本博客參考：

1. 《python數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模》
2. 《MATLAB數(shù)學(xué)建模經(jīng)典案例實(shí)戰(zhàn)》

數(shù)學(xué)問(wèn)題：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

$$\begin{gathered} maxz=8x_1?2x_2+3x_3?x_4?2x_5 \\ ?\begin{array}{rl}& x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\le 400\\ & x_1+2x_2+2x_3+x_4+6x_5\le 800\\ & 2x_1+x_2+6x_3\le 200\\ & x_3+x_4+5_5\le 200\\ & 0\le x_i\le 99,i=1,2,3,4\\ & x_5\ge ?10\end{array} \end{gathered}$$

程序設(shè)計(jì)

from scipy.optimize import linprog

c=[-8,2,-3,1,2]
A=[[1,1,1,1,1],[1,2,2,1,6],[2,1,6,0,0],[0,0,1,1,5]]
b=[[400],[800],[200],[200]]
aeq=None
beq=None
bounds=((0, 99),(0, 99),(0, 99),(0, 99),(-10,None))
res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=aeq, b_eq=beq, bounds=bounds,)

運(yùn)行結(jié)果

結(jié)果分析

從中我們看出，目標(biāo)函數(shù)z的最大值應(yīng)為823左右，此時(shí)決策變量$x_1?x_5$的值分別為[99,0,0.3,0,-10]

實(shí)際應(yīng)用1：加工廠的生產(chǎn)計(jì)劃

一家加工廠使用牛奶生產(chǎn)A,B兩種奶制品，1桶牛奶經(jīng)甲機(jī)器加工12小時(shí)得到3kgA，也可以經(jīng)過(guò)乙機(jī)器8小時(shí)得到4kgB，根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A、B可以全部出售并且每kgA獲利24元、每kgB獲利16元?，F(xiàn)在該工廠每天獲得50桶牛奶供應(yīng)，所有工人的最大勞動(dòng)時(shí)間之和為480x小時(shí)，甲機(jī)器每天最多加工100kgA，乙機(jī)器加工不限量，請(qǐng)你為該工廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)計(jì)劃，使得每天的利潤(rùn)最大

設(shè)置未知數(shù)

假設(shè)每天用于生產(chǎn)A產(chǎn)品的牛奶為$x_1$桶，用于生產(chǎn)B產(chǎn)品的牛奶為$x_2$桶，每天的利潤(rùn)為$z$元，根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型

$$\begin{gathered} maxz=3?24x_1+4?16x_2 \\ ?\begin{array}{r}{x}_1+x_2\le 50\\ 12x_1+8x_2\le 800\\ 3x_1\le 100\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式
$$\begin{gathered} minz=?3?24x_1?4?16x_2 \\ ?\begin{array}{r}{x}_1+x_2\le 50\\ 12x_1+8x_2\le 800\\ 3x_1\le 100\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0\end{array} \end{gathered}$$

程序設(shè)計(jì)

from scipy.optimize import linprog
c=[-72,-64]
A=[[1,1],[12,8]]
b=[[50],[480]]
bounds=((0,100/3.0),(0,None))

res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=None, b_eq=None, bounds=bounds) 

運(yùn)行結(jié)果

結(jié)果分析

從上面我們可以看出，利潤(rùn)最大值在3360元左右，達(dá)到最大值時(shí)，A、B產(chǎn)品的牛奶日用量分別是20桶、30桶

實(shí)際應(yīng)用2：油料加工廠的采購(gòu)和加工計(jì)劃

某加工廠加工一種油，原料為五種油（植物油1，植物油2、非植物油1，非植物油2、非植物油3），每種油的價(jià)格、硬度如圖表所示，最終生產(chǎn)的成品將以150英鎊/噸

每個(gè)月能夠提煉的植物油不超過(guò)200噸、非植物油不超過(guò)250噸，假設(shè)提煉過(guò)程中油料沒(méi)有損失，提煉費(fèi)用忽略不計(jì)，并且最終的產(chǎn)品的硬度需要在（3-6）之間（假設(shè)硬度的混合時(shí)線(xiàn)性的）。根據(jù)以上信息，請(qǐng)你為加工廠指定月采購(gòu)和加工計(jì)劃

設(shè)置未知數(shù)

假設(shè)$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$分別為每月需要采購(gòu)的原料油噸數(shù)，$x_6$為每個(gè)月加工的成品油噸數(shù)，根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型

$$\begin{gathered} maxz=?110x_1?120x_2?130x_3?110x_4?115x_5+150x_6 \\ ?\begin{array}{r}{x}_1+x_2\le 200\\ x_3+x_4+x_5\le 250\\ 8.8x_1+6.1x_2+2.0x_3+4.2x_4+5.0x_5\le 6x_6\\ 8.8x_1+6.1x_2+2.0x_3+4.2x_4+5.0x_5\ge 3x_6\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=x_6\\ x_i\ge 0,i=1,2,3,...,6\end{array} \end{gathered}$$

程序設(shè)計(jì)

from scipy.optimize import linprog

c=[110,120,130,110,115,-150]
A=[[1,1,0,0,0,0],[0,0,1,1,1,0],[8.8,6.1,2.0,4.2,5.0,-6],[-8.8,-6.1,-2.0,-4.2,-5.0,3]]
b=[[200],[250],[0],[0]]
aeq=[[1,1,1,1,1,-1]]
beq=[[0]]
bounds=((0, None),(0, None),(0, None),(0, None),(0,None),(0,450))
# bounds=((0, None),(0, None),(0, None),(0, None),(0,None),(0,None))
res=linprog(c=c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=aeq, b_eq=beq, bounds=bounds)

運(yùn)行結(jié)果

結(jié)果分析

從上面我們可以看到，五種原料油的采購(gòu)量分別為[159.25,40.7407,0,250,0]（噸），此時(shí)總利潤(rùn)可以達(dá)到最大，約為17592英鎊/月

筆者發(fā)現(xiàn)的一個(gè)沒(méi)有用的小技巧：我們知道$x_6$變量代表的是每個(gè)月的噸數(shù)，bounds參數(shù)設(shè)置決策變量的取值區(qū)間，當(dāng)在bounds中對(duì)x_6的上界不加限制時(shí)，即（0,None）,模型返回的結(jié)果中仍然將$x_6$收斂至450，你知道這是為什么嗎？

遺留的問(wèn)題

經(jīng)過(guò)這么多的應(yīng)用，我們已經(jīng)大致明白了scipy.optimize.linprog()函數(shù)的使用過(guò)程，也驚嘆于它的便利之處，但是不知道你是否能發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的缺點(diǎn)？
我們來(lái)看下面一個(gè)問(wèn)題

鋼管加工用料問(wèn)題

某零售商從鋼管廠進(jìn)貨后將鋼管切割后賣(mài)給客戶(hù)，某次進(jìn)貨該零售商得到了若干1850mm長(zhǎng)的原料鋼管?，F(xiàn)有一客戶(hù)需要15根290mm、28根315mm、21根350mm、30根455mm的鋼管。對(duì)于一個(gè)原料鋼管有四種切割模式，每次切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品），為減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪費(fèi)不能超過(guò)100mm。（要完成該客戶(hù)的需求，需要若干根原料鋼管，可能用到四種切割模式，現(xiàn)規(guī)定使用頻率最多的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)格的1/10收取加工費(fèi)，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)格的2/10收取加工費(fèi)，依次類(lèi)推）?，F(xiàn)在求使得該零售商總費(fèi)用最小的切割計(jì)劃？

分析

仔細(xì)分析我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題的線(xiàn)性規(guī)劃和上面的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題有很大不同。

在上面的問(wèn)題中，決策變量只有一種$x_1?x_n$，而且決策變量的系數(shù)的都是常數(shù)（比如$x_3+x_4+x_5\le 250$中的每個(gè)自變量系數(shù)都是1）。但是在該問(wèn)題中似乎有兩種決策變量：切割模式的使用頻次$x_i$、每種切割模式下對(duì)于一根原料鋼管產(chǎn)生的成品鋼管種類(lèi)及數(shù)量$r_{ij}$（i表示第i種切割模式，j表示第j種成品鋼管）。

scipy.optimize.linprog()的缺陷？

這就讓我們?cè)诹信e約束條件時(shí)遇到了很大的困難，比如其中一個(gè)不等式是這樣的${\sum }_{i=1}^4{x}_i\times r_{1i}\ge 15(i=\mathrm{1...4})$，看到這里我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)決策變量相乘，如果繼續(xù)使用scipy.optimize.linprog()函數(shù)，參數(shù)A_ub怎么??？參數(shù)bounds到底該以誰(shuí)作為決策變量？

現(xiàn)在我們似乎遇到了困難，實(shí)際上并不是linprog()函數(shù)的問(wèn)題，因?yàn)楹瘮?shù)就是用來(lái)求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的，而我們現(xiàn)在提出的這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，所以，要解決它我們需要“另辟蹊徑”了！下一個(gè)博客我們將用另外一個(gè)第三方庫(kù)解決這個(gè)問(wèn)題文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-412615.html

到了這里，關(guān)于python數(shù)學(xué)建模--線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題案例及求解的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！