卡爾曼增益是卡爾曼濾波理論中的一個(gè)核心概念。一般教材里面是這么給出它的公式的：
圖1 ?卡爾曼增益
直覺上容易理解，所謂的增益是指每次融合數(shù)據(jù)后不確定性的變化程度。如果融合了新的數(shù)據(jù)后不確定性降低了，那么這個(gè)增益就是正面的，有助于提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。如果不確定性反而升高了，那么這個(gè)增益就是負(fù)面的，對(duì)于系統(tǒng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性反而起了反面作用。
注意這里的“不確定性”，是用每次估計(jì)的隨機(jī)變量的協(xié)方差來(lái)量化表示的。每次迭代融合時(shí)協(xié)方差都會(huì)變化，卡爾曼增益也隨之變化。因此迭代計(jì)算協(xié)方差，進(jìn)而計(jì)算卡爾曼增益是整個(gè)濾波計(jì)算過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)。
有了增益計(jì)算的公式，接下來(lái)就是卡爾曼更新公式，常見的是以下形式：
圖2 ?更新公式
一般教材里并沒(méi)有給出這個(gè)公式是怎么來(lái)的，而是把這個(gè)公式當(dāng)作自明，直接用定義的形式給出；
其中Kn是卡爾曼增益。(Zn ? Xn,n?1) 被定義為innovation（Innovation有的譯作”新息“，有的譯作”殘差“?！毙孪ⅰ胺g得還算能理解，”殘差“這個(gè)詞譯得就有點(diǎn)晦澀）。直覺上這個(gè)公式也的確好理解，就是我們每次做新的估計(jì)時(shí)，把新的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)上次估計(jì)值的增量部分，以卡爾曼增益為比例融入新的估計(jì)值。
然而這畢竟只是直覺上的感性認(rèn)識(shí)，一般教材這么寫是因?yàn)楸阌趯W(xué)生理解，并不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。那為什么更新公式可以寫成這種形式呢？
證明有若干種。其中一種較為簡(jiǎn)單而又不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖菑母怕拭芏群瘮?shù)乘積的思路著手給出的。這個(gè)證明以貝葉斯估計(jì)的結(jié)論為基礎(chǔ)作為出發(fā)點(diǎn)：
圖3 貝葉斯估計(jì)
其中，
圖4?
記
圖5
則有：
圖6
在卡爾曼濾波的語(yǔ)境下，
圖7
都服從高斯分布，這樣實(shí)際上我們?cè)谟?jì)算兩個(gè)高斯分布的乘積，所得新分布的期望和方差為：
圖8
繼續(xù)對(duì)圖9中第一個(gè)等式進(jìn)行變換，
我們得到
圖9
其中：
圖10文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-452939.html
圖9就是圖2中的更新公式的形式，圖10就是用協(xié)方差形式表達(dá)的卡爾曼增益。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-452939.html
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