有三種事件發(fā)生：

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是滿足對應(yīng)的事件發(fā)生，并且你第一次挑選的信封中包含的事件，同理是包含??的事件。
考慮如下事件：

????????????????W = {挑選結(jié)束時你的信封中包含}

由條件概率得：

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由全概率公式計算，得：

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所以這個策略是對的。

5.拉普拉斯繼承性準(zhǔn)則

設(shè)有個盒子，第?個盒子里有 個紅球，個白球，

隨便選取一個盒子，獨立有放回抽一個球，抽? 次。假設(shè)?次都是紅球，那再抽一個球為紅球的概率是多少?很大時這個概率會如何？

解：記E為第?次為紅球的事件，為次抽取都是紅球的時間。由于連續(xù)抽取紅球，所以盒子里面應(yīng)該會有很多紅球，于是.

事實上，拉普拉斯利用此例去計算給定5000年中每天日出的條件下明天日出的概率。

根據(jù)貝葉斯公式：

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再由全概率公式得：

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如果很大，可將求和項看成積分的近似值

????????

? 也就是：

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同理
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從而，

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當(dāng)和很大時，抽取紅球幾乎是必然的.文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-462428.html

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