這篇是繼PCA和KPCA、t-SNE三種降維方法后的第4篇。

在大數(shù)據(jù)時代，我們不斷面臨高維度數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)。為了更好地理解這些數(shù)據(jù)，MDS算法應(yīng)運(yùn)而生。本文將詳細(xì)介紹MDS算法的原理、步驟及其應(yīng)用場景，幫助你深入了解這個強(qiáng)大的降維工具。

一、關(guān)于MDS算法

多維尺度變換（Multidimensional Scaling，簡稱MDS）算法是一種數(shù)據(jù)降維和可視化方法，最早起源于心理學(xué)領(lǐng)域，它能夠?qū)⒏呔S度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到低維度空間（如二維或三維），在保持?jǐn)?shù)據(jù)點間距離關(guān)系的同時，讓我們能夠直觀地觀察和分析數(shù)據(jù)。在20世紀(jì)50年代至60年代，研究人員開始嘗試使用MDS來解決心理學(xué)實驗中的數(shù)據(jù)分析問題，主要用于分析個體之間的相似性和差異性。隨著研究的深入和方法的完善，MDS逐漸被廣泛應(yīng)用于社會科學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)等多個領(lǐng)域。

MDS算法的核心思想是使用距離矩陣來表示數(shù)據(jù)點之間的相似性或關(guān)聯(lián)性。在實際問題中，我們可能需要分析不同類型的數(shù)據(jù)，通過將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為距離矩陣，我們可以利用MDS算法來挖掘數(shù)據(jù)中的結(jié)構(gòu)信息和潛在關(guān)系。

MDS算法通過將高維數(shù)據(jù)降維到二維或三維空間，使得數(shù)據(jù)的可視化分析變得更加直觀。此外，在降維過程中，MDS盡量保持?jǐn)?shù)據(jù)點之間的距離關(guān)系，從而有助于挖掘數(shù)據(jù)中的真實結(jié)構(gòu)。

降維打擊·來自https://www.zcool.com.cn/work/ZMzc1MjcwNjQ=.html

二、MDS的原理是什么？

在MDS算法中，降維映射的原理是通過保持原始空間中數(shù)據(jù)點之間的相對距離來將數(shù)據(jù)從高維空間映射到低維空間。為了便于理解，我們將降維映射過程分為以下幾個步驟：

1. 構(gòu)建距離矩陣：首先，我們需要計算原始空間中數(shù)據(jù)點之間的距離。常用的距離度量方法包括歐幾里得距離、Minkowski距離等。通過計算每對數(shù)據(jù)點之間的距離，我們可以構(gòu)建一個距離矩陣。
2. 中心化距離矩陣：為了進(jìn)一步處理距離矩陣，我們需要對其進(jìn)行中心化處理，使得數(shù)據(jù)點相對于原點對稱。中心化矩陣的計算方法是：H?=?I?- (1/n) *i*i^T，其中I是單位矩陣，n是數(shù)據(jù)點的數(shù)量，i是一個全1的n維向量，i^T代表對該向量轉(zhuǎn)置。
3. 計算內(nèi)積矩陣：通過中心化距離矩陣，我們可以計算內(nèi)積矩陣B。內(nèi)積矩陣表示數(shù)據(jù)點之間的內(nèi)積關(guān)系，可以用于進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。內(nèi)積矩陣B可以通過中心化矩陣H和距離矩陣D的平方形式計算得到：B?= -1/2 *?H?*?D^2 *?H。
4. 計算特征值和特征向量：在得到內(nèi)積矩陣B后，我們需要計算其特征值和特征向量。特征值表示數(shù)據(jù)的主要變化方向，特征向量表示對應(yīng)方向上的大小。我們將選取最大的k個特征值及其對應(yīng)的特征向量，作為降維后的k維空間的基。
5. 計算降維后的坐標(biāo)：將原始數(shù)據(jù)投影到選定的k維基上，我們可以得到降維后的坐標(biāo)。具體計算方法為：新坐標(biāo) = 特征向量矩陣 * 特征值矩陣的平方根。這樣，我們就得到了降維后的數(shù)據(jù)表示。

雖然步驟看起來有點復(fù)雜，但是實際實現(xiàn)還是很簡單的，下面距離說明一下，大家就很容易明白了。

三、MDS算法示例

讓我們用一個關(guān)于水果口味的例子來說明MDS算法的原理。

假設(shè)我們有5種水果：蘋果（A）、香蕉（B）、橙子（C）、葡萄（D）和菠蘿（E）。我們對這些水果進(jìn)行了甜度（Sweetness）、酸度（Sourness）和多汁程度（Juiciness）的評分。評分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

A: (6, 4, 5)
B: (8, 1, 3)
C: (5, 7, 6)
D: (7, 3, 4)
E: (4, 6, 8)

我們希望通過MDS算法將這些三維評分?jǐn)?shù)據(jù)降維到二維空間，以便更直觀地分析水果之間的口味關(guān)系。

步驟1：計算距離

我們可以使用歐氏距離（也可以用其他距離計算方法）來計算水果之間的距離。計算結(jié)果如下：

A-B: 4.69
A-C: 3.74
A-D: 2.45
A-E: 3.32
B-C: 6.56
B-D: 3.32
B-E: 6.56
C-D: 5.29
C-E: 2.45
D-E: 5.29

步驟2：構(gòu)建距離矩陣

將計算出的距離整合成一個距離矩陣D：

    A     B     C     D     E
A   0.0   4.69  3.74  2.45  3.32
B   4.69  0.0   6.56  3.32  6.56
C   3.74  6.56  0.0   5.29  2.45
D   2.45  3.32  5.29  0.0   5.29
E   3.32  6.56  2.45  5.29  0.0

步驟3：中心化距離矩陣

我們需要計算中心化矩陣H。數(shù)據(jù)點的數(shù)量n為5。因此，我們可以得到：

I = | 1 0 0 0 0 |
    | 0 1 0 0 0 |
    | 0 0 1 0 0 |
    | 0 0 0 1 0 |
    | 0 0 0 0 1 |

1 = | 1 |
    | 1 |
    | 1 |
    | 1 |
    | 1 |

1 * 1^T = | 1 1 1 1 1 |
          | 1 1 1 1 1 |
          | 1 1 1 1 1 |
          | 1 1 1 1 1 |
          | 1 1 1 1 1 |

H = I - (1/5) * 1 * 1^T
  = |  0.8 -0.2 -0.2 -0.2 -0.2 |
    | -0.2  0.8 -0.2 -0.2 -0.2 |
    | -0.2 -0.2  0.8 -0.2 -0.2 |
    | -0.2 -0.2 -0.2  0.8 -0.2 |
    | -0.2 -0.2 -0.2 -0.2  0.8 |

步驟4：計算內(nèi)積矩陣

接下來，我們需要計算內(nèi)積矩陣B。首先，我們需要計算距離矩陣D的平方：

D^2 = 
| 0.00 21.98 13.99 6.00 11.02 |
| 21.98 0.00 43.03 11.02 43.03 |
| 13.99 43.03 0.00 28.00 6.00 |
| 6.00 11.02 28.00 0.00 28.00 |
| 11.02 43.03 6.00 28.00 0.00 |

然后，我們用中心化矩陣H和距離矩陣D的平方計算內(nèi)積矩陣B：

B = -1/2 * H * D^2 * H ≈
| 2.12 	-2.27 	-1.07 	1.12 	0.11 |
| -2.27 15.33 	-8.99 	5.21 	-9.29 |
| -1.07 -8.99 	9.72 	-6.07 	6.42 |
| 1.12 	5.21 	-6.07 	6.12 	-6.37 |
| 0.11 	-9.29 	6.42 	-6.37 	9.13 |

步驟5：計算特征值和特征向量

我們需要計算內(nèi)積矩陣B的特征值和特征向量。我們得到了如下特征值和特征向量：

特征值：λ1 ≈ 32.32，λ2 ≈ 6.39
特征向量（對應(yīng)λ1）：v1 ≈ (-0.02 0.63 -0.48 0.36 -0.49)
特征向量（對應(yīng)λ2）：v2 ≈ (-0.53 0.59 0.33 -0.50 0.10)

我們選取最大的兩個特征值λ1和λ2，以及對應(yīng)的特征向量v1和v2，作為降維后的二維空間的基。

步驟6：計算降維后的坐標(biāo)

我們將原始數(shù)據(jù)投影到選定的二維基上，計算新坐標(biāo)。首先，構(gòu)建特征向量矩陣V和特征值矩陣Λ的平方根：

V = 
|-0.02 	-0.53 |
|0.63 	0.59 |
|-0.48 	0.33 |
|0.36 	-0.50 |
|-0.49 	0.10 |


Λ^(1/2) = | √32.32   0    |
          |   0     √6.39 |

然后，我們計算降維后的坐標(biāo)：新坐標(biāo) = V * Λ^(1/2)

新坐標(biāo) ≈
|-0.11 	-1.33 |
|3.60 	1.50 |
|-2.76 	0.84 |
|2.02 	-1.26 |
|-2.76 	0.25 |

最后，我們得到了降維后的二維坐標(biāo)：

蘋果（A）：(-0.11, -1.33 )
香蕉（B）：(3.60, 1.50)
橙子（C）：(-2.76, 0.84 )
葡萄（D）：(2.02, -1.26 )
菠蘿（E）：(0.36, 2.89)

至此，我們已經(jīng)將原始高維空間中的水果口味距離通過MDS算法映射到了二維空間。在這個二維空間中，我們可以觀察到水果之間的相對距離關(guān)系，從而更容易地分析和理解它們之間的口味差異。

四、MDS算法的優(yōu)缺點

下面是一個關(guān)于MDS算法優(yōu)缺點的表格：

五、案例：降維、聚類與分類

舉一個PCA中介紹過的例子。

這里介紹一下鳶尾花數(shù)據(jù)集，鳶尾花在機(jī)器學(xué)習(xí)里是?？椭?。數(shù)據(jù)集由具有150個實例組成，其特征數(shù)據(jù)包括四個：萼片長、萼片寬、花瓣長、花瓣寬。數(shù)據(jù)集中一共包括三種鳶尾花，分別叫做Setosa、Versicolor、Virginica，就像下圖：

也就是說這組數(shù)據(jù)的維度是150*4，數(shù)據(jù)是有標(biāo)簽的。（有標(biāo)簽是指每個實例我們都知道它對應(yīng)的類別）

此時我們進(jìn)行MDS降維，將四維數(shù)據(jù)降為二維，并使用不同顏色標(biāo)注各個類別的鳶尾花，可以得到如下分布情況：

歐幾里得距離

上圖中構(gòu)建距離矩陣時，使用的歐幾里得距離，我們還可以嘗試一下其他距離度量方法，比如馬氏距離'mahalanobis'：

馬氏距離

City block 距離：

City block 距離

chebychev距離：

chebychev距離

correlation距離：

correlation距離

此外還有很多其他距離度量方法，這里就不一一列舉了。

盡管MDS算法的初衷是降維而非聚類，不過由于MDS降維后的數(shù)據(jù)常常會用做機(jī)器學(xué)習(xí)的輸入數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)降維的同時查看降維后數(shù)據(jù)的分布情況，對于模式識別/分類任務(wù)的中間狀態(tài)確定還是十分有益的，再直白些說，這些圖片放在論文里豐富一下內(nèi)容也是極好的。
在這種應(yīng)用場景下，數(shù)據(jù)降維的最主要目的其實還是解決數(shù)據(jù)特征過于龐大的問題，這個例子中特征只有4個，所以還不太明顯。很多時候我們面對的是幾十上百乃至更多的特征維度，這些特征中包含著大量冗余信息，使得計算任務(wù)變得非常繁重，調(diào)參的難度和會大大增加。此時加入一步數(shù)據(jù)降維就是十分有必要的了。

六、MATLAB的MDS降維快速實現(xiàn)

MDS算法在MATLAB中有官方函數(shù)，名字叫做mdscale，熟悉編程的同學(xué)可以直接調(diào)用。

但是在運(yùn)用mdscale函數(shù)實現(xiàn)降維時，還是有很多坑的，筆者替大家踩過了。并把MDS降維以及可視化的功能進(jìn)行了封裝。它可以實現(xiàn)：

1.指定輸出的維度。也就是降維之后的維度，當(dāng)然這個數(shù)不能大于輸入數(shù)據(jù)的特征維度。

options.NumDimensions = 3;  %降維后的數(shù)據(jù)維度

2.繪制特征分布圖。在降維維度為2或者3時，可以繪制特征分布圖，當(dāng)然你也可以選擇設(shè)置不畫圖，圖個清靜。

figflag = 'on';  %是否畫圖，'on'為畫圖，'off'為不畫，只有NumDimensions為2或者3時起作用，3以上無法畫圖

3.指定距離度量方法。

options.Distance = 'euclidean'; %距離量度方法選擇，可選：'euclidean' (default) | 
                                  %'seuclidean' | 'cityblock' | 'chebychev' | 'minkowski' |
                                  %'mahalanobis' | 'cosine' | 'correlation' | 'spearman' | 
                                  %'hamming' | 'jaccard'
% 具體描述見：https://ww2.mathworks.cn/help/stats/pdist.html?s_tid=doc_ta#mw_39296772-30a1-45f3-a296-653c38875df7

設(shè)置好這些配置參數(shù)后，只需要調(diào)用下邊這行代碼：

mdsVal = kMDS(Fea,options,species,figflag); %mdsVal為降維后的數(shù)據(jù)矩陣

就可以繪制出這樣一張圖：

如果要繪制三維圖，把options.NumDimensions設(shè)置成3就好了。繪制出來是這樣：

不過上述是知道標(biāo)簽值species的情況，如果不知道標(biāo)簽值，設(shè)置species=[]就行了，此時畫出來的分布圖是單一顏色的。

上述代碼秉承了本專欄一向的易用屬性，功能全部集中在kMDS函數(shù)里了，這個函數(shù)更詳細(xì)的介紹如下：

mdsVal = kMDS(Fea,options,species,figflag); %mdsVal為降維后的數(shù)據(jù)矩陣
%% 執(zhí)行數(shù)據(jù)的MDS降維
% 可以實現(xiàn)2維、3維以及更高維度的降維，只有二維和三維可以畫圖
% 輸入：
% Fea：待降維數(shù)據(jù)，R*Q的矩陣，R為批次數(shù)，Q為特征維度，例如特征維度為8的共100組數(shù)，tempFea的維度應(yīng)為100*8。輸入該變量時一定要注意行列方向是否正確，如不正確需要轉(zhuǎn)置
% options：一些與MDS降維有關(guān)的設(shè)置，使用結(jié)構(gòu)體方式賦值，比如 options.Distance = 'euclidean' ，具體包括：
%              -Distance：距離量度方法選擇，可選：'euclidean' (default) | 'seuclidean' | 'cityblock' | 'chebychev' | 'minkowski' | 'mahalanobis' | 'cosine' | 'correlation' | 'spearman' | 'hamming' | 'jaccard'
%                         具體描述見：https://ww2.mathworks.cn/help/stats/pdist.html?s_tid=doc_ta#mw_39296772-30a1-45f3-a296-653c38875df7
%              -NumDimensions：降維后的數(shù)據(jù)維度，默認(rèn)為2
% species：分組變量，可以是數(shù)組、數(shù)值向量、字符數(shù)組、字符串?dāng)?shù)組等，但是需要注意此變量維度需要與Fea的組數(shù)一致。該變量可以不賦值，調(diào)用時對應(yīng)位置寫為[]即可
%          例如species可以是[1,1,1,2,2,2,3,3,3]這樣的數(shù)組，代表了Fea前3行數(shù)據(jù)為第1組，4-6行數(shù)據(jù)為第2組，7-9行數(shù)據(jù)為第三組。
%          關(guān)于此species變量更多信息，可以查看下述鏈接中的"Grouping variable"：
%          https://ww2.mathworks.cn/help/stats/gscatter.html?s_tid=doc_ta#d124e492252
% 
% figflag：是否畫圖，'on'為畫圖，'off'為不畫，只有NumDimensions為2或者3時起作用，3以上無法畫圖

需要上邊這個函數(shù)文件以及測試代碼的同學(xué)，可以在下邊獲?。?/strong>