引言：如何判定兩個矩陣相似

相似矩陣，本質(zhì)上是同一個線性變換在不同坐標系下的矩陣
因此，兩個矩陣相似的一大特點是：特征值相同，各特征值的幾何重數(shù)/代數(shù)重數(shù)相同

進而，我們可以用特征多項式、特征值、行列式、跡、秩 等相似不變量來迅速輔助判定兩個矩陣是否相似，但這些都不是充要條件

兩個矩陣相似的充要條件：兩個矩陣具有相同的Jordan標準型（包含了大量信息，如特征值、代數(shù)/幾何重數(shù)、特征向量和可對角化判定的信息，下面會說明）

• Jordan標準型是一整個“相似矩陣大家族”的典型代表，根據(jù)相似關(guān)系的傳遞性，上述結(jié)論顯然

Jordan標準型

Jordan標準型可以視為一種“矩陣三角化”。（ps. 也可以理解為一種由Jordan塊構(gòu)成的主對角分塊矩陣）

對于n階方陣$\mathbf{A}$，一定存在正交矩陣/酉矩陣$\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}$相似于上三角陣：$\mathbf{A}=\mathbf{QU}{\mathbf{Q}}^T$，詳見矩陣三角化的 Schur 定理
如果將正交矩陣改為普通的可逆矩陣$\mathbf{P}$，同樣可以得到上三角陣$\mathbf{J}$，即Jordan標準型：$\mathbf{A}=\mathbf{PJ}{\mathbf{P}}^{?1}$

為何要三角化？Jordan標準型是由于無法相似對角化而提出的，而上三角陣就是最接近對角矩陣的“最佳形式”

Jordan標準型的一般形式

任何方陣$\mathbf{A}$都相似于一個Jordan標準型:$\mathbf{A}=\mathbf{PJ}{\mathbf{P}}^{?1}$

Jordan標準型$\mathbf{J}$由多個Jordan塊組成
J = [ J m 1 ( λ 1 ) 0 ? 0 0 J m 2 ( λ 2 ) ? 0 ? ? ? ? 0 0 ? J m k ( λ k ) ] ，其中 J m i ( λ i ) = [ λ i 1 ? ? ? 1 λ i ] m i × m i \mathbf J=\left[\begin{array}{cccc} J_{m_1}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}\left(\lambda_{2}\right) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{m_k}\left(\lambda_{k}\right) \end{array}\right]，其中J_{m_i}\left(\lambda_{i}\right)=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{i} & 1 & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_{i} \end{array}\right]_{m_i\times m_i} J= ?Jm1??(λ1?)0?0?0Jm2??(λ2?)?0??????00?Jmk??(λk?)? ?，其中Jmi??(λi?)= ?λi??1?????1λi?? ?mi?×mi??
一般默認的排列順序為${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ...\ge {\lambda }_k$

每個Jordan塊$J\left({\lambda }_i\right)$的對角線上為特征值${\lambda }_i$，對角線上方全為1

Jordan標準型中隱含的信息

• 特征值：$\mathbf{J}$的所有主對角元${\lambda }_1,...,{\lambda }_k$

• 特征值${\lambda }_i$的代數(shù)重數(shù) ${\beta }_i$：$\mathbf{J}$的對角線上${\lambda }_i$的出現(xiàn)次數(shù)（特征值${\lambda }_i$的重根數(shù)）
  ps. 代數(shù)重數(shù)滿足${\beta }_i+{\beta }_2+...+{\beta }_k=n$

• 特征值${\lambda }_i$的幾何重數(shù) $n_i$：主對角元為${\lambda }_i$的Jordan塊個數(shù)
  （一個Jordan塊對應(yīng)一個獨立的特征向量/一個幾何重數(shù)）

  矩陣可對角化，那么其所有特征值的幾何重數(shù)=代數(shù)重數(shù)，也就是說其Jordan標準型中所有的Jordan塊都必須為1階的

  或者說，可對角化矩陣，其Jordan標準型就是一個對角矩陣

• 某個Jordan塊的特征向量（不是原矩陣$\mathbf{A}$的特征向量）：

每個Jordan塊可以被寫為 J m ( λ ) = [ λ 1 ? ? ? 1 λ ] = [ λ ? ? λ ] + [ 0 1 ? ? ? 1 0 ] = λ I m + J m ( 0 ) \begin{aligned}J_{m}(\lambda)&=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & & \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\& & & \lambda\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{llll}\lambda & & & \\& \ddots & & \\& & \ddots & \\& & & \lambda\end{array}\right] +\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & & \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\& & & 0\end{array}\right] \\ &=\lambda I_{m}+J_{m}(0)\end{aligned} Jm?(λ)?= ?λ?1?????1λ? ?= ?λ?????λ? ?+ ?0?1?????10? ?=λIm?+Jm?(0)?這是一個單位陣和一個冪零(nilpotent)矩陣
①單位陣的特征值為$\lambda$，特征向量為任意向量（$\lambda {\mathbf{I}}_m\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$）
②冪零矩陣$J_m(0)$的特征值為0，且相應(yīng)的特征子空間維數(shù)為$m?rank=1$，唯一的（單位長度）特征向量為${\mathbf{e}}_1$（$J_m(0){\mathbf{e}}_1=0$），而對于其他標準單位向量則有$J_m(0){\mathbf{e}}_i={\mathbf{e}}_{i?1},i>1$
由②，Jordan塊的特征向量必然是標準單位向量（例如${\mathbf{e}}_i$代表單位陣$\mathbf{E}$的第$i$列）

綜合①②可知，該Jordan塊的特征向量為$$\begin{gathered} J_m(\lambda ){\mathbf{e}}_1=\lambda {\mathbf{e}}_1 \\ {J}_m(\lambda ){\mathbf{e}}_i=\lambda {\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_{i?1},i=2,\dots ,m \end{gathered}$$

可以看出，每個$m$階的Jordan塊$J_m(0)$有且僅有一個特征向量${\mathbf{e}}_1$（因此上面說“一個Jordan塊對應(yīng)一個幾何重數(shù)”），而其余的$m?1$個標準單位向量${\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3,...,{\mathbf{e}}_m$稱為廣義特征向量(generalized eigenvector)

（可對角化的矩陣，其無關(guān)特征向量可張成整個空間，而Jordan標準型的情況，其所有廣義特征向量張成整個空間），詳見Jordan 形式大解讀 （上） | 線代啟示錄

• 舉例說明：

例如
J A = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ] , [ 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( J 3 ( 2 ) , J 2 ( 2 ) , J 2 ( 3 ) ) 和 J B = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( [ 2 1 0 2 ] , [ 2 1 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( J 2 ( 2 ) , J 2 ( 2 ) , J 2 ( 3 ) ) \begin{aligned}\mathbf J_{A} &=blkdiag(\left[\begin{array}{lll|l} 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 \\\hline 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2\end{array}\right], [2], \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(J_3(2),J_2(2),J_2(3))\end{aligned}和\begin{aligned}\mathbf J_{B}&=blkdiag(\left[\begin{array}{ll|ll} 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right]) \\ &=blkdiag(\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(J_2(2),J_2(2),J_2(3))\end{aligned} JA??=blkdiag( ?2000?1200?0120?0002?? ?,[30?13?])=blkdiag( ?200?120?012? ?,[2],[30?13?])=blkdiag(J3?(2),J2?(2),J2?(3))?和JB??=blkdiag( ?2000?1200?0020?0012?? ?,[30?13?])=blkdiag([20?12?],[20?12?],[30?13?])=blkdiag(J2?(2),J2?(2),J2?(3))?
其中，${\mathbf{J}}_A$的特征值為$2,3$：
特征值$2$的代數(shù)重數(shù)為$4$，幾何重數(shù)為$2$
特征值$3$的代數(shù)重數(shù)為$2$，幾何重數(shù)為$1$
${\mathbf{J}}_A$的特征值$2$的兩個特征向量為 [ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ] → e 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) T [ 2 ] → e 4 = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) T \begin{aligned}{\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2\end{array}\right]\rightarrow \mathbf{e}_{1}=(1,0,0,0,0,0)^{T}} \\ {[2] \rightarrow \mathbf{e}_{4}=(0,0,0,1,0,0)^{T}}\end{aligned} ?200?120?012? ?→e1?=(1,0,0,0,0,0)T[2]→e4?=(0,0,0,1,0,0)T?；
${\mathbf{J}}_A$的特征值$3$的特征向量為$\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]\to {\mathbf{e}}_5=(0,0,0,0,1,0{)}^T$

${\mathbf{J}}_B$的特征值為$2,3$：
特征值$2$的代數(shù)重數(shù)為$4$，幾何重數(shù)為$2$
特征值$3$的代數(shù)重數(shù)為$2$，幾何重數(shù)為$1$
${\mathbf{J}}_B$的特征值$2$的兩個特征向量為$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\to {\mathbf{e}}_1=(1,0,0,0,0,0{)}^T\\ \left[\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\to {\mathbf{e}}_3=(0,0,1,0,0,0{)}^T\end{array}$；
${\mathbf{J}}_B$的特征值$3$的特征向量為$\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]\to {\mathbf{e}}_5=(0,0,0,0,1,0{)}^T$

Jordan標準型的計算方式

見Jordan 形式大解讀 （下）

Jordan標準型的應(yīng)用

Jordan標準型在數(shù)值計算上的用處不大，但是可用于分析矩陣特征值情況，另外，證明兩個矩陣相似的通用方法就是證明它們有相同的Jordan標準型

Reference:
Jordan 典型形式淺說 （上）
Jordan 典型形式淺說 （下）
Jordan 形式大解讀 （上）
Jordan 形式大解讀 （下）文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-445638.html

到了這里，關(guān)于矩陣理論| 基礎(chǔ)：Jordan標準型（從Jordan標準型求代數(shù)重數(shù)/幾何重數(shù)/特征向量）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！