智能優(yōu)化算法：白鯨優(yōu)化算法

摘要：白鯨優(yōu)化算法([Beluga whale optimization，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一種群體智能優(yōu)化算法。其靈感來源于白鯨的群體覓食行為。

1.白鯨優(yōu)化算法

BWO建立了探索、開發(fā)和鯨魚墜落的三個階段，分別對應于成對游泳、捕食和鯨落的行為。BWO中的平衡因子和鯨落概率是自適應的，對控制探索和開發(fā)能力起著重要作用。此外，還引入了萊維飛行來增強開發(fā)階段的全局收斂性。

BWO算法可以從探索逐漸轉(zhuǎn)換到開發(fā)，這取決于平衡因子 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}$ ，其定義為:
$${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}={\mathrm{B}}_0\left(1?\mathrm{T}/\left(2{\mathrm{T}}_{\max }\right)\right)$$
其中， $\mathrm{T}$ 是當前迭代次， ${\mathrm{T}}_{\max }$ 是最大迭代次數(shù)， ${\mathrm{B}}_0$ 在每次迭代中在 $(0,1)$ 之間隨機變化。探索階段發(fā)生在平衡因子 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}>0.5$ 時，而開發(fā) 階段發(fā)生在 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}\le 0.5$ 。隨著迭代次數(shù) $\mathrm{T}$ 的增加， ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}$ 的波動范圍從 $(0,1)$ 減小到 $(0,0.5)$ ，說明開發(fā)和探索階段的概率發(fā)生了顯著變化，而 開發(fā)階段的概率隨著迭代次數(shù) $\mathrm{T}$ 的不斷增加而增加。

1.1 探索階段

BWO的探索階段是白鯨的游泳行為建立的。搜索代理的位置由白鯨的配對游泳決定，白鯨的位置更新如下:
$$?\begin{array}{l}{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r},{\mathrm{p}}_1}^{\mathrm{T}}?{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+{\mathrm{r}}_1\right)\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right),\mathrm{j}=\text{?even?}\\ {\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r},{\mathrm{p}}_1}^{\mathrm{T}}?{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+{\mathrm{r}}_1\right)\cos \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right),\mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{array}$$
其中， $\mathrm{T}$ 是當前迭代次數(shù)， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}$ 是第i只白鯨在第$j$維上的新位置， ${\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2,?,\mathrm{d})$ 是從 $\mathrm{d}$ 維中選擇的隨機整數(shù)， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{pj}}^{\mathrm{T}}$ 是第i條白鯨 在 ${\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}$ 維度上的位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{r},\mathrm{p}1}^{\mathrm{T}}$ 分別是第1條和第 $\mathrm{r}$ 條白鯨的當前位置 $(\mathrm{r}$ 是隨機選擇的白鯨)，隨機數(shù) $r_1$ 和 $r_2$ 用于增強探索階段的隨機算子 ，${\mathrm{r}}_1$ 和 ${\mathrm{r}}_2$ 是 $(0,1)$ 的隨機數(shù)， $\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right)$ 和 $\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right)$ 表示鏡像白鯨的鲌朝向水面。根據(jù)奇偶數(shù)選擇的維數(shù)，更新后的位置反映了白鯨在游泳或跳水時的同步或鏡像行為。

1.2 開發(fā)階段

BWO的開發(fā)階段受到白鯨捕食行為的啟發(fā)。白鯨可以根據(jù)附近白鯨的位置合作覓食和移動。因此，白鯨通過共享彼此的位置信息來捕 食，同時考慮最佳候選者和其他候選者。在BWO的開發(fā)階段引入了萊維飛行策略，以增強收斂性。假設它們可以使用萊維飛行策略捕捉 獵物，數(shù)學模型表示為：
$${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{r}}_3{\mathrm{X}}_{\text{best?}}^{\mathrm{T}}?{\mathrm{r}}_4{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{C}}_1?{\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}?\left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}?{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right)$$
其中， $\mathrm{T}$ 是當前迭代次數(shù)， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}$ 分別是第 $\mathrm{i}$ 條白鯨和隨機白鯨的當前位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}$ 是第 $\mathrm{i}$ 條白鯨的新位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}$ 是白鯨種群中的最佳位置， ${\mathrm{r}}_3$ 和 ${\mathrm{r}}_4$ 是 $(0,1)$ 之間的隨機數(shù)， ${\mathrm{C}}_1=2{\mathrm{r}}_4\left(1?\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }\right)$ 是衡量萊維飛行強度的隨機跳躍強度。 ${\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}$ 是萊維飛行函數(shù)，計算如下:
$$\begin{array}{c}{\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}=0.05\times \frac{\mathrm{u}\times \sigma }{|\mathrm{v}{|}^{1/\beta }}\\ \sigma ={\left(\frac{\Gamma (1+\beta )\times \sin (\pi \beta /2)}{\Gamma ((1+\beta )/2)\times \beta \times 2^{(\beta ?1)/2}}\right)}^{1/\beta }\end{array}$$
其中， $u$ 和 $v$ 為正態(tài)分布隨機數(shù)， $\beta$ 為默認常數(shù)，等于1.5。

1.3 鯨魚墜落

為了在每次迭代中模擬鯨魚墜落的行為，從種群中的個體中選擇鯨魚墜落概率作為主觀假設，以模擬群體中的小變化。假設這些白鯨要 么移到別處，要么被擊落并墜入深海。為了確保種群大小的數(shù)量恒定，使用白鯨的位置和鯨魚落體的步長來建立更新的位置。數(shù)學模型表 示為：
$${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{r}}_5{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}?{\mathrm{r}}_6{\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{r}}_7{\mathrm{X}}_{\text{step?}}$$
其中， ${\mathrm{r}}_5、{\mathrm{r}}_6$ 和 ${\mathrm{r}}_7$ 是 $(0,1)$ 之間的隨機數(shù)， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{step}}$ 是鯨魚墜落的步長，定義為:
$${\mathrm{X}}_{\text{step?}}=\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{b}}?{\mathrm{l}}_{\mathrm{b}}\right)\exp \left(?{\mathrm{C}}_2\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }\right)$$
其中， ${\mathrm{C}}_2$ 是與鯨魚下降概率和種群規(guī)模相關(guān)的階躍因子 $\left({\mathrm{C}}_2=2{\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}\times \mathrm{n}\right)$ ， ${\mathrm{u}}_{\mathrm{b}}$ 和 ${\mathrm{l}}_{\mathrm{b}}$ 分別是變量的上下限?？梢钥闯?，步長受問題變量邊 界、當前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)的影響。
在該模型中，鯨魚墜落概率 $\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}\right)$ 作為線性函數(shù)計算:
$${\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}=0.1?0.05\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }$$
鯨魚隊落的概率從初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的 $0.05$ ，表明在優(yōu)化過程中，當白鯨更接近食物源時，白鯨的危險性降低。

3.實驗結(jié)果

4.參考文獻

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-402178.html

5.Matlab代碼

6.python代碼

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