1. 導(dǎo)讀

經(jīng)典三門問題相信大家都了解過，如果沒了解過，那剛好，本文帶大家5分鐘了解三門問題是什么。

2. 題目描述

熱心市民小明被選中參加一個抽獎游戲，游戲規(guī)則是這樣的：

1. 小明面前有ABC三扇相同的門，小明和觀眾無法知道ABC三扇門背后有什么。
   

2. ABC三扇門中只有一扇門背后有一輛汽車，其他兩扇門背后都是一瓶礦泉水。
   

3. 小明需要在3扇門中選中一個并且不開啟，接下來主持人從另外兩扇門中選中一扇門并且開啟。
   

4. 小明選中了A門，主持人選中了B門，并且開啟B門后是礦泉水。
   

5. 這時主持人問小明，明哥你要不要從A門換選C門呢？
   

大家都替小明思考一下，別瞎蒙，要有理有據(jù)，能不能提到這輛法拉利就在此一搏了！

3. 蒙提·霍爾問題

相信很多朋友都了解過這個問題，這就是有名的蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem)，也稱三門問題。

這是一個源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題，出自美國的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。

這里面有個非常重要的線索：主持人知道哪扇門后有汽車且會選中背后有水的那扇門，這也是爭議的所在，相當(dāng)于個隱含條件吧。

在維基百科對于 Monty Hall 問題的描述中，門的背后是山羊和汽車，本文替換成了礦泉水，但是數(shù)學(xué)原理是一樣的，避免讀者鉆牛角尖。

面對這個問題，很多人認(rèn)為換或者不換選中汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為應(yīng)該換了之后的概率更大是2/3。

4. 樸素分析

換或者不換，是個問題。

4.1 不換的1/2派

由于主持人已經(jīng)幫小明淘汰了一個選項(xiàng)，剩下的就只有兩個了。

很直觀地感覺一下，A門和C門背后有汽車的概率都是1/2，這個結(jié)論也是符合大部分人直觀第一感覺的答案。

但真理往往掌握在少數(shù)人手中，所以這個直觀答案并不一定正確呀！

4.2 調(diào)換的2/3派

調(diào)換派認(rèn)為不換的話有車的概率就是最初的$1/3$，由于B和C總體的概率為$2/3$，且已經(jīng)被排除了B，那么修改選擇后，選C有車的概率就是$2/3$。

詳細(xì)分析一下這幾種可能：

• A扇門背后有車，如果調(diào)換到C，那么一定沒有車，這種場景的概率是$1/3$。
• A扇門背后無車，如果調(diào)換到C，那么一定有車，這種場景的概率是$2/3$。

確實(shí)非常有道理，用一個低概率成功去換取一個高概率成功，太機(jī)智了！

4.3 分歧所在

在主持人沒有開啟B門之前，我們對選擇A后有汽車的概率是$1/3$是毫無爭議的。

但是當(dāng)主持人開啟B門之后，就出現(xiàn)了分歧，那么不由得去想B門的開啟是否影響了之前的選擇A呢？

5. 數(shù)學(xué)分析

5.1 獨(dú)立事件的概率和條件概率

獨(dú)立事件概率

我們設(shè)定事件a的概率為$P(a)$，事件b的概率是$P(b)$，且事件a和事件b是相互獨(dú)立的。

則事件a和事件b同時發(fā)生的概率，滿足如下公式：$P(ab)=P(ba)=P(a)P(b)$

條件概率

條件概率是在某種條件下，某個事件發(fā)生的概率，展示了事件之間的內(nèi)在聯(lián)系和影響。

我們來看兩種條件概率的簡單表述。

1. 事件a發(fā)生之后，事件b發(fā)生的概率，可以記做 $P(b|a)$，此時滿足公式：$P(b|a)=P(ab)/P(a)$ 等價于 $P(ab)=P(b|a)P(a)$

2. 事件b發(fā)生之后，事件a發(fā)生的概率，可以記做 $P(a|b)$，此時滿足公式：$P(a|b)=P(ab)/P(b)$ 等價于 $P(ab)=P(a|b)P(b)$

3. 綜合這兩種條件事件，可以得到公式：$P(ab)=P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)$

5.2 貝葉斯公式

我們綜合計算得到一個公式：$P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)$

這個公式做一個變形可以得到：$P(a|b)=P(b|a)P(a)/P(b)$

沒錯，這就是貝葉斯公式。

5.3 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率

在貝葉斯公式中，還隱含著一些術(shù)語，來看下百度百科對于其中的定義：

$P(A)$是A的先驗(yàn)概率或邊緣概率，它不考慮任何B方面的因素。

$P(A|B)$是B發(fā)生后A的條件概率，由于得自B的取值被稱作A的后驗(yàn)概率。

$P(B|A)$是A發(fā)生后B的條件概率，由于得自A的取值被稱作B的后驗(yàn)概率。

$P(B)$是B的先驗(yàn)概率或邊緣概率，稱作標(biāo)準(zhǔn)化常量。

貝葉斯公式的意義非常重大，它揭示了條件事件概率的內(nèi)在聯(lián)系，某些樣本信息的出現(xiàn)對先驗(yàn)概率的影響。

貝葉斯公式為我們利用搜集到的信息對原有判斷進(jìn)行修正提供了有效手段。

在很多領(lǐng)域都有非常深遠(yuǎn)的影響，正好用在我們今天的蒙提霍爾問題上，繼續(xù)來分析。

6. 貝葉斯公式和蒙提霍爾問題

前面我們提到了，癥結(jié)在于主持人選擇B門并開啟后無車，這個事件對于已作出選擇的參與者來說是否有影響呢？

后驗(yàn)概率是否產(chǎn)生了影響，我們來推導(dǎo)一下：

• 設(shè)定A、B、C門后有汽車分別記為事件a、b、c，則$P(a)=P(b)=P(c)=1/3$。

• 設(shè)定參與者選擇了A門，由于主持人默認(rèn)需要選擇沒有汽車的門，因此參與者的選擇影響了主持人的選擇。

• 設(shè)定主持人選擇了B門且沒有汽車，記為事件d，則$P(d|a)=1/2,P(d|b)=0,P(d|c)=1$。

• 在主持人選擇B門無汽車后，參與者選擇A門有車的概率為$P(a|d)$，即事件d發(fā)生后事件a的概率，由貝葉斯公式得：$P(a|d)=P(d|a)P(a)/P(d)$

通過前面的分析，我們只需要求$P(d|a)$、$P(a)$、$P(d)$三個元素即可。

• $P(d|a)$：表示A門有汽車的情況下，主持人選擇B門的概率，其為$1/2$；

• $P(a)$：表示A門有汽車的概率，其為$1/3$；

• $P(d)$：可以從全概率公式求得，其為$1/2$：

  $P(d)=P(d|a)P(a)+P(d|b)P(b)+P(d|c)P(c)$
  
  $P(d)=1/2?1/3+0?1/3+1?1/3=1/2$

綜上得到：$P(a|d)=1/2?1/3?2=1/3$

在主持人選擇B門開啟后無汽車的情況下，參與者選A門有汽車的概率$P(a|d)=1/3$，因此后驗(yàn)概率并沒有發(fā)生變化，并不是直觀的$1/2$，而仍然是$1/3$。

因此如果做調(diào)換，那么相當(dāng)于參與者選擇了C門，計算過程類似，概率為$2/3$：$P(c|d)=P(d|c)P(c)/P(d)$

7. 蒙提霍爾問題的思考

想這個問題的時候，總覺得有漏洞，或者說必須在某些條條框框才能正常推演。

比如說假如主持人并不知道哪扇門后有汽車，他也是隨機(jī)選擇的。

比如說數(shù)據(jù)規(guī)模不一樣，9扇門，主持人幫你否定7個，顯然要換，正是因?yàn)閿?shù)據(jù)規(guī)模很小才帶來了和直覺相悖的感覺。

最后用Horst Hohberger的一段話概括，蒙提霍爾問題：

If you change, you win when your original choice was wrong;
if you don’t change, you win when your original choice was right.

如果你想贏得汽車，兩種情況的概率：

• 不換情況下必須是最初選擇是對的才會贏取法拉利，概率1/3

• 調(diào)換情況下必須是最初選擇是錯的才會贏取法拉利，概率2/3文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-402588.html

到了這里，關(guān)于五分鐘了解三門問題是什么？貝葉斯公式和蒙提霍爾問題有什么關(guān)聯(lián)？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！