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1. 小波變換

1.1 小波變換基本概念

信號變換是為了分析時間和頻率之間的相互關系。

傅里葉變換（FFT）將信號表示為無限三角函數(shù)的疊加，從而將信號從時域轉換到頻域，可以分析信號的頻譜，但不能反映信號的時頻特征，丟失了局部信息。

短時傅里葉變換（STFT）通過引入時間窗獲得信號的時頻譜圖，但窗口尺寸是固定的，不能兼顧頻域信息與時域信息，即不能同時對高頻和低頻進行精確分析。

小波變換以尺度函數(shù)（scaling）和小波函數(shù)（wavelet function）作為基函數(shù)進行信號分解?？s放母小波的寬度獲得信號的頻域特征，通過平移母小波獲得信號的時間信息。

小波函數(shù)是定義在有限間隔且均值為0的一種函數(shù)。使用有限長的衰減的小波基， 既包含了頻率的信息，也包含了時間的信息 。小波函數(shù)的尺度對應于頻率，控制小波函數(shù)的伸縮，平移量對應于時間，控制小波函數(shù)的平移。

小波族類的產(chǎn)生只需要滿足兩個條件：歸一化約束和正交化約束。因此小波有很多族類， 每個小波族在小波的緊湊性和平滑性做出了不同的權衡，對應著不同的形狀、光滑度和緊密型，應用于不同的場景和狀況。

例程 17_1：常用小波族的圖像

import pywt
print(pywt.families(short=False))

# 顯示的結果
['Haar', 'Daubechies', 'Symlets', 'Coiflets', 'Biorthogonal', 'Reverse biorthogonal', 
'Discrete Meyer (FIR Approximation)', 'Gaussian', 'Mexican hat wavelet', 'Morlet wavelet', 
'Complex Gaussian wavelets', 'Shannon wavelets', 'Frequency B-Spline wavelets', 'Complex Morlet wavelets']

運行結果：

[‘Haar’, ‘Daubechies’, ‘Symlets’, ‘Coiflets’, ‘Biorthogonal’, ‘Reverse biorthogonal’, ‘Discrete Meyer (FIR Approximation)’, ‘Gaussian’, ‘Mexican hat wavelet’, ‘Morlet wavelet’, ‘Complex Gaussian wavelets’, ‘Shannon wavelets’, ‘Frequency B-Spline wavelets’, ‘Complex Morlet wavelets’]

1.2 連續(xù)小波變換

傅里葉變換將信號$f(t)$分解為一系列不同頻率的正弦信號的疊加，傅里葉系數(shù)對應于不同正弦信號的幅值。小波變換將信號$f(t)$分解為一系列小波信號的疊加，產(chǎn)生一系列小波信號的基本小波可以根據(jù)需要來選擇或設計。

連續(xù)小波變換為：
$$\gamma (s,\tau )=\int f(t){\Psi }_{s,\tau }^{?}(t)dt$$
連續(xù)小波變換的逆變換為：
$$f(t)=\int \int \gamma (s,\tau ){\Psi }_{s,\tau }(t)dsdt$$
其中，* 表示復共軛，${\Psi }_{s,\tau }(t)$為小波基函數(shù)（basic wavelet）。

不同小波基函數(shù)，都是由同一個基本小波（母小波）$\Psi (t)$ 經(jīng)過縮放和平移產(chǎn)生。
$${\Psi }_{s,\tau }(t)=\frac{1}{\sqrt{s}}\Psi (\frac{t?\tau }{s})$$
離散小波變換，通過二進小波變換（縮放因子取為2）把由基本小波生成小波基函數(shù)的方法表示為：
$${\Psi }_{j,k}(x)=2^{j/2}?\Psi (2^{j}x?k),k=0,...2^j?1$$
其中j決定縮放系數(shù)，k決定平移幅度。

在圖像處理中，離散小波變換將圖像分解為大小、位置和方向都不同的分量。對圖像進行小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子圖像，構造出圖像金字塔。

小波變換中，縮放因子scale越小，表示小波越窄，對應的信號頻率越高，反映的是信號的細節(jié)變化；縮放因子越大，表示小波越寬，對應的信號頻率越低，反映的是信號的輪廓變化。

1.3 離散小波變換（Discrete wavelet transform, DWT）

雙通道子帶編碼通過兩個互補的濾波器組：

• 低通濾波器，得到信號的近似值A，相當于小波伸展，獲得當前信號的低頻特征，反映輪廓特征；
• 高通濾波器，得到信號的細節(jié)值D，相當于小波伸縮，獲得當前信號的高頻特征，反映細節(jié)特征。

實際應用中，信號的低頻特征最重要，高頻分量只起細化修飾的作用。

小波變換可以表示為由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，繼續(xù)下去可以進行多級分解。

如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進行連續(xù)分解，可以得到信號在不同分辨率下的低頻分量。

1.4 二維離散小波變換

圖像是典型的二維離散信號。將一維離散小波變換開展到二維函數(shù)，就能實現(xiàn)圖像的二維離散小波變換。

在二維情況下，每個二維小波都是兩個一維小波的積，產(chǎn)生 4 個可分離的尺度函數(shù)：
$$\begin{gathered} \phi (x,y)=\phi (x)\phi (y) \\ {\Psi }^H(x,y)=\Psi (x)\phi (y) \\ {\Psi }^V(x,y)=\phi (x)\Psi (y) \\ {\Psi }^D(x,y)=\Psi (x)\Psi (y) \end{gathered}$$
這些小波度量圖像中灰度沿不同方向的變化：

• ${\Psi }^H(x,y)$ 響應列的變化（水平邊緣）。
• ${\Psi }^V(x,y)$ 響應行的變化（垂直邊緣）。
• ${\Psi }^D(x,y)$ 響應對角線的變化。

例程 17_3：圖像的小波變換

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':
    # (3) 圖像的二維小波變換
    img = cv.imread("../images/Fig0515a.tif", flags=0)
    img = cv.resize(img, (512, 512)).astype(np.float32)

    coeffs = pywt.dwt2(img, 'haar')
    cA, (cH, cV, cD) = coeffs  # 低頻分量，(水平高頻，垂直高頻，對角線高頻)

    # 拼接子圖
    AH = np.concatenate([cA, cH], axis=1)
    VD = np.concatenate([cV, cD], axis=1)
    dwt1 = np.concatenate([AH, VD], axis=0)
    print(img.shape, dwt1.shape)

    # 顯示為灰度圖
    plt.imshow(dwt1, 'gray')
    plt.title('DWT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()

2. Haar 小波變換

2.1 Haar 小波變換的基本概念

Haar 變換又稱 Haar 小波變換，由 Alfred Haar于1910年提出，是最早提出的正交小波，也是唯一既具有對稱性又是有限支撐的正交小波。

Haar 小波函數(shù)是最簡單的基函數(shù)，是一組分段的常值函數(shù)組成的函數(shù)集合。這個函數(shù)集定義在半開區(qū)間[0,1)上，每個分段常值函數(shù)的數(shù)值在一個小范圍為 1 而在其它區(qū)域為 0。

Haar小波的母小波（mother wavelet）表示為：

$$\Psi (x)=?\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1,& 0\le x<1/2\\ ?1,& 1/2\le x<1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

對應的尺度函數(shù)（scaling function）表示為：

$$?(x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1,& 0\le t<1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

其濾波器 h[n]定義為：

$$h[n]=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1/\sqrt{2},& n=0,1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

因此，

$$\begin{array}{rl}\Psi (t/2)& =\sqrt{2}\sum _{n=?\infty }^{\infty }(?1{)}^{1?n}?h[1?n]??(t?n)\\ & =?(t?1)??(t)\end{array}$$

即：

$${\Psi }_i^j(x)=\Psi (2^j?x?i),i=0,...(2^j?1)$$

$$\Psi (x)=?(2x)??(2x?1)$$

Haar 基函數(shù)可以獲取信號的尺度信息，而 Haar 小波函數(shù)可以表示信號的細節(jié)信息。
Haar 小波具有如下特點：
（1）Haar 小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為 [0,1)
（2）Haar 小波屬于正交小波。
（3）Haar 小波是對稱的。
（4）Haar 小波僅取 +1 和 -1，計算簡單。
（5）Haar 小波是不連續(xù)小波，在實際的信號分析與處理中受到了限制。

例程 17_4：一維信號的 Haar 小波分解

對一維 Chirp 信號進行 Haar 小波變換的例程和結果如下。

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':
   # (4) Chirp 信號的 Haar 小波分解
    x = np.linspace(0, 1, num=2048)
    chirp_signal = np.sin(250 * np.pi * x ** 2)

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 2))
    ax.set_title("Original Chirp Signal")
    ax.plot(chirp_signal)
    plt.show()

    data = chirp_signal
    waveletname = 'haar'

    fig, axarr = plt.subplots(nrows=5, ncols=2, figsize=(8, 6))
    for ii in range(5):
        (data, coeff_d) = pywt.dwt(data, waveletname)
        axarr[ii, 0].plot(data, 'r')
        axarr[ii, 1].plot(coeff_d, 'g')
        axarr[ii, 0].set_ylabel("Level {}".format(ii + 1), fontsize=14, rotation=90)
        axarr[ii, 0].set_yticklabels([])
        if ii == 0:
            axarr[ii, 0].set_title("Approximation coefficients", fontsize=14)
            axarr[ii, 1].set_title("Detail coefficients", fontsize=14)
        axarr[ii, 1].set_yticklabels([])
    plt.tight_layout()
    plt.show()

例程 17_5：圖像的 Haar 小波分解

對二維圖像進行 Haar 小波變換的例程和結果如下。

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
from pywt._doc_utils import wavedec2_keys, draw_2d_wp_basis

if __name__ == '__main__':
# (5) 圖像的 Haar 小波分解
    x = pywt.data.camera().astype(np.float32)
    shape = x.shape
    max_lev = 3  # 要繪制多少級分解
    label_levels = 3  # 圖上要顯式標注多少層

    fig, axes = plt.subplots(2, 4, figsize=[14, 8])
    for level in range(0, max_lev + 1):
        if level == 0:
            # 顯示原始圖像
            axes[0, 0].set_axis_off()
            axes[1, 0].imshow(x, cmap=plt.cm.gray)
            axes[1, 0].set_title('Image')
            axes[1, 0].set_axis_off()
            continue

        # 繪制標準DWT基的子帶邊界
        draw_2d_wp_basis(shape, wavedec2_keys(level), ax=axes[0, level], label_levels=label_levels)
        axes[0, level].set_title('{} level\ndecomposition'.format(level))

        # 計算二維 DWT
        c = pywt.wavedec2(x, 'haar', mode='periodization', level=level)

        # 獨立規(guī)范化每個系數(shù)數(shù)組以獲得更好的可見性
        c[0] /= np.abs(c[0]).max()
        for detail_level in range(level):
            c[detail_level + 1] = [d / np.abs(d).max() for d in c[detail_level + 1]]

        # 顯示歸一化系數(shù) (normalized coefficients)
        arr, slices = pywt.coeffs_to_array(c)
        axes[1, level].imshow(arr, cmap=plt.cm.gray)
        axes[1, level].set_title('Coefficients\n({} level)'.format(level))
        axes[1, level].set_axis_off()
    plt.tight_layout()
    plt.show()

2.2 小波變換在圖像處理中的應用

小波變換在圖像處理中的應用與傅里葉變換類似，基本方法是：
（1）計算一幅圖像的二維小波變換，并得到小波系數(shù)
（2）對小波系數(shù)進行修改，保留有效成分，過濾不必要成分
（3）使用修改后的小波系數(shù)進行圖像重建

基于小波變換的圖像去噪步驟：
（1）圖像小波變換。選擇一個小波，計算噪聲圖像的小波系數(shù)。
（2）對細節(jié)系數(shù)通過閾值進行過濾。選擇一個細節(jié)系數(shù)閾值，并對所有細節(jié)系數(shù)進行閾值化操作。
（3）基于閾值化過濾后的細節(jié)系數(shù)及原始近似系數(shù)，使用小波變換對圖像進行重建。

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