?????? 所謂矩陣的分解，就是將一個(gè)矩陣寫成結(jié)構(gòu)比較簡單的或性質(zhì)比較熟悉的另一些矩陣的乘積。矩陣的分解方法有很多種，包括三角分解、QR（正交三角）分解、最大秩分解、奇異值分解和譜分解，所有這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問題的解法中都扮演著十分重要的角色。
本文介紹矩陣的譜分解(Eigen decomposition / Spectral decomposition)，不多廢話了、直接進(jìn)入正題、
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設(shè)矩陣 有特征根 ，其對應(yīng)的特征向量為 , 根據(jù)定義有
同時(shí)，矩陣A和它的轉(zhuǎn)置 的特征值是相同的，都是 ，因?yàn)樗鼈兊奶卣鞫囗?xiàng)式是相同的：
因此，存在向量 ，使得
將上式取轉(zhuǎn)置，有
這里，稱 為A的左特征向量， 則為A的右特征向量.
由此可知，對于矩陣A的每一個(gè)特征值 ，存在向量 和 使
,?
?A的特征根如果全不同（若相同，此種情況在下文介紹），設(shè)為 ,就有2n個(gè)向量 ，，i=1,2,...,n，使
? ， ? ，
?記? ，則有
其中 ? ? 為對應(yīng)特征值構(gòu)成的對角矩陣.
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要使A表示成其他矩陣的乘積（譜分解的形式），需要上式中的U和V可逆(右乘它的逆矩陣)，即要證明 和 存在，這等同于證明 是線性無關(guān)的，下面給出證明（反證法證明其中一組，另一組同理）：
若 是線性相關(guān)的，那么存在一組不全為0的數(shù) ，使得
① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
于是就有
② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
?由于 中至少有一個(gè)不為0，所以可以
③ 將某個(gè) 用其他的向量 來表示，并將其代入②中的 ，這樣可以消去一個(gè)
不妨記為消去 ，在代入消去后，就有不全為0的 ，使得 ? ? ，重復(fù)③的做法，逐一消去后得到 ，考慮到矩陣的特征向量不為零向量，所以原假設(shè)錯(cuò)誤，由此證明U是可逆的，同理，V也是可逆的.
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?又因?yàn)?/p>
?
于是，當(dāng) 時(shí)， 對一切 成立，也即
易見 存在，且 ，即 ，由 ，就有
? 時(shí)A的特征向量，那么 仍然是A的特征向量，適當(dāng)選取 以及 ，使得 ，于是 ，因此有
上式就是矩陣的譜分解，特征根 也稱為矩陣A的譜.
易見， 就是一個(gè)矩陣，因此A被分解為n個(gè)矩陣 的線性組合的形式，其系數(shù)就是A的譜.
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?????? 另外，若A的特征根有重根，例如 是A的 重根，若相應(yīng)于 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么上面的討論仍可以進(jìn)行. 但是如果A的某個(gè)特征根的重?cái)?shù)與它的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)不相同，那么譜分解就不成立.文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-451364.html
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到了這里，關(guān)于矩陣的譜分解 （詳細(xì)推導(dǎo)步驟~~~特征值分解特征向量的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
