題目

給定一個(gè) n 行 m?列矩陣 matrix?，矩陣內(nèi)所有數(shù)均為非負(fù)整數(shù)。 你需要在矩陣中找到一條最長路徑，使這條路徑上的元素是遞增的。并輸出這條最長路徑的長度。

這個(gè)路徑必須滿足以下條件：

1. 對(duì)于每個(gè)單元格，你可以往上，下，左，右四個(gè)方向移動(dòng)。 你不能在對(duì)角線方向上移動(dòng)或移動(dòng)到邊界外。
2. 你不能走重復(fù)的單元格。即每個(gè)格子最多只能走一次。

數(shù)據(jù)范圍：1≤n，m≤1000，0≤matrix[i][j]≤1000。

進(jìn)階：空間復(fù)雜度?O(nm)，時(shí)間復(fù)雜度?O(nm)。

例如：當(dāng)輸入為[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出為5，其中的一條最長遞增路徑如下圖所示：

示例1

輸入：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

返回值：5

說明：1->2->3->6->9即可。當(dāng)然這種遞增路徑不是唯一的。

示例2

輸入：[[1,2],[4,3]]

返回值：4

說明：?1->2->3->4

備注：矩陣的長和寬均不大于1000，矩陣內(nèi)每個(gè)數(shù)不大于1000。

思路1：深度優(yōu)先搜索（dfs）(推薦使用)

深度優(yōu)先搜索一般用于樹或者圖的遍歷，其他有分支的（如二維矩陣）也適用。

它的原理是從初始點(diǎn)開始，一直沿著同一個(gè)分支遍歷，直到該分支結(jié)束，然后回溯到上一級(jí)繼續(xù)沿著一個(gè)分支走到底，如此往復(fù)，直到所有的節(jié)點(diǎn)都有被訪問到。

既然是查找最長的遞增路徑長度，那我們首先要找到這個(gè)路徑的起點(diǎn)，起點(diǎn)不好直接找到，就從上到下從左到右遍歷矩陣的每個(gè)元素。然后以每個(gè)元素都可以作為起點(diǎn)查找它能到達(dá)的最長遞增路徑。

如何查找以某個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)的最長遞增路徑呢？我們可以考慮深度優(yōu)先搜索，因?yàn)槲覀儾檎疫f增路徑的時(shí)候，每次選中路徑一個(gè)點(diǎn)，然后找到與該點(diǎn)相鄰的遞增位置，相當(dāng)于進(jìn)入這個(gè)相鄰的點(diǎn)，繼續(xù)查找遞增路徑，這就是遞歸的子問題。因此遞歸過程如下：

• 終止條件：?進(jìn)入路徑最后一個(gè)點(diǎn)后，四個(gè)方向要么是矩陣邊界，要么沒有遞增的位置，路徑不能再增長，返回上一級(jí)。
• 返回值：?每次返回的就是本級(jí)之后的子問題中查找到的路徑長度加上本級(jí)的長度。
• 本級(jí)任務(wù)：?每次進(jìn)入一級(jí)子問題，先初始化后續(xù)路徑長度為0，然后遍歷四個(gè)方向（可以用數(shù)組表示，下標(biāo)對(duì)數(shù)組元素的加減表示去往四個(gè)方向），進(jìn)入符合不是邊界且在遞增的鄰近位置作為子問題，查找子問題中的遞增路徑長度。因?yàn)橛兴膫€(gè)方向，所以最多有四種遞增路徑情況，因此要維護(hù)當(dāng)級(jí)子問題的最大值。

具體做法：

• step 1：使用一個(gè)dp數(shù)組記錄i，j處的單元格擁有的最長遞增路徑，這樣在遞歸過程中如果訪問到就不需要重復(fù)訪問。
• step 2：遍歷矩陣每個(gè)位置，都可以作為起點(diǎn)，并維護(hù)一個(gè)最大的路徑長度的值。
• step 3：對(duì)于每個(gè)起點(diǎn)，使用dfs查找最長的遞增路徑：只要下一個(gè)位置比當(dāng)前的位置數(shù)字大，就可以深入，同時(shí)累加路徑長度。

代碼1

import java.util.*;

public class Solution {
    //記錄4個(gè)方向
    private int[][] dirs = new int[][] {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
    private int n, m;

    public int solve (int[][] matrix) {
        //邊界條件判斷
        if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = 0;
        n = matrix.length;
        m = matrix[0].length;
        //j,j處的單元格擁有的最長遞增路徑
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                //更新最大值
                res = Math.max(res, dfs(matrix, dp, i, j));
            }
        }

        return res;
    }

    //深度優(yōu)先搜索，返回最大單元格數(shù)
    public int dfs(int[][] matrix, int[][] dp, int i, int j) {
        if (dp[i][j] != 0) {
            return dp[i][j];
        }

        dp[i][j]++;

        for(int k = 0; k < 4; k++) {
            int nexti = i + dirs[k][0];
            int nextj = j + dirs[k][1];
            //判斷下一個(gè)要遍歷的位置是否滿足條件：在矩陣范圍內(nèi)且滿足路徑遞增
            if(nexti >= 0 && nexti < n && nextj >= 0 && nextj < m && matrix[nexti][nextj] > matrix[i][j]) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dfs(matrix, dp, nexti, nextj) + 1);
            }
        }

        return dp[i][j];
    }
}

• 時(shí)間復(fù)雜度：O(mn)，m、n分別為矩陣的兩邊，遍歷整個(gè)矩陣以每個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，然后遞歸相當(dāng)于遍歷填充dp矩陣。
• 空間復(fù)雜度：O(mn)，輔助矩陣的空間是一個(gè)二維數(shù)組。

思路2：廣度優(yōu)先搜索（bfs）

廣度優(yōu)先搜索與深度優(yōu)先搜索不同，它是將與某個(gè)節(jié)點(diǎn)直接相連的其它所有節(jié)點(diǎn)依次訪問一次之后，再往更深處，進(jìn)入與其他節(jié)點(diǎn)直接相連的節(jié)點(diǎn)。

bfs的時(shí)候我們常常會(huì)借助隊(duì)列的先進(jìn)先出，因?yàn)閺哪硞€(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，我們將與它直接相連的節(jié)點(diǎn)都加入隊(duì)列，它們優(yōu)先進(jìn)入，則會(huì)優(yōu)先彈出，在它們彈出的時(shí)候再將與它們直接相連的節(jié)點(diǎn)加入，由此就可以依次按層訪問。

我們可以將矩陣看成是一個(gè)有向圖，一個(gè)元素到另一個(gè)元素遞增，代表有向圖的箭頭。這樣我們可以根據(jù)有向圖的出度入度找到最長的路徑，且這個(gè)路徑在矩陣中就是遞增的。

具體做法：

• step 1：計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)（單元格）所對(duì)應(yīng)的出度（符合邊界條件且遞增），對(duì)于作為邊界條件的單元格，它的值比所有的相鄰單元格的值都要大，因此作為邊界條件的單元格的出度都為0。利用一個(gè)二維矩陣記錄每個(gè)單元格的出度
• step 2：利用拓?fù)渑判虻乃枷?，從所有出度?的單元格開始進(jìn)行廣度優(yōu)先搜索。
• step 3：借助隊(duì)列來廣度優(yōu)先搜索，隊(duì)列中每次加入出度為0的點(diǎn)，即路徑最遠(yuǎn)點(diǎn)，每次從A點(diǎn)到B點(diǎn)，便將A點(diǎn)出度減一。
• step 4：每次搜索都會(huì)遍歷當(dāng)前層的所有單元格，更新其余單元格的出度，并將出度變?yōu)?的單元格加入下一層搜索。
• step 5：當(dāng)搜索結(jié)束時(shí)，搜索的總層數(shù)即為矩陣中的最長遞增路徑的長度，因?yàn)閎fs的層數(shù)就是路徑增長的層數(shù)。

代碼文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-448796.html

import java.util.*;

public class Solution {
    //記錄4個(gè)方向
    private int[][] dirs = new int[][] {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
    private int n, m;

    public int solve (int[][] matrix) {
        //邊界條件判斷
        if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = 0;
        n = matrix.length;
        m = matrix[0].length;
        //j,j處的單元格擁有的最長遞增路徑
        int[][] outdegrees = new int[m + 1][n + 1];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int nexti = i + dirs[k][0];
                    int nextj = j + dirs[k][1];
                    if (nexti >= 0 && nexti < n && nextj >= 0 && nextj < m &&
                            matrix[nexti][nextj] > matrix[i][j]) {
                        //符合條件，記錄出度
                        outdegrees[i][j]++;
                    }
                }
            }
        }

        //輔助隊(duì)列
        Queue<Integer> q1 = new LinkedList<Integer>();
        Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (outdegrees[i][j] == 0) {
                    //找到出度為0的入隊(duì)
                    q1.offer(i);
                    q2.offer(j);
                }
            }
        }

        while (!q1.isEmpty()) {
            res++;
            int size = q1.size();
            for (int x = 0; x < size; x++) {
                int i = q1.poll();
                int j = q2.poll();
                //四個(gè)方向
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int nexti = i + dirs[k][0];
                    int nextj = j + dirs[k][1];
                    //逆向搜索，所以下一步是小于
                    if (nexti >= 0 && nexti < n && nextj >= 0 && nextj < m &&
                            matrix[nexti][nextj] < matrix[i][j]) {
                        //符合條件，出度遞減
                        outdegrees[nexti][nextj]--;
                        if (outdegrees[nexti][nextj] == 0) {
                            q1.offer(nexti);
                            q2.offer(nextj);
                        }
                    }
                }
            }
        }

        return res;
    }
}

• 時(shí)間復(fù)雜度：O(mn)，m、n分別為矩陣的兩邊，相當(dāng)于遍歷整個(gè)矩陣兩次。
• 空間復(fù)雜度：O(mn)，輔助矩陣的空間是一個(gè)二維數(shù)組。

到了這里，關(guān)于BM61-矩陣最長遞增路徑的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！