? ? ? ? 松弛迭代法是在雅可比迭代法和高斯——賽德?tīng)柕ǖ幕A(chǔ)上，以w>0為松弛因子，建立迭代格式如下：
即
? ? ? ? 我們將線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A分解成一個(gè)對(duì)角矩陣D、一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣D，即A=D-L-U，則有：
??
??
??
??
??
? ? ? ? 當(dāng)w=1時(shí)，松弛迭代法即為高斯——賽德?tīng)柕?；?dāng)w>1時(shí)為超松弛迭代法，當(dāng)w<1時(shí)為低松弛迭代法。
? ? ? ? SOR方法收斂的必要條件是：0<w<2。
1. 松弛（SOR）迭代法的matlab代碼
function [X0,err]=sor(A,b,X0,w,max1)
%輸入 -A代表線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣
% -b代表線性方程組AX=b右側(cè)的數(shù)值
% -X0代表線性方程組AX=b進(jìn)行松弛迭代法求解的迭代初值
% -w代表松弛因子
% -max1代表迭代的次數(shù)
%輸出 -X0代表通過(guò)松弛迭代法求解線性方程組AX=b的解
[N,N]=size(A);
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
D=A+L+U;
B=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=inv(D-w*L)*w*b;
for k=1:max1
X0=B*X0+f;
end
err=abs(norm(A(:,:)*X0(:)-b(:),2))? ? ? ? 在命令行窗口中輸入：
>> A=[4 -1 1;4 -8 1;-2 1 5];
>> b=[7 -21 15]';
>> X0=[0 0 0]';
>> w=1.2;
>> max1=20;
>> sor(A,b,X0,w,max1)
? ? ? ? 最后得到的結(jié)果如下：
err =
? ?2.3375e-09
ans =
? ? 2.0000
? ? 4.0000
? ? 3.0000
2. 松弛（SOR）迭代法的python代碼
import numpy as np
def sor(A,b,X0,w,max1):
'''A代表線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣
b代表線性方程組AX=b右邊的部分
X0代表高斯—賽德?tīng)柕某跏贾? w代表松弛因子
max1代表迭代的次數(shù)'''
n=np.shape(A)[0]
L=-np.tril(A,-1)
U=-np.triu(A,1)
D=A+L+U
B=np.dot(np.linalg.inv(D-w*L),((1-w)*D+w*U))
f=np.dot(np.linalg.inv(D-w*L),w*b)
for i in range(max1):
X0=np.dot(B,X0)+f
err=np.linalg.norm(np.dot(A,X0)-b,ord=2)
return X0,err
n=3
#線性方程組AX=b右邊的部分
b=np.array([[7],[-21],[15]])
#線性方程組的系數(shù)矩陣
A=np.array([[4,-1,1],[4,-8,1],[-2,1,5]])
#迭代的初值
X0=np.array([[0],[0],[0]])
#松弛因子
w=1.2
#迭代的次數(shù)
max1=20
#進(jìn)行松弛迭代法求解線性方程組AX=b的解
X,err=sor(A,b,X0,w,max1)
#輸出由松弛迭代法求得的線性方程組AX=b的解
print("X={}\nerr={}".format(X,err))? ? ? ? ?最后的輸出結(jié)果如下：文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-442677.html
X=[[2.]
?[4.]
?[3.]]
err=2.3374567113095046e-09文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-442677.html
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