1. 卡方檢驗(Chi-square test/Chi-Square Goodness-of-Fit Test)
2. 卡方檢驗詳解分析與實例

1. 概念

• 卡方值: ${\chi }^2$ 值表示觀察值與理論值之間的偏離程度。計算這種偏離程度的基本思路如下：

  1. 設(shè) $O$ 代表某個類別的觀察頻數(shù)，$E$ 代表基于某個假設(shè) $H_0$ 計算出的期望頻數(shù)，$O$ 與 $E$ 之差稱為殘差；
  2. 殘差可以表示某一個類別觀察值和理論值的偏離程度，但如果將殘差簡單相加以表示各類別觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差別，則有一定的不足之處。因為殘差有正有負，相加后會彼此抵消，綜合仍然為 $0$，為此可以將殘差平方后求和；
  3. 另一方面，殘差大小是一個相對概念，相對于期望頻數(shù)為 $10$ 時，期望頻數(shù)為 $20$ 的殘差非常大，但相對于期望頻數(shù)為 $1000$ 時 $20$ 的殘差就很小了?？紤]到這一點，人們又將殘差平方除以期望頻數(shù)再求和，以估計觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差別。

  進行上述操作之后，就得到了常用的 ${\chi }^2$ 統(tǒng)計量，其計算公式為：
  $${\chi }^2=\sum \frac{(O?E{)}^2}{E}=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i?E_i{)}^2}{E_i}=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i?n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}(\mathrm{i}=1,2,3,...,\mathrm{k})$$其中，$O_i$ 為 $i$ 水平的觀察頻數(shù)，$E_i$ 為 $i$ 水平的期望頻數(shù)，$n$ 為總頻數(shù)，$p_i$ 為 $i$ 水平的期望概率，$i$ 水平的期望頻數(shù) $E_i$ 等于總頻數(shù) $n\times i$ 水平的期望概率 $p_i$，$k$ 為單元格數(shù)。當 $n$ 比加大時，${\chi }^2$ 統(tǒng)計量近似服從 $k?1$(計算 $E_i$ 時用到的參數(shù)個數(shù))個自由度的卡方分布。

  由卡方的計算公式可知，當觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)完全一致時，${\chi }^2$ 值為 $0$；觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)越接近，兩者之間的差異越小，${\chi }^2$ 值越?。环粗?，觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)差別越大，兩者之間的差異越大，${\chi }^2$ 值越大。換言之，大的 ${\chi }^2$ 值表明觀察頻數(shù)遠離期望頻數(shù)，即表明遠離假設(shè)。小的 ${\chi }^2$ 值表明觀察頻數(shù)接近期望頻數(shù)，接近假設(shè)。因此，${\chi }^2$ 是觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間距離的一種度量指標，也是假設(shè)成立與否的度量指標。如果 ${\chi }^2$ 值小，研究者就傾向于不拒絕 $H_0$；如果 ${\chi }^2$ 值大，就傾向于拒絕 $H_0$。至于 ${\chi }^2$ 在每個具體研究中究竟要達到什么程度才能拒絕 $H_0$，則要借助于卡方分布求出所對應(yīng)的 $P$ 來確定，這就引出了顯著性水平的概念。

• 顯著性水平: 顯著性水平是估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間內(nèi)可能犯錯的概率，用 $\alpha$ 表示，即當原假設(shè)為正確時，卻把它濾掉了的概率或風(fēng)險，通常取 $\alpha =0.05$ 或 $\alpha =0.01$。這表明當做出接受原假設(shè)的決定時，其正確的可能性(概率)為 $95\%$ 或 $99\%$。

2. 卡方檢驗的基本思想

卡方檢驗是以 ${\chi }^2$ 分布為基礎(chǔ)的一種常用假設(shè)檢驗方法，它的無效建設(shè) $H_0$ 是：觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)沒有差別。

該檢驗的基本思想是：首先假設(shè) $H_0$ 成立，基于此前提計算出 ${\chi }^2$ 的值，它表示觀察值與理論值之間的偏離程度。根據(jù) ${\chi }^2$ 分布及自由度可以確定在 $H_0$ 假設(shè)成立的情況下獲得當前統(tǒng)計量及更極端情況的概率 $P$。如果 $P$ 值很小，說明觀察值與理論值偏離程度太大，應(yīng)當拒絕無效假設(shè)，表示比較資料之間有顯著差異；否則就不能拒絕無效假設(shè)，尚不能認為樣本所代表的實際情況和理論假設(shè)有差別。

根據(jù)自由度和顯著性水平查詢檢驗統(tǒng)計量臨界值，其中縱軸為自由度，橫軸為顯著性水平閾值。比如檢查單應(yīng)陣的函數(shù)，點到點的重投影誤差自由度為 $2$，在顯著性水平為 $0.05$ 時通過查表得閾值為 $5.99$：

3. 卡方檢測示例

為了驗證肺癌與吸煙的關(guān)系，我們得到如下數(shù)據(jù)：

首先假設(shè)吸煙與肺癌兩者之間沒有關(guān)系(這里應(yīng)該不用先假設(shè)有沒關(guān)系，越大就是越有關(guān)系，越小就是越?jīng)]有關(guān)系，根據(jù)數(shù)值判斷相關(guān)性)，我們計算期望值(因為上面吸煙的比例為33%，因此在吸煙與肺癌沒有關(guān)系的時候，肺癌患者吸煙與不吸煙的比例應(yīng)該是33%，沒有得肺癌的吸煙與不吸煙的比例也應(yīng)該是33%)：

帶入卡方計算公式：
$${\chi }^2=\frac{(158?109{)}^2}{109}+\frac{(169?218{)}^2}{218}+\frac{(82?131{)}^2}{131}+\frac{(311?262{)}^2}{262}=60.53$$自由度的計算方法，可以簡單抽象成：(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)，所以這里的自由度為 $1$。

通過查表可得自由度為 $1$ 時，顯著性水平為 $0.05$，當卡方值小于 $3.84$ 時，可以接受原假設(shè)，即變量之間沒有相關(guān)性?？ǚ街翟叫?，不相關(guān)的概率越大?，F(xiàn)在卡方值遠大于 $3.84$，說明兩者不相關(guān)的概率很小，即抽煙與肺癌有關(guān)。

4. ORB-SLAM2中卡方檢測剔除外點的策略

就特征點法的視覺SLAM而言，一般會計算重投影誤差。具體而言，記 $\mathbf{u}$ 為特征點的 $2D$ 位置，$\bar{\mathbf{u}}$ 為由地圖點投影到圖像上的 $2D$ 位置。重投影誤差為：
$$\mathbf{e}=\mathbf{u}?\bar{\mathbf{u}}$$重投影誤差服從高斯分布：
$$\mathbf{e}～\mathcal{N}(0,\mathbf{\Sigma })$$其中，協(xié)方差 $\mathbf{\Sigma }$ 一般根據(jù)特征點提取的金字塔層級決定。具體的，記提取ORB特征時，圖像金字塔的每層縮小尺度為 $s$(ORB-SLAM中為1.2)。在ORB-SLAM中假設(shè)第 $0$ 層的標準差為 $p$ 個pixel(ORB-SLAM中設(shè)為了1個pixel)；那么，一個在金字塔第 $n$ 層提取的特征的重投影誤差的協(xié)方差為：
$$\mathbf{\Sigma }=(s^n\times p{)}^2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$式 $\mathbf{e}=\mathbf{u}?\bar{\mathbf{u}}$ 中的誤差是一個 $2$ 維向量，這里閾值不好設(shè)置，就把它變成一個標量，計算向量的內(nèi)積 $r$(向量元素的平方和)。但是，這又有一個問題，不同金字塔層的特征點都用同一個閾值，是不是不合理呢？于是，在計算內(nèi)積的時候，利用協(xié)方差進行加權(quán)(協(xié)方差表達了不確定度)。金字塔層級越高特征點提取精度越低，協(xié)方差 $\mathbf{\Sigma }$ 越大，那么就有了：
$$r={\mathbf{e}}^T{\mathbf{\Sigma }}^{?1}\mathbf{e}$$利用協(xié)方差加權(quán)，起到了歸一化的作用，具體如上式，可以變?yōu)椋?br>$$r=({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e}{)}^T({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e})$$而：
$$({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e})～\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$$為多維標準正態(tài)分布，也就是說不同金字塔層提取的特征，計算的重投影誤差都被歸一化了，或者說去量綱化了，那么，我們只用一個閾值就可以了。

4.1 示例，卡方檢驗計算置信度得分: CheckFundamental()、CheckHomography()

根據(jù)重投影誤差構(gòu)造統(tǒng)計量 ${\chi }^2$，其值越大，觀察結(jié)果和期望結(jié)果之間的差別越顯著，某次計算越可能用到了外點：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-460064.html

float Initializer::CheckHomography(const cv::Mat &H21, const cv::Mat &H12, vector<bool> &vbMatchesInliers, float sigma) {
  const int N = mvMatches12.size();

  //取出單應(yīng)矩陣H各位上的值
  const float h11 = H21.at<float>(0, 0);
  const float h12 = H21.at<float>(0, 1);
  const float h13 = H21.at<float>(0, 2);
  const float h21 = H21.at<float>(1, 0);
  const float h22 = H21.at<float>(1, 1);
  const float h23 = H21.at<float>(1, 2);
  const float h31 = H21.at<float>(2, 0);
  const float h32 = H21.at<float>(2, 1);
  const float h33 = H21.at<float>(2, 2);

  const float h11inv = H12.at<float>(0, 0);
  const float h12inv = H12.at<float>(0, 1);
  const float h13inv = H12.at<float>(0, 2);
  const float h21inv = H12.at<float>(1, 0);
  const float h22inv = H12.at<float>(1, 1);
  const float h23inv = H12.at<float>(1, 2);
  const float h31inv = H12.at<float>(2, 0);
  const float h32inv = H12.at<float>(2, 1);
  const float h33inv = H12.at<float>(2, 2);

  vbMatchesInliers.resize(N);//標記是否是內(nèi)點
  float score = 0;//置信度得分
  const float th = 5.991;//<---自由度為2(u,v),顯著性水平為0.05的卡方分布對應(yīng)的臨界閾值
  const float invSigmaSquare = 1.0 / (sigma * sigma);//信息矩陣,方差平方的倒數(shù)

  for (int i = 0; i < N; i++) {//雙向投影,計算加權(quán)投影誤差
    bool bIn = true;

    //step1. 提取特征點對
    const cv::KeyPoint &kp1 = mvKeys1[mvMatches12[i].first];
    const cv::KeyPoint &kp2 = mvKeys2[mvMatches12[i].second];

    const float u1 = kp1.pt.x;
    const float v1 = kp1.pt.y;
    const float u2 = kp2.pt.x;
    const float v2 = kp2.pt.y;

    // Reprojection error in first image
    // x2in1 = H12*x2
    //step2. 計算img2到img1的重投影誤差
    const float w2in1inv = 1.0 / (h31inv * u2 + h32inv * v2 + h33inv);
    const float u2in1 = (h11inv * u2 + h12inv * v2 + h13inv) * w2in1inv;
    const float v2in1 = (h21inv * u2 + h22inv * v2 + h23inv) * w2in1inv;
    const float squareDist1 = (u1 - u2in1) * (u1 - u2in1) + (v1 - v2in1) * (v1 - v2in1);
    const float chiSquare1 = squareDist1 * invSigmaSquare;

    //step3. 離群點標記上,非離群點累加計算得分
    if (chiSquare1 > th)
      bIn = false;
    else
      score += th - chiSquare1;

    // Reprojection error in second image
    // x1in2 = H21*x1
    //step4. 計算img1到img2的重投影誤差
    const float w1in2inv = 1.0 / (h31 * u1 + h32 * v1 + h33);
    const float u1in2 = (h11 * u1 + h12 * v1 + h13) * w1in2inv;
    const float v1in2 = (h21 * u1 + h22 * v1 + h23) * w1in2inv;
    const float squareDist2 = (u2 - u1in2) * (u2 - u1in2) + (v2 - v1in2) * (v2 - v1in2);
    const float chiSquare2 = squareDist2 * invSigmaSquare;

    //step5. 離群點標記上,非離群點累加計算得分
    if (chiSquare2 > th)
      bIn = false;
    else
      score += th - chiSquare2;

    if (bIn)
      vbMatchesInliers[i] = true;
    else
      vbMatchesInliers[i] = false;
  }

  return score;
}

到了這里，關(guān)于ORB-SLAM內(nèi)的卡方檢驗的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！