1049.?最后一塊石頭的重量?II
本題物品的重量為stones[i]，物品的價值也為stones[i]。
對應(yīng)著01背包里的物品重量weight[i]和 物品價值value[i]。
- 確定dp數(shù)組以及下標(biāo)的含義
dp[j]表示容量（這里說容量更形象，其實就是重量）為j的背包，最多可以背最大重量為dp[j]。
- 確定遞推公式
01背包的遞推公式為：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本題則是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);（與分割子集那題相同）
- dp數(shù)組如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）（也就是target）是多少呢，就是所有石頭的重量和。
定為target15001即可， 也可以將數(shù)組相加再/2
- 確定遍歷順序
在動態(tài)規(guī)劃：關(guān)于01背包問題，你該了解這些?。L動數(shù)組） (opens new window)中就已經(jīng)說明：如果使用一維dp數(shù)組，物品遍歷的for循環(huán)放在外層，遍歷背包的for循環(huán)放在內(nèi)層，且內(nèi)層for循環(huán)倒序遍歷！
- 舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
- 從0-1背包轉(zhuǎn)化成實際問題
最后dp[target]里是容量為target的背包所能背的最大重量。
那么分成兩堆石頭，一堆石頭的總重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
在計算target的時候，target = sum / 2 因為是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石頭重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
最終代碼：
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
//思想：讓重量相似的石頭相撞這樣得到的石頭更小
int sum = 0;
for(int stone : stones){
sum += stone;
}
int target = sum / 2;//像下取整的，target一定小于等于sum - target
int dp[] = new int [target + 1];
for(int i = 0; i < stones.length; i++){
for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target];
}
}
494. 目標(biāo)和
這題的重點在于怎么把正負(fù)符號問題轉(zhuǎn)化為定和->進(jìn)而轉(zhuǎn)化為0-1背包問題
本題要如何使表達(dá)式結(jié)果為target，
既然為target，那么就一定有 left組合 - right組合（添加負(fù)號的） = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式來了， left - (sum - left) = target 推導(dǎo)出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出來。
此時問題就是在集合nums中找出和為left的組合。（相當(dāng)于0-1背包問題）
有兩種解法，一個回溯，跟組合總和那題一樣，第二種解法就是動態(tài)規(guī)劃。
回溯
先空著，不剪枝會超時。
動態(tài)規(guī)劃
x = (target + sum) / 2
此時問題就轉(zhuǎn)化為，裝滿容量為x的背包，有幾種方法。
dp五部曲
- 確定dp數(shù)組下標(biāo)及其含義
dp[j] 表示：填滿j（包括j）這么大容積的包，有dp[j]種方法
- 確定遞推公式
只要搞到nums[i]，湊成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 種方法。也就是說dp[j - nums[i]]渴望找到nums[i]，這樣就符合要求了。因此遞推公式是：
所以求組合類問題的公式，都是類似這種：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
這個公式在后面在講解背包解決排列組合問題的時候還會用到！
- 初始化dp數(shù)組
只要初始化dp[0]即可，填滿0的包，有1種方法，所以dp[0] = 1。
- 確定遍歷順序
跟之前的一維0-1背包一樣，先遍歷物品再遍歷背包，背包從后往前遍歷。
- 舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
[外鏈圖片轉(zhuǎn)存中…(img-PMOiMxzQ-1713323607584)]
最終代碼：
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = Arrays.stream(nums).sum();
//如果target的絕對值大于sum，那么是沒有方案的
if (Math.abs(target) > sum) return 0;
//如果(target+sum)除以2的余數(shù)不為0，也是沒有方案的
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int left = (sum + target) / 2;
int dp[] = new int[left + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < nums.length;i++){
for(int j = left; j >= nums[i]; j--){
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[left];
}
}
這里注意兩個特殊情況， 一個是如果target的絕對值大于sum，那么是沒有方案的，另一個是如果(target+sum)除以2的余數(shù)不為0，也是沒有方案的。
474. 一和零
理解成多重背包的同學(xué)主要是把m和n混淆為物品了，感覺這是不同數(shù)量的物品，所以以為是多重背包。
但本題其實是01背包問題！
只不過這個背包有兩個維度，一個是m 一個是n，而不同長度的字符串就是不同大小的待裝物品。
dp五部曲
- 確定dp數(shù)組（dp table）以及下標(biāo)的含義
dp[i][j]：最多有i個0和j個1的strs的最大子集的大小為dp[i][j]。
- 確定遞推公式
dp[i][j] 可以由前一個strs里的字符串推導(dǎo)出來，strs里的字符串有zeroNum個0，oneNum個1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
此時大家可以回想一下01背包的遞推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
對比一下就會發(fā)現(xiàn)，字符串的zeroNum和oneNum相當(dāng)于物品的重量（weight[i]），字符串本身的個數(shù)相當(dāng)于物品的價值（value[i]）。
- dp數(shù)組初始化
初始為0即可。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-855952.html
- 遍歷順序
外層for循環(huán)遍歷物品，內(nèi)層for循環(huán)遍歷背包容量且從后向前遍歷！文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-855952.html
for (string str : strs) { // 遍歷物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍歷背包容量且從后向前遍歷！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
- 舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i個0和j個1時的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍歷
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
到了這里，關(guān)于Day43｜動態(tài)規(guī)劃part05： 1049. 最后一塊石頭的重量 II、494. 目標(biāo)和、474. 一和零的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
